# Calculadora de diferenciação numérica (diferenças progressiva/retroativa/central)

Aproxima f′(x₀) com três diferenças finitas: progressiva (f(x₀+h)−f(x₀))/h, retroativa (f(x₀)−f(x₀−h))/h e central (f(x₀+h)−f(x₀−h))/(2h), além da segunda derivada central. A derivada exata, opcional, adiciona o erro absoluto de cada método e mostra o contraste O(h) vs. O(h²). Exemplo: f=x², x₀=1, h=0,1 → progressiva 2,1; retroativa 1,9; central exatamente 2,0.

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- **Categoria:** Math & Numbers

- **Palavras-chave:** diferenciação numérica, diferenças finitas, diferença progressiva, diferença retroativa, diferença central, calculadora de derivada, segunda derivada, métodos numéricos, cálculo

## Visão geral

A calculadora de diferenciação numérica aproxima a derivada de primeira ordem f′(x₀) usando fórmulas de diferenças finitas progressiva, retroativa e central, além de calcular a segunda derivada central f″(x₀). Opcionalmente, compara os resultados com a derivada analítica informada, exibindo o erro absoluto de cada método e evidenciando a precisão entre aproximações de ordem O(h) e O(h²).

## Entradas

- **f(x)** (text): Function of x (functions: sin, cos, exp, ln, sqrt, …).
- **Ponto x₀** (number): e.g. 1
- **Passo h** (number): Difference step, 0 < h ≤ 1. Central differences: truncation O(h²); too small an h amplifies round-off.
- **Derivada exata f′(x) (opcional)** (text): Exact derivative in x; the tool reports the absolute error of each method. Leave empty to skip.
- **Casas decimais** (number)

## Quando usar

- Ao estimar derivadas pontuais de funções matemáticas sem efetuar a diferenciação analítica manual.
- Para comparar visualmente a convergência e o erro de truncamento entre métodos de ordem O(h) e O(h²).
- Ao analisar o comportamento da primeira e segunda derivadas variando o tamanho do passo h em pontos específicos.

## Como funciona

- Informe a expressão da função f(x), o ponto de avaliação x₀ e o tamanho do passo h (com 0 < h ≤ 1).
- Opcionalmente, insira a derivada analítica exata f′(x) para cálculo de erro e ajuste a quantidade de casas decimais.
- O sistema calcula as aproximações por diferença progressiva, retroativa e central, a segunda derivada central e os respectivos erros absolutos.

## Casos de uso

- Estudantes de cálculo e métodos numéricos validando tarefas de diferenças finitas e análise de erro.
- Engenheiros e pesquisadores estimando taxas de variação locais em modelos analíticos sem resolver diferenciais complexas.
- Docentes preparando demonstrações visuais do impacto do passo h na precisão de esquemas numéricos.

## Perguntas frequentes

### Qual é a diferença entre as aproximações progressiva, retroativa e central?

As fórmulas progressiva e retroativa usam apenas um lado do ponto e têm erro de truncamento O(h), enquanto a central combina ambos os lados e atinge precisão O(h²).

### Como a segunda derivada é calculada?

Ela é estimada pela aproximação de diferença central de segunda ordem: (f(x₀+h) - 2f(x₀) + f(x₀-h)) / h².

### Por que não se deve usar um passo h excessivamente pequeno?

Passos extremamente pequenos reduzem o erro de truncamento teórico, mas amplificam erros de arredondamento decorrentes do cancelamento numérico em ponto flutuante.

### É obrigatório fornecer a derivada exata?

Não. O campo da derivada exata é opcional e serve exclusivamente para computar o erro absoluto de cada método de aproximação.

### Quais funções matemáticas são aceitas na entrada?

Expressões aritméticas padrão e funções como sin, cos, exp, ln, sqrt, potências com ^ e constantes usuais.

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