# Calculadora de inversa modular (Euclides estendido)

Calcula a⁻¹ mod m pelo algoritmo de Euclides estendido: fornece os coeficientes de Bézout a·x + m·y = gcd(a, m), a tabela completa de coeficientes diretos (cada linha satisfaz r = a·s + m·t) e a verificação a × a⁻¹ ≡ 1 (mod m). Aceita números do tamanho do RSA (até 10⁵¹²) e avisa claramente quando gcd(a, m) ≠ 1 torna a inversa inexistente. Clássico: no RSA, 17⁻¹ mod 3120 = 2753.

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- **Categoria:** Math & Numbers

- **Palavras-chave:** inversa modular, euclides estendido, identidade de bézout, coeficientes de bézout, rsa, aritmética modular, teoria dos números, inversa multiplicativa

## Visão geral

A Calculadora de inversa modular utiliza o algoritmo de Euclides estendido para calcular o inverso multiplicativo a⁻¹ mod m, exibindo a identidade de Bézout, a tabela detalhada de passos e a verificação matemática a × a⁻¹ ≡ 1 (mod m) para números inteiros padrão ou de grande escala criptográfica.

## Entradas

- **Valor a** (text): The value to invert; negative values are reduced mod m first.
- **Módulo m** (text): Modulus, m ≥ 2. Inputs up to 10⁵¹² are accepted (RSA-sized).
- **Estilo de saída** (select)

## Quando usar

- Ao calcular a chave privada d no algoritmo RSA a partir do expoente público e e do totiente de Euler φ(n).
- Ao resolver congruências lineares e equações diofantinas da forma a·x + m·y = 1.
- Ao verificar a coprimalidade entre dois números inteiros com o detalhamento das divisões sucessivas.

## Como funciona

- Informe o número a (que é reduzido módulo m se for negativo) e o módulo m (m ≥ 2).
- Escolha o estilo de saída entre o resultado direto com verificação ou o passo a passo completo da tabela de Euclides.
- O algoritmo calcula o mdc(a, m); se for 1, determina os coeficientes de Bézout e retorna o inverso modular acompanhado da prova a × a⁻¹ ≡ 1 (mod m).

## Casos de uso

- Geração de chaves e expoentes privados em algoritmos criptográficos como RSA.
- Decodificação de cifras clássicas, como a cifra afim sobre alfabetos modulares.
- Resolução de problemas de aritmética modular em disciplinas de teoria dos números e ciência da computação.

## Perguntas frequentes

### O que acontece se o mdc(a, m) for diferente de 1?

A inversa modular não existe nesse caso, e a ferramenta indica explicitamente que os números não são coprimos.

### A calculadora suporta números grandes utilizados em RSA?

Sim, o algoritmo processa inteiros de precisão arbitrária com até 10⁵¹².

### O que representam os coeficientes de Bézout?

Representam os inteiros x e y que satisfazem a identidade a·x + m·y = mdc(a, m), onde x reduzido mod m é a inversa procurada.

### É possível inserir números negativos no valor a?

Sim, entradas negativas são automaticamente reduzidas módulo m antes do cálculo.

### Qual a diferença entre os estilos de saída?

A opção de passos exibe a tabela completa de iterações r = a·s + m·t, enquanto o modo resultado foca apenas na identidade final e na verificação.

## Ferramentas relacionadas

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- [Conversor de Razão de Diluição (1:X ↔ 1/X ↔ %)](https://elysiatools.com/pt/tools/dilution-ratio-converter): Converte entre as notações de diluição de laboratório: proporção 1:X, fração 1/X e porcentagem, com o fator de diluição e as partes de soluto/diluente. Aceita as duas convenções de 1:X (X = partes totais, ou 1 parte de soluto + X de diluente); informando o volume final, calcula os volumes a misturar. Exemplo clássico: 1:5 = 1/5 = 20 %; para 100 mL, misturar 20 mL de concentrado + 80 mL de diluente.
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## Exemplos

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- [Exemplos de Processamento de Imagem Android Kotlin](https://elysiatools.com/pt/samples/android-image-processing-kotlin): Exemplos de processamento de imagem Android Kotlin incluindo leitura/escrita, dimensionamento e conversão de formato
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