# Resolvedor de jogos de soma zero (ponto de sela / programação linear) Resolve jogos de soma zero 2–6 × 2–6 (a matriz de pagamentos pertence ao jogador linha, o maximizador; o jogador coluna paga): primeiro o teste de ponto de sela (se o maximin dos mínimos das linhas iguala o minimax dos máximos das colunas, há equilíbrio em estratégias puras e todas as células de sela são listadas); caso contrário a matriz é deslocada para que todas as entradas sejam ≥ 1 e um simplex monofásico (base de folgas, regra de Bland) resolve max Σz s.a. Bz ≤ 1: o primal dá a estratégia mista q do jogador coluna e os preços duais de sombra são exatamente a solução y do jogador linha; o valor é deslocado de volta e x, q, v são verificados numericamente (xᵀA ≥ v, Aq ≤ v) junto com a igualdade minimax. Clássico: cara ou coroa [[1,-1],[-1,1]] → valor 0 com misturas 0.5/0.5. > Página canônica: https://elysiatools.com/pt/tools/game-theory-zero-sum - **Categoria:** Math & Numbers - **Palavras-chave:** teoria dos jogos, jogo de soma zero, ponto de sela, estratégia mista, minimax, equilíbrio de nash, programação linear, preço sombra, matriz de pagamentos, pesquisa operacional ## Visão geral O Resolvedor de Jogos de Soma Zero calcula equilíbrios em matrizes de pagamento de 2×2 a 6×6, identificando pontos de sela em estratégias puras ou calculando estratégias mistas ótimas e o valor do jogo via programação linear pelo método Simplex. ## Entradas - **Matriz de pagamentos (ganho do jogador linha, uma por linha)** (textarea): Payoffs to the row player (positive = row wins). 2–6 rows × 2–6 columns; the column player minimizes. - **Casas decimais** (number) ## Quando usar - Analisar decisões competitivas de soma zero entre dois participantes com matrizes de 2×2 a 6×6. - Verificar a existência de pontos de sela e equilíbrios em estratégias puras pelo teste de maximin e minimax. - Calcular a distribuição probabilística ideal de estratégias mistas e o valor final do jogo para ambos os jogadores. ## Como funciona - Insira a matriz de pagamentos com os ganhos do jogador linha (valores separados por vírgula ou espaço em cada linha). - O sistema calcula os mínimos das linhas e máximos das colunas para avaliar se há ponto de sela (maximin igual a minimax). - Se não houver ponto de sela, a matriz é deslocada para valores positivos e resolvida por Simplex monofásico com a regra de Bland. - O relatório exibe as estratégias ótimas dos jogadores linha e coluna, o valor final do jogo e as validações de segurança numérica. ## Casos de uso - Resolução de exercícios e modelagens analíticas em cursos de Pesquisa Operacional e Teoria dos Jogos. - Avaliação de táticas de precificação e segurança corporativa em cenários estritamente competitivos de soma zero. - Cálculo de equilíbrios de Nash em jogos canônicos como cara ou coroa, par ou ímpar e pedra-papel-tesoura. ## Perguntas frequentes ### Como a matriz de pagamentos é interpretada? Os valores representam os ganhos do jogador linha (maximizador) e, simultaneamente, os custos pagos pelo jogador coluna (minimizador). ### O que indica a existência de um ponto de sela? Indica um equilíbrio em estratégias puras, onde o maximin das linhas é exatamente igual ao minimax das colunas. ### Qual método é aplicado quando não há ponto de sela? A matriz é convertida em um problema de Programação Linear resolvido via método Simplex para extrair as estratégias mistas e os preços-sombra duais. ### Quais dimensões de matriz são suportadas? A ferramenta aceita matrizes variando de 2 a 6 linhas e de 2 a 6 colunas. ### O que significa o valor do jogo ser zero? Significa que o jogo é perfeitamente justo, sem vantagem matemática intrínseca para nenhum dos jogadores quando ambos jogam de forma ótima. ## Ferramentas relacionadas - [Gerador de permutações / combinações / subconjuntos (com repetições)](https://elysiatools.com/pt/tools/combinatorial-generation): Gera permutações, combinações e subconjuntos de um multiconjunto com deduplicação automática em ordem lexicográfica: as permutações usam next_permutation com contagem exata n!/Π(mᵢ!); as combinações dão as k-subseções distintas do multiconjunto, contadas como coeficiente de x^k em Π(1+x+…+x^mᵢ) (C(n,k) se todos os elementos forem distintos); os subconjuntos enumeram cada subseção com contagem Π(mᵢ+1) (2ⁿ se todos distintos), incluindo o vazio. Até 12 elementos, exibição limitada a 200 entradas mas contagem sempre exata; o modo combinações exige 1 ≤ k ≤ n. Clássicos: permutações de \[A, A, B\] → 3!/2! = 3 (AAB, ABA, BAA); subconjuntos de \[A, A, B\] → (2+1)(1+1) = 6. - [Calculadora de transformada inversa de Laplace (frações parciais)](https://elysiatools.com/pt/tools/inverse-laplace-calculator): Calcula a transformada inversa de Laplace de F(s) = N(s)/D(s) (fração própria, denominador de grau ≤ 6): acha as raízes do denominador agrupadas por multiplicidade e pares conjugados, resolve o sistema linear de coeficientes para a decomposição em frações parciais e inverte termo a termo com os pares padrão (A/(s−r)→Ae^(rt), A/(s−r)^j→At^(j−1)e^(rt)/(j−1)!, (Bs+C)/((s−α)²+β²)→e^(αt)\[Bcos(βt)+…sin(βt)\]). Clássicos: 1/(s²+3s+2) → e^(−t)−e^(−2t); (3s+5)/(s²+4) → 3cos(2t)+2,5sin(2t). - [Calculadora de transformada de Laplace (tabela de pares)](https://elysiatools.com/pt/tools/laplace-transform-calculator): Obtém por tabela a transformada de Laplace F(s) = ∫₀^∞ e^(−st)f(t)dt: 14 pares padrão (1, t, tⁿ, e^(at), tⁿe^(at), sin/cos(kt) e seus deslocamentos exponenciais, sinh/cosh, t·sin/t·cos, δ(t)), com substituição de parâmetros, região de convergência (p. ex. s > a), nota de derivação e avaliação numérica opcional num ponto s (com verificação de convergência). Exemplo: L{e^t} = 1/(s−1), s>1, F(2) = 1. - [Calculadora de decomposição em frações parciais (funções racionais)](https://elysiatools.com/pt/tools/partial-fraction-decomposer): Decompõe em frações parciais F(x) = N(x)/D(x) (denominador de grau ≤ 6, numerador ≤ 8; frações impróprias são primeiro divididas por divisão polinomial): raízes do denominador por Durand–Kerner agrupadas por multiplicidade e pares conjugados, sistema linear exato de coeficientes para os termos A/(x−r)^j e (Bx+C)/((x−α)²+β²), e verificação numérica do resíduo em pontos algébricos de teste. Clássicos: (3x+5)/(x²+3x+2) = 2/(x+1) + 1/(x+2); (x³+2x)/(x²+1) = x + x/(x²+1); 1/(x(x+1)²) = 1/x − 1/(x+1) − 1/(x+1)². - [Analisador de redes PERT (duração esperada/variância)](https://elysiatools.com/pt/tools/pert-network-analyzer): Análise PERT com estimativas de três pontos para 2–20 atividades (uma por linha: nome, otimista a, mais provável m, pessimista b, predecessoras): te = (a+4m+b)/6, σ² = ((b−a)/6)²; o CPM sobre os te dá o caminho crítico, a duração esperada TE e a variância do projeto (soma dos σ² no caminho crítico); com um tempo alvo T calculam-se Z = (T−TE)/σ e a probabilidade de conclusão Φ(Z) pela aproximação normal. Violações de a≤m≤b e ciclos são rejeitados; redes determinísticas (σ≈0) são tratadas sem divisão por zero. Clássico: A(2,4,6), B(3,5,7), C(2,3,10), D(4,6,8, B C) → TE = 15, σ² = 1.3333, P(T=16) ≈ 80.7%. - [Calculadora de filas M/M/c (multisservidor)](https://elysiatools.com/pt/tools/queuing-theory-mmc): Calcula as métricas de regime permanente da fila M/M/c (chegadas de Poisson com taxa λ, c servidores exponenciais idênticos com taxa μ, uma fila FCFS compartilhada): trafego oferecido a = λ/μ, utilização por servidor ρ, probabilidade de sistema vazio P0, probabilidade de espera de Erlang-C Pw, números médios Lq e L, tempos médios W e Wq, com verificação cruzada pela lei de Little e pela relação Pw→Lq. Exige λ < cμ (senão rejeita por instabilidade); com c = 1 as fórmulas colapsam em M/M/1. Clássico: λ = 6/h, μ = 3/h, c = 3 → P0 = 0.1111, Pw = 0.4444, Lq = 0.8889, L = 2.8889. - [Solucionador de EDO linear de segunda ordem (equação característica)](https://elysiatools.com/pt/tools/second-order-ode-solver): Resolve a·y'' + b·y' + c·y = f(x): raízes da equação característica ar² + br + c = 0, solução homogênea classificada pelo discriminante (raízes reais distintas / dupla / complexas conjugadas) e solução particular por coeficientes a determinar com ressonância (se k é raiz, o termo de prova é multiplicado por x^m). Aceita constantes, polinômios, A·e^(kx) e A·sin(kx)+B·cos(kx); com y(x₀) e y'(x₀), um sistema 2×2 determina C1 e C2. Clássico: y''−3y'+2y=0, y(0)=1, y'(0)=0 → y = −e^(2x)+2e^x. - [Calculadora de transformada Z (sistemas discretos)](https://elysiatools.com/pt/tools/z-transform-calculator): Obtém por tabela a transformada Z unilateral X(z) = Σₙ₌₀^∞ x\[n\]·z^(−n): 11 pares padrão (δ\[n\], u\[n\], aⁿ, n, n², n·aⁿ, sin/cos(ω₀n), aⁿ·sin/aⁿ·cos, (−1)ⁿ), com substituição de parâmetros, região de convergência |z| > R, nota de derivação e avaliação numérica opcional num ponto z (com verificação de convergência). Exemplo: Z{0.5ⁿ} = z/(z−0.5), |z| > 0.5, X(2) = 4/3. ## Exemplos - [Exemplos Bevy Game Engine](https://elysiatools.com/pt/samples/bevy-samples): Exemplos do motor de jogo Bevy Rust com ECS, gráficos 2D/3D, áudio e mecânicas de jogo - [Exemplos de Processamento de Imagem Web Python](https://elysiatools.com/pt/samples/web-image-processing-python): Exemplos de processamento de imagem Web Python usando PIL/Pillow incluindo leitura, salvamento, redimensionamento e conversão de formato - [Exemplos de Arquitetura Zero Trust](https://elysiatools.com/pt/samples/zero-trust-samples): Exemplos compreensivos de arquitetura Zero Trust com autenticação, segmentação de rede e controle de acesso - [Exemplos de Processamento de Imagem Android Java](https://elysiatools.com/pt/samples/android-image-processing-java): Exemplos de processamento de imagem Android Java incluindo leitura/escrita, dimensionamento e conversão de formato ## Conteúdo relacionado - [Ferramentas de codificacao e conversao de audio](https://elysiatools.com/pt/hubs/audio-convert): Compare conversao de formatos de audio, ajustes de bitrate, conversao de taxa de amostragem, troca de codec e exportacao em um unico hub. - [Ferramentas de conversao de formatos de imagem e exportacao animada](https://elysiatools.com/pt/hubs/image-convert): Compare conversores de imagem para JPG, PNG, GIF, AVIF, WebP, TIFF, ICO, base64 e saidas voltadas para animacao em um unico hub. - [Ferramentas de intercambio JSON e traducao de formatos](https://elysiatools.com/pt/hubs/json-convert): Compare ferramentas de conversao JSON para CSV, YAML, TOML, GraphQL, XML, Markdown, Excel, BSON, EDN e outros formatos estruturados em um unico hub. - [Ferramentas de conversao de espacos de cor para web e impressao](https://elysiatools.com/pt/hubs/design-convert): Ferramentas reunidas para conversao de espacos de cor entre web e impressao em um unico hub.