# Buscador de raízes primitivas módulo n

Busca raízes primitivas módulo n: verifica se n ∈ {2, 4, p^k, 2p^k} (grupo multiplicativo cíclico), encontra a menor raiz primitiva com certificado g^(φ/q) ≠ 1 para cada primo q | φ(n), conta as raízes como φ(φ(n)), lista até 50 delas ou verifica se a ordem de um candidato g é igual a φ(n). Até 10¹².

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- **Categoria:** Math & Numbers

- **Palavras-chave:** raiz primitiva, grupo multiplicativo, grupo cíclico, função φ de euler, teoria dos números, logaritmo discreto

## Visão geral

O Buscador de raízes primitivas módulo n calcula geradores para grupos multiplicativos até 10¹², verificando se o módulo admite raízes cíclicas nas formas 2, 4, p^k ou 2p^k. A ferramenta calcula a função totiente de Euler φ(n), a função de Carmichael λ(n), identifica a menor raiz primitiva com certificado matemático g^(φ/q) ≠ 1 para cada fator primo q de φ(n), lista até 50 geradores e valida candidatos individuais.

## Entradas

- **Módulo n** (text): 2 ≤ n ≤ 10¹² (trial-division factorization bound).
- **Modo de saída** (select)
- **Candidato g (modo de verificação)** (text): Required when verifying; reduced modulo n automatically.

## Quando usar

- Ao projetar ou implementar protocolos criptográficos como Diffie-Hellman e ElGamal que exigem geradores em grupos multiplicativos cíclicos.
- Para verificar se um número inteiro g específico é uma raiz primitiva válida módulo n por meio do teste de ordem g^(φ/q) mod n.
- Em estudos e exercícios de teoria dos números para calcular φ(n), contar a quantidade total de raízes φ(φ(n)) e listar elementos geradores.

## Como funciona

- Verifica se n pertence à família de módulos cíclicos {2, 4, p^k, 2p^k}, fatorando o número e calculando φ(n) e λ(n).
- Fatora φ(n) em fatores primos distintos q e testa candidatos g sequencialmente para garantir que g^(φ/q) ≢ 1 (mod n) para todo q.
- Gera a contagem total de raízes primitivas via φ(φ(n)) e lista os geradores encontrados (até o limite de 50) ou calcula a ordem exata do candidato g fornecido.

## Casos de uso

- Configuração de parâmetros de chave pública em algoritmos baseados em logaritmo discreto.
- Resolução de problemas acadêmicos de álgebra abstrata e aritmética modular envolvendo ordens de elementos.
- Auditoria e teste de geradores em implementações de software de criptografia.

## Perguntas frequentes

### Quais módulos possuem raízes primitivas?

Apenas inteiros na forma n = 2, n = 4, n = p^k ou n = 2p^k (onde p é um primo ímpar e k ≥ 1) possuem raízes primitivas e formam grupos multiplicativos cíclicos.

### Como o certificado de uma raiz primitiva é validado?

Para cada divisor primo q de φ(n), calcula-se g^(φ(n)/q) mod n. O candidato g é uma raiz primitiva se, e somente se, nenhum desses resultados for congruente a 1.

### Qual é o limite numérico aceito pela ferramenta?

A ferramenta aceita módulos n no intervalo entre 2 e 10¹² (1 000 000 000 000).

### Quantas raízes primitivas existem para um dado n?

Se o grupo multiplicativo for cíclico, a quantidade total de raízes primitivas distintas módulo n é exatamente igual a φ(φ(n)).

### O que acontece se o candidato g inserido for maior que n?

O valor de g é reduzido automaticamente módulo n antes do teste de coprimalidade e da verificação de ordem.

## Ferramentas relacionadas

- [Verificador de resíduo quadrático (símbolos de Legendre/Jacobi)](https://elysiatools.com/pt/tools/quadratic-residue-checker): Calcula o símbolo de Jacobi (a/n) (n ímpar até 10¹⁸; Legendre se n for primo): módulo um primo, a^((n−1)/2) ≡ 1 indica resíduo quadrático e Tonelli–Shanks (ou a fórmula direta se p ≡ 3 (mod 4)) fornece as raízes ±√a; o símbolo −1 certifica que a NÃO é resíduo. Com módulo composto o símbolo é só necessário: −1 prova não-resíduo e +1 é inconclusivo (resolvido por força bruta quando n ≤ 10⁵). Clássico: 10 é resíduo quadrático mod 13 com raízes ±6.
- [Interpretação de Gasometria (AG / ΔAG)](https://elysiatools.com/pt/tools/blood-gas-anion-gap): Interpretação sistemática da gasometria combinando o ânion gap (AG) e delta-delta (ΔAG/ΔHCO₃⁻) para detectar distúrbios mistos. Etapas: ①pH (acidemia/normal/alcalemia); ②distúrbio primário; ③compensação (Winter PaCO₂=1.5×HCO₃+8±2); ④AG=Na−Cl−HCO₃ (±correção por albumina); ⑤Delta ratio: <0,4 AG normal, 0,4–0,8 misto, 1–2 HAGMA puro, >2 HAGMA+alcalose. Diferente do anion-gap-calculator, esta ferramenta faz a interpretação completa. Fontes: Emmett 2016, Kraut CJASN 2007, Rastegar 2007, LITFL, MDCalc, Adrogué NEJM 1998. Não é conselho médico.
- [Calculadora de concentração de DNA (absorbância A260)](https://elysiatools.com/pt/tools/dna-concentration-a260): Determina a concentração de DNA pela absorbância UV a 260 nm: concentração (µg/mL) = A260 × fator de diluição × constante ÷ trajeto óptico (cm). Constantes: DNA de fita dupla 1 OD = 50 µg/mL, fita simples 1 OD = 33 µg/mL (RNA 40 — veja a ferramenta de RNA). 1 µg/mL = 1 ng/µL; informe o volume de eluição para obter o rendimento total em µg. Inclui a janela linear 0.1–1.5: abaixo de 0.1 o ruído domina, acima de 1.5 o detector pode saturar. Pureza avalie por OD260/280. Fontes: Marmur & Doty 1961/1962, Sambrook & Russell, Thermo Fisher NanoDrop. Apenas para educação e planejamento experimental.
- [Calculadora de pureza OD260/230 (contaminação por sais/solventes)](https://elysiatools.com/pt/tools/od260-230-ratio): Avalia a contaminação por sais e solventes orgânicos pela razão OD260/230 — o controle que enxerga o que o 260/280 não vê: ácido nucleico puro dá 2.0–2.2, e valores abaixo de 2.0 sinalizam arraste de guanidínio (TRIzol/kits de coluna), fenol, carboidratos, EDTA, sais altos ou β-mercaptoetanol; 2.2–2.3 costuma ser efeito aceitável do tampão; acima de 2.3 aponta artefato de água/tampão — remedir. Campo A280 opcional para o cruzamento OD260/280 (DNA ~1.8, RNA ~2.0): uma série de leituras cobre as duas dimensões de pureza. Com leituras < ~0.05 a razão não é confiável. Fontes: Thermo Fisher T042, Sambrook & Russell, Manchester 1995. Apenas educação.
- [Calculadora de pureza de ácidos nucleicos (OD260/280)](https://elysiatools.com/pt/tools/od260-280-ratio): Avalia a pureza de ácidos nucleicos pela razão OD260/280: as bases absorvem no máximo a 260 nm e os aminoácidos aromáticos (e o fenol) perto de 280 nm, então A260/A280 diagnostica arraste de proteína/fenol. Valores esperados: DNA puro ≈ 1.8 (janela 1.7–2.0), RNA puro ≈ 2.0 (janela 1.8–2.2); DNA < 1.7 ou RNA < 1.8 indica contaminação por proteína/fenol/guanidina, DNA > 2.0 sugere contaminação com RNA, RNA > 2.2 aponta artefato de medição (baixa força iônica). Campo A230 opcional para a razão secundária A260/A230 (puro 2.0–2.2; abaixo disso guanidina/fenol/carboidratos/sais). Com leituras < ~0.05 a razão não é confiável. Fontes: Manchester 1995, Sambrook & Russell, Thermo Fisher T042. Apenas educação e planejamento.
- [Calculadora de concentração de RNA (A260, 1 OD = 40 µg/mL)](https://elysiatools.com/pt/tools/rna-concentration-a260): Determina a concentração de RNA pela absorbância UV a 260 nm: concentração (µg/mL) = A260 × fator de diluição × 40 ÷ trajeto óptico (cm). A constante do RNA é 1 OD = 40 µg/mL, entre o DNA de fita dupla (50) e o de fita simples (33); um erro comum é manter a constante 50 do dsDNA, superestimando o RNA em 25%. 1 µg/mL = 1 ng/µL; informe o volume de eluição para o rendimento total. Inclui a janela linear 0.1–1.5; RNA puro deve dar OD260/280 ≈ 2.0 (DNA ~1.8) — avalie a pureza com a ferramenta de razão. Trabalhe sem RNase e no gelo. Fontes: Marmur & Doty, Sambrook & Russell, Manchester 1995, Thermo Fisher. Apenas para educação e planejamento.
- [Divisor train/test com estratificação](https://elysiatools.com/pt/tools/train-test-split-with-stratification): Lê um dataset CSV/JSON e divide em train/validation/test com amostragem estratificada pela coluna alvo (70/15/15 padrão, semente reprodutível), ou k-fold estratificado; relatório de distribuição de classes por split com barras de desvio, checagem de vazamento por linhas duplicadas, prévia de SMOTE (interpolação de vizinhos no treino) e exportação dos CSV em ZIP.
- [Calculadora de algarismos significativos](https://elysiatools.com/pt/tools/sig-fig-calculator): Conta algarismos significativos e arredonda numeros para a quantidade alvo de digitos significativos

## Exemplos

- [Exemplos de Processamento de Imagem Web Python](https://elysiatools.com/pt/samples/web-image-processing-python): Exemplos de processamento de imagem Web Python usando PIL/Pillow incluindo leitura, salvamento, redimensionamento e conversão de formato
- [Exemplos de Processamento de Imagem Android Java](https://elysiatools.com/pt/samples/android-image-processing-java): Exemplos de processamento de imagem Android Java incluindo leitura/escrita, dimensionamento e conversão de formato
- [Exemplos de Processamento de Imagem Android Kotlin](https://elysiatools.com/pt/samples/android-image-processing-kotlin): Exemplos de processamento de imagem Android Kotlin incluindo leitura/escrita, dimensionamento e conversão de formato
- [Exemplos de Processamento de Imagem Web Rust](https://elysiatools.com/pt/samples/web-image-processing-rust): Exemplos de processamento de imagem Web Rust incluindo leitura/gravação, redimensionamento e conversão de formato