# Verificador de números perfeitos

Verifica se n é um número perfeito (igual à soma dos seus divisores próprios, σ(n) = 2n). Fatora n (≤ 10¹²) por divisão por tentativa, calcula σ(n) e a soma dos divisores próprios pela fórmula de potências de primos, classifica n como deficiente/perfeito/abundante e dá o índice de abundância σ(n)/n; para os perfeitos recupera a forma de Euclides–Euler 2^(p−1)·(2^p − 1) e lista os sete números perfeitos pares até 10¹². Pode listar os divisores próprios quando forem ≤ 200.

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- **Categoria:** Math & Numbers

- **Palavras-chave:** número perfeito, soma aliquota, número abundante, número deficiente, índice de abundância, divisores, primo de mersenne, teoria dos números

## Visão geral

O Verificador de números perfeitos analisa qualquer número inteiro de 1 a 10¹² para determinar se ele é perfeito, abundante ou deficiente por meio da fatoração prima e do cálculo da função divisor σ(n). A ferramenta obtém a soma dos divisores próprios, o índice de abundância σ(n)/n, identifica a forma de Euclides–Euler 2^(p−1)·(2^p − 1) quando aplicável e pode listar os divisores próprios.

## Entradas

- **Número n** (text): 1 ≤ n ≤ 10¹² (trial-division factorization bound).
- **Nível de detalhe** (select)

## Quando usar

- Para verificar se um número inteiro até 10¹² é matematicamente perfeito, abundante ou deficiente.
- Para obter a fatoração prima detalhada e o cálculo exato da soma dos divisores próprios (soma alíquota).
- Para decompor números perfeitos na fórmula de Euclides–Euler e identificar o expoente primo de Mersenne correspondente.

## Como funciona

- Fatora o número n informado por divisão por tentativa até a raiz quadrada de n.
- Aplica a fórmula da função multiplicativa σ(n) através das potências dos fatores primos para calcular a soma de todos os divisores.
- Subtrai n de σ(n) para obter a soma dos divisores próprios e calcula o índice de abundância σ(n)/n.
- Classifica o número como perfeito (σ(n) = 2n), abundante (soma própria > n) ou deficiente (soma própria < n) e reconstrói a representação de Euclides–Euler para números perfeitos.

## Casos de uso

- Estudo de teoria dos números e validação de propriedades de somas alíquotas em tarefas acadêmicas.
- Verificação de candidatos a números perfeitos e identificação rápida de primos de Mersenne associados.
- Classificação de números inteiros para resolução de problemas de olimpíadas de matemática e algoritmos computacionais.

## Perguntas frequentes

### O que define um número perfeito?

Um número inteiro positivo é perfeito quando a soma de todos os seus divisores próprios (excluindo ele mesmo) é exatamente igual ao próprio número, ou seja, σ(n) = 2n.

### Qual é o limite máximo para verificação nesta ferramenta?

A ferramenta suporta números inteiros n no intervalo de 1 até 10¹² (1 trilhão).

### Qual a diferença entre números deficientes e abundantes?

Um número é deficiente quando a soma de seus divisores próprios é menor que ele (índice σ(n)/n < 2) e abundante quando essa soma supera o próprio número (índice σ(n)/n > 2).

### Quando a lista completa de divisores próprios é exibida?

A lista de divisores próprios é exibida na saída quando a opção de detalhe correspondente for selecionada e o total de divisores próprios for menor ou igual a 200.

### O que é a forma de Euclides–Euler exibida nos resultados?

É a representação 2^(p−1)·(2^p − 1) associada a cada número perfeito par, na qual 2^p − 1 é obrigatoriamente um número primo de Mersenne.

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