# Função de contagem de primos π(n)

Calcula a função de contagem de primos π(n) — quantos primos são ≤ n. Uma peneira de Eratóstenes em uma passada (limite 10⁷) conta com exatidão, junto com a aproximação n/ln n, a densidade de primos, o intervalo médio e o maior primo ≤ n; opcionalmente lista até 20 primos próximos de n. Referências clássicas: π(100) = 25, π(1000) = 168, π(10⁶) = 78498, π(10⁷) = 664579.

> Página canônica: https://elysiatools.com/pt/tools/prime-counting-function

- **Categoria:** Math & Numbers

- **Palavras-chave:** contagem de primos, função π, peneira de eratóstenes, teorema do número primo, densidade de primos, teoria dos números

## Visão geral

Calcule a função de contagem de primos π(n) para determinar a quantidade exata de números primos menores ou iguais a um determinado limite até 10⁷. A ferramenta utiliza uma peneira de Eratóstenes de passada única para computar a contagem exata, comparar com a estimativa do Teorema dos Números Primos (n/ln n), exibir a densidade e o intervalo médio, além de identificar o maior primo do intervalo e listar opcionalmente os últimos 20 primos.

## Entradas

- **Número n** (text): Counting bound, 1 ≤ n ≤ 10⁷ (byte-sieve limit).
- **Nível de detalhe** (select)

## Quando usar

- Quando precisar determinar o número exato de primos em um intervalo de 1 a n (até 10.000.000).
- Ao comparar a contagem real de primos com a aproximação assintótica n/ln n do Teorema dos Números Primos.
- Para inspecionar o maior primo abaixo de um limiar ou visualizar a lista dos até 20 primos mais próximos de n.

## Como funciona

- Informe o limite superior n desejado no campo de texto, respeitando o intervalo entre 1 e 10.000.000.
- Selecione o nível de detalhe desejado: apenas estatísticas e contagem ou a listagem adicional dos até 20 primos mais próximos de n.
- O algoritmo processa a Peneira de Eratóstenes para calcular π(n), a densidade π(n)/n, o intervalo médio n/π(n) e a estimativa assintótica correspondente.

## Casos de uso

- Estudo de Teoria dos Números para demonstrar o comportamento assintótico e o desvio da aproximação n/ln n.
- Verificação de limites e validação de algoritmos numéricos que exigem contagens exatas como π(10⁶) = 78498.
- Busca rápida pelo maior número primo imediatamente inferior a uma determinada ordem de grandeza (ex.: limites de arrays ou hashes).

## Perguntas frequentes

### Qual é o valor máximo suportado para n?

O limite máximo suportado para a contagem exata é n = 10.000.000 (10⁷).

### O que representa a estimativa n/ln n?

É a aproximação assintótica dada pelo Teorema dos Números Primos, indicando a quantidade esperada de primos até n.

### Como a densidade de primos é calculada?

A densidade é a razão direta entre a contagem exata e o limite superior fornecido, dada pela fórmula π(n) / n.

### Quantos primos vizinhos a ferramenta pode listar?

No modo de detalhe estendido, a ferramenta lista até os 20 maiores primos menores ou iguais a n.

### Qual é o menor valor aceito para o cálculo?

O valor mínimo de entrada para n é 1.

## Ferramentas relacionadas

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## Exemplos

- [Exemplos de Processamento de Imagem Web Python](https://elysiatools.com/pt/samples/web-image-processing-python): Exemplos de processamento de imagem Web Python usando PIL/Pillow incluindo leitura, salvamento, redimensionamento e conversão de formato
- [Exemplos de Processamento de Imagem Android Java](https://elysiatools.com/pt/samples/android-image-processing-java): Exemplos de processamento de imagem Android Java incluindo leitura/escrita, dimensionamento e conversão de formato
- [Exemplos de Processamento de Imagem Android Kotlin](https://elysiatools.com/pt/samples/android-image-processing-kotlin): Exemplos de processamento de imagem Android Kotlin incluindo leitura/escrita, dimensionamento e conversão de formato
- [Exemplos de Processamento de Imagem Web Rust](https://elysiatools.com/pt/samples/web-image-processing-rust): Exemplos de processamento de imagem Web Rust incluindo leitura/gravação, redimensionamento e conversão de formato