# Calculadora de transformada inversa de Laplace (frações parciais) Calcula a transformada inversa de Laplace de F(s) = N(s)/D(s) (fração própria, denominador de grau ≤ 6): acha as raízes do denominador agrupadas por multiplicidade e pares conjugados, resolve o sistema linear de coeficientes para a decomposição em frações parciais e inverte termo a termo com os pares padrão (A/(s−r)→Ae^(rt), A/(s−r)^j→At^(j−1)e^(rt)/(j−1)!, (Bs+C)/((s−α)²+β²)→e^(αt)[Bcos(βt)+…sin(βt)]). Clássicos: 1/(s²+3s+2) → e^(−t)−e^(−2t); (3s+5)/(s²+4) → 3cos(2t)+2,5sin(2t). > Página canônica: https://elysiatools.com/pt/tools/inverse-laplace-calculator - **Categoria:** Math & Numbers - **Palavras-chave:** transformada inversa de laplace, frações parciais, função racional, pares de laplace, raízes complexas, raízes repetidas, resolução de edo, função de transferência, cálculo ## Visão geral Esta calculadora determina a transformada inversa de Laplace de funções racionais próprias F(s) = N(s)/D(s) com denominadores de grau até 6. A ferramenta calcula as raízes do denominador, gera a decomposição em frações parciais por meio de sistemas lineares e aplica pares clássicos de inversão para entregar a resposta analítica f(t) no domínio do tempo. ## Entradas - **Coeficientes do numerador N(s) (constante primeiro)** (text): Comma-separated numerator coefficients, constant term first, e.g. 5,3 → 3s + 5. - **Coeficientes do denominador D(s) (constante primeiro)** (text): Comma-separated denominator coefficients, constant term first, degree ≤ 6, e.g. 2,3,1 → s² + 3s + 2. - **Casas decimais** (number) ## Quando usar - Ao resolver equações diferenciais ordinárias (EDOs) lineares transformadas no domínio de Laplace. - Ao analisar a resposta temporal de funções de transferência em sistemas de controle ou circuitos elétricos. - Ao decompor funções racionais próprias em frações parciais com raízes reais, repetidas ou complexas conjugadas. ## Como funciona - Insira os coeficientes dos polinômios do numerador N(s) e do denominador D(s) separados por vírgula, iniciando pelo termo constante (ordem crescente de potências de s). - O algoritmo calcula as raízes do denominador (até grau 6), agrupando-as por multiplicidade e pares conjugados. - Monta-se e resolve-se o sistema linear de coeficientes para obter a expansão em frações parciais. - Aplica-se a tabela padrão de pares de Laplace termo a termo para gerar a função temporal contínua f(t). ## Casos de uso - Estudantes de engenharia e cálculo determinando a resposta analítica de sistemas lineares em listas de exercícios e provas. - Engenheiros de controle obtendo a resposta ao degrau ou ao impulso a partir de funções de transferência de malha fechada. - Engenheiros eletricistas calculando correntes e tensões transitórias em circuitos RLC no domínio do tempo. ## Perguntas frequentes ### Como devo inserir os coeficientes dos polinômios? Insira os coeficientes separados por vírgula em ordem crescente de grau (começando pelo termo constante). Por exemplo, s² + 3s + 2 deve ser inserido como 2,3,1. ### A calculadora aceita frações impróprias onde o grau de N(s) é maior ou igual ao de D(s)? Não, a ferramenta foi projetada exclusivamente para funções racionais estritamente próprias, exigindo que o grau do numerador seja estritamente menor que o grau do denominador. ### Qual é o grau máximo suportado para o denominador? O polinômio do denominador D(s) suporta grau máximo até 6. ### Como a ferramenta lida com raízes complexas conjugadas? Termos quadráticos irredutíveis no formato (s - α)² + β² são convertidos diretamente em combinações de exponenciais multiplicadas por seno e cosseno no domínio do tempo. ### É possível ajustar a precisão dos coeficientes resultantes? Sim, você pode configurar o campo de casas decimais para definir a precisão numérica entre 0 e 8 casas. ## Ferramentas relacionadas - [Calculadora de transformada de Laplace (tabela de pares)](https://elysiatools.com/pt/tools/laplace-transform-calculator): Obtém por tabela a transformada de Laplace F(s) = ∫₀^∞ e^(−st)f(t)dt: 14 pares padrão (1, t, tⁿ, e^(at), tⁿe^(at), sin/cos(kt) e seus deslocamentos exponenciais, sinh/cosh, t·sin/t·cos, δ(t)), com substituição de parâmetros, região de convergência (p. ex. s > a), nota de derivação e avaliação numérica opcional num ponto s (com verificação de convergência). Exemplo: L{e^t} = 1/(s−1), s>1, F(2) = 1. - [Calculadora de decomposição em frações parciais (funções racionais)](https://elysiatools.com/pt/tools/partial-fraction-decomposer): Decompõe em frações parciais F(x) = N(x)/D(x) (denominador de grau ≤ 6, numerador ≤ 8; frações impróprias são primeiro divididas por divisão polinomial): raízes do denominador por Durand–Kerner agrupadas por multiplicidade e pares conjugados, sistema linear exato de coeficientes para os termos A/(x−r)^j e (Bx+C)/((x−α)²+β²), e verificação numérica do resíduo em pontos algébricos de teste. Clássicos: (3x+5)/(x²+3x+2) = 2/(x+1) + 1/(x+2); (x³+2x)/(x²+1) = x + x/(x²+1); 1/(x(x+1)²) = 1/x − 1/(x+1) − 1/(x+1)². - [Solucionador de EDO linear de segunda ordem (equação característica)](https://elysiatools.com/pt/tools/second-order-ode-solver): Resolve a·y'' + b·y' + c·y = f(x): raízes da equação característica ar² + br + c = 0, solução homogênea classificada pelo discriminante (raízes reais distintas / dupla / complexas conjugadas) e solução particular por coeficientes a determinar com ressonância (se k é raiz, o termo de prova é multiplicado por x^m). Aceita constantes, polinômios, A·e^(kx) e A·sin(kx)+B·cos(kx); com y(x₀) e y'(x₀), um sistema 2×2 determina C1 e C2. Clássico: y''−3y'+2y=0, y(0)=1, y'(0)=0 → y = −e^(2x)+2e^x. - [Calculadora de transformada Z (sistemas discretos)](https://elysiatools.com/pt/tools/z-transform-calculator): Obtém por tabela a transformada Z unilateral X(z) = Σₙ₌₀^∞ x\[n\]·z^(−n): 11 pares padrão (δ\[n\], u\[n\], aⁿ, n, n², n·aⁿ, sin/cos(ω₀n), aⁿ·sin/aⁿ·cos, (−1)ⁿ), com substituição de parâmetros, região de convergência |z| > R, nota de derivação e avaliação numérica opcional num ponto z (com verificação de convergência). Exemplo: Z{0.5ⁿ} = z/(z−0.5), |z| > 0.5, X(2) = 4/3. - [Calculadora de valor absoluto](https://elysiatools.com/pt/tools/absolute-value-calculator): Calcula o valor absoluto de numeros positivos, negativos ou decimais e explica sua distancia ate zero - [Calculadora de Renovações de Ar ACH (n = Q/V)](https://elysiatools.com/pt/tools/air-changes-per-hour): Calcula as renovações de ar n=Q/V (1/h) a partir da vazão de ar externo Q e do volume V. Três modos: n (Q,V), vazão (n,V) ou volume (n,Q). Vazão em m³/s/m³/h/CFM, volume em m³/ft³/L. Informa o tempo para atingir a meta de purga (fração residual, padrão 1%) segundo o modelo de mistura completa: t=−ln(ε)/n. - [Calculadora de Vida Útil L10 de Rolamento](https://elysiatools.com/pt/tools/bearing-life-l10): Calcula a vida útil nominal L10 = (C/P)^p de um rolamento. Esferas p=3, rolos p=10/3. Com a velocidade, L10h em horas. - [Calculadora de Torque e Força de Parafuso](https://elysiatools.com/pt/tools/bolt-torque-clamp-force): Converte entre o torque de aperto e a força axial de um parafuso. T = K·F·d, K é o fator de porca (≈0.20 aço seco). Torque por força ou força por torque. ## Exemplos - [Exemplos de Processamento de Imagem Web Python](https://elysiatools.com/pt/samples/web-image-processing-python): Exemplos de processamento de imagem Web Python usando PIL/Pillow incluindo leitura, salvamento, redimensionamento e conversão de formato - [Exemplos de Processamento de Imagem Android Java](https://elysiatools.com/pt/samples/android-image-processing-java): Exemplos de processamento de imagem Android Java incluindo leitura/escrita, dimensionamento e conversão de formato - [Exemplos de Processamento de Imagem Android Kotlin](https://elysiatools.com/pt/samples/android-image-processing-kotlin): Exemplos de processamento de imagem Android Kotlin incluindo leitura/escrita, dimensionamento e conversão de formato - [Exemplos de Processamento de Imagem Web Rust](https://elysiatools.com/pt/samples/web-image-processing-rust): Exemplos de processamento de imagem Web Rust incluindo leitura/gravação, redimensionamento e conversão de formato ## Conteúdo relacionado - [Ferramentas de codificacao e conversao de audio](https://elysiatools.com/pt/hubs/audio-convert): Compare conversao de formatos de audio, ajustes de bitrate, conversao de taxa de amostragem, troca de codec e exportacao em um unico hub. - [Ferramentas de conversao de formatos de imagem e exportacao animada](https://elysiatools.com/pt/hubs/image-convert): Compare conversores de imagem para JPG, PNG, GIF, AVIF, WebP, TIFF, ICO, base64 e saidas voltadas para animacao em um unico hub. - [Ferramentas de intercambio JSON e traducao de formatos](https://elysiatools.com/pt/hubs/json-convert): Compare ferramentas de conversao JSON para CSV, YAML, TOML, GraphQL, XML, Markdown, Excel, BSON, EDN e outros formatos estruturados em um unico hub. - [Ferramentas de conversao de espacos de cor para web e impressao](https://elysiatools.com/pt/hubs/design-convert): Ferramentas reunidas para conversao de espacos de cor entre web e impressao em um unico hub.