# Calculadora de decomposição em frações parciais (funções racionais) Decompõe em frações parciais F(x) = N(x)/D(x) (denominador de grau ≤ 6, numerador ≤ 8; frações impróprias são primeiro divididas por divisão polinomial): raízes do denominador por Durand–Kerner agrupadas por multiplicidade e pares conjugados, sistema linear exato de coeficientes para os termos A/(x−r)^j e (Bx+C)/((x−α)²+β²), e verificação numérica do resíduo em pontos algébricos de teste. Clássicos: (3x+5)/(x²+3x+2) = 2/(x+1) + 1/(x+2); (x³+2x)/(x²+1) = x + x/(x²+1); 1/(x(x+1)²) = 1/x − 1/(x+1) − 1/(x+1)². > Página canônica: https://elysiatools.com/pt/tools/partial-fraction-decomposer - **Categoria:** Math & Numbers - **Palavras-chave:** frações parciais, decomposição em frações parciais, função racional, divisão polinomial, raízes complexas, raízes repetidas, pares conjugados, álgebra, cálculo integral ## Visão geral Esta calculadora decompõe funções racionais F(x) = N(x)/D(x) em frações parciais, aceitando numeradores com grau de até 8 e denominadores de grau até 6. A ferramenta executa automaticamente a divisão polinomial para frações impróprias, encontra raízes reais e complexas do denominador, monta o sistema linear de coeficientes e valida o resultado final com testes de resíduo numérico. ## Entradas - **Coeficientes do numerador N(x) (constante primeiro)** (text): Comma-separated numerator coefficients, constant term first, degree ≤ 8, e.g. 5,3 → 3x + 5. - **Coeficientes do denominador D(x) (constante primero)** (text): Comma-separated denominator coefficients, constant term first, degree 1–6, e.g. 2,3,1 → x² + 3x + 2. - **Casas decimais** (number) ## Quando usar - Ao simplificar funções racionais para resolver integrais no cálculo integral. - Ao preparar funções de transferência para a transformada inversa de Laplace na análise de sistemas. - Ao decompor expressões algébricas com raízes reais múltiplas ou fatores quadráticos irredutíveis. ## Como funciona - Compara os graus dos polinômios e executa a divisão polinomial longa caso o grau do numerador seja maior ou igual ao do denominador. - Calcula as raízes do denominador utilizando o método de Durand–Kerner e agrupa termos por multiplicidade e pares complexos conjugados. - Resolve o sistema linear associado para determinar os coeficientes dos termos A/(x−r)^j e (Bx+C)/((x−α)²+β²). - Gera o resultado simplificado e valida a exatidão da decomposição calculando o resíduo em pontos de teste. ## Casos de uso - Cálculo simbólico e resolução de integrais analíticas de funções racionais. - Expansão em frações parciais para cálculo da Transformada Inversa de Laplace e Z. - Estudo e verificação de exercícios de álgebra linear e pré-cálculo. ## Perguntas frequentes ### Como devo inserir os coeficientes dos polinômios? Insira os coeficientes separados por vírgula em ordem crescente de potência, começando pelo termo constante (ex.: 5,3 para 3x + 5). ### Como o sistema trata frações com grau do numerador maior que o denominador? A ferramenta realiza primeiro a divisão polinomial longa, extraindo o quociente polinomial Q(x) e decompondo o resto R(x)/D(x). ### A ferramenta suporta raízes complexas no denominador? Sim, raízes complexas são agrupadas em pares conjugados e decompostas na forma quadrática real (Bx + C)/((x−α)² + β²). ### Quais são os limites de grau suportados? O numerador suporta grau de 0 a 8 e o denominador suporta grau de 1 a 6. ### O que significa a linha de verificação numérica na saída? Mostra a diferença residual entre a função original e a decomposta avaliadas em pontos de teste algébricos para garantir a exatidão. ## Ferramentas relacionadas - [Conversor de Fração Decimal](https://elysiatools.com/pt/tools/fraction-decimal-converter): Converta entre frações e decimais com suporte para números mistos, frações impróprias e vários formatos decimais - [Calculadora de transformada inversa de Laplace (frações parciais)](https://elysiatools.com/pt/tools/inverse-laplace-calculator): Calcula a transformada inversa de Laplace de F(s) = N(s)/D(s) (fração própria, denominador de grau ≤ 6): acha as raízes do denominador agrupadas por multiplicidade e pares conjugados, resolve o sistema linear de coeficientes para a decomposição em frações parciais e inverte termo a termo com os pares padrão (A/(s−r)→Ae^(rt), A/(s−r)^j→At^(j−1)e^(rt)/(j−1)!, (Bs+C)/((s−α)²+β²)→e^(αt)\[Bcos(βt)+…sin(βt)\]). Clássicos: 1/(s²+3s+2) → e^(−t)−e^(−2t); (3s+5)/(s²+4) → 3cos(2t)+2,5sin(2t). - [Calculadora de transformada de Laplace (tabela de pares)](https://elysiatools.com/pt/tools/laplace-transform-calculator): Obtém por tabela a transformada de Laplace F(s) = ∫₀^∞ e^(−st)f(t)dt: 14 pares padrão (1, t, tⁿ, e^(at), tⁿe^(at), sin/cos(kt) e seus deslocamentos exponenciais, sinh/cosh, t·sin/t·cos, δ(t)), com substituição de parâmetros, região de convergência (p. ex. s > a), nota de derivação e avaliação numérica opcional num ponto s (com verificação de convergência). Exemplo: L{e^t} = 1/(s−1), s>1, F(2) = 1. - [Solucionador de EDO linear de segunda ordem (equação característica)](https://elysiatools.com/pt/tools/second-order-ode-solver): Resolve a·y'' + b·y' + c·y = f(x): raízes da equação característica ar² + br + c = 0, solução homogênea classificada pelo discriminante (raízes reais distintas / dupla / complexas conjugadas) e solução particular por coeficientes a determinar com ressonância (se k é raiz, o termo de prova é multiplicado por x^m). Aceita constantes, polinômios, A·e^(kx) e A·sin(kx)+B·cos(kx); com y(x₀) e y'(x₀), um sistema 2×2 determina C1 e C2. Clássico: y''−3y'+2y=0, y(0)=1, y'(0)=0 → y = −e^(2x)+2e^x. - [Calculadora de transformada Z (sistemas discretos)](https://elysiatools.com/pt/tools/z-transform-calculator): Obtém por tabela a transformada Z unilateral X(z) = Σₙ₌₀^∞ x\[n\]·z^(−n): 11 pares padrão (δ\[n\], u\[n\], aⁿ, n, n², n·aⁿ, sin/cos(ω₀n), aⁿ·sin/aⁿ·cos, (−1)ⁿ), com substituição de parâmetros, região de convergência |z| > R, nota de derivação e avaliação numérica opcional num ponto z (com verificação de convergência). Exemplo: Z{0.5ⁿ} = z/(z−0.5), |z| > 0.5, X(2) = 4/3. - [Calculadora de Renovações de Ar ACH (n = Q/V)](https://elysiatools.com/pt/tools/air-changes-per-hour): Calcula as renovações de ar n=Q/V (1/h) a partir da vazão de ar externo Q e do volume V. Três modos: n (Q,V), vazão (n,V) ou volume (n,Q). Vazão em m³/s/m³/h/CFM, volume em m³/ft³/L. Informa o tempo para atingir a meta de purga (fração residual, padrão 1%) segundo o modelo de mistura completa: t=−ln(ε)/n. - [Calculadora de Vida Útil L10 de Rolamento](https://elysiatools.com/pt/tools/bearing-life-l10): Calcula a vida útil nominal L10 = (C/P)^p de um rolamento. Esferas p=3, rolos p=10/3. Com a velocidade, L10h em horas. - [Calculadora de Torque e Força de Parafuso](https://elysiatools.com/pt/tools/bolt-torque-clamp-force): Converte entre o torque de aperto e a força axial de um parafuso. T = K·F·d, K é o fator de porca (≈0.20 aço seco). Torque por força ou força por torque. ## Exemplos - [Exemplos Netlify Edge Functions](https://elysiatools.com/pt/samples/netlify-edge-functions-samples): Exemplos abrangentes de Netlify Edge Functions cobrindo middleware, autenticação, A/B testing, geolocalização e padrões avançados de edge computing - [Exemplos de Processamento de Imagem Web Python](https://elysiatools.com/pt/samples/web-image-processing-python): Exemplos de processamento de imagem Web Python usando PIL/Pillow incluindo leitura, salvamento, redimensionamento e conversão de formato - [Exemplos Azure Functions](https://elysiatools.com/pt/samples/azure-functions): Exemplos Azure Functions serverless computing com triggers HTTP, timers e integrações - [Exemplos de Processamento de Imagem Android Java](https://elysiatools.com/pt/samples/android-image-processing-java): Exemplos de processamento de imagem Android Java incluindo leitura/escrita, dimensionamento e conversão de formato ## Conteúdo relacionado - [Ferramentas de codificacao e conversao de audio](https://elysiatools.com/pt/hubs/audio-convert): Compare conversao de formatos de audio, ajustes de bitrate, conversao de taxa de amostragem, troca de codec e exportacao em um unico hub. - [Ferramentas de conversao de formatos de imagem e exportacao animada](https://elysiatools.com/pt/hubs/image-convert): Compare conversores de imagem para JPG, PNG, GIF, AVIF, WebP, TIFF, ICO, base64 e saidas voltadas para animacao em um unico hub. - [Ferramentas de intercambio JSON e traducao de formatos](https://elysiatools.com/pt/hubs/json-convert): Compare ferramentas de conversao JSON para CSV, YAML, TOML, GraphQL, XML, Markdown, Excel, BSON, EDN e outros formatos estruturados em um unico hub. - [Ferramentas de conversao de espacos de cor para web e impressao](https://elysiatools.com/pt/hubs/design-convert): Ferramentas reunidas para conversao de espacos de cor entre web e impressao em um unico hub.