# Solucionador de EDO de primeira ordem (separação de variáveis) Resolve dy/dx = g(x)·h(y) por separação de variáveis: separa, integra termo a termo obtendo H(y) = G(x) + C e, quando possível, isola y = f(x). Aceita h(y) de um termo (y, y^n, e^(ky), ky+m) e polinômios quadráticos decomponíveis em frações parciais (como o logístico y(1−y)); com a condição inicial y(x₀)=y₀ calcula C e detecta soluções de equilíbrio. Exemplo: dy/dx = 2x·y → y = e^(x²+C). > Página canônica: https://elysiatools.com/pt/tools/first-order-ode-solver - **Categoria:** Math & Numbers - **Palavras-chave:** edo de primeira ordem, equação diferencial separável, separação de variáveis, problema de valor inicial, frações parciais, equação logística, solução implícita, cálculo, integração simbólica ## Visão geral O solucionador de EDO de primeira ordem resolve equações diferenciais ordinárias separáveis no formato dy/dx = g(x)·h(y) de forma simbólica passo a passo. A ferramenta realiza a separação dos termos, integra ambos os lados para gerar a relação H(y) = G(x) + C e isola y explicitamente quando possível, além de calcular a constante de integração C a partir de condições iniciais informadas. ## Entradas - **g(x) — fator do lado x** (text): x-dependent factor of dy/dx = g(x)·h(y). Terms: constants, x^n, (kx+m)^n, e^(kx), sin(kx+m), cos(kx+m), ln(kx+m), sqrt(kx+m). - **h(y) — fator do lado y** (text): y-dependent factor. Single terms (y, y^n, (ky+m)^n, e^(ky)) or a degree ≤ 2 polynomial with real roots, or c/D(y). - **x₀ (x inicial)** (number): Only used together with y₀ to pin down the constant C. - **y₀ = y(x₀)** (number): Initial value. Leave empty for the general solution; provide with x₀ for the particular solution. ## Quando usar - Ao resolver equações diferenciais ordinárias separáveis em listas de exercícios de Cálculo ou Física. - Ao determinar a solução particular de um problema de valor inicial (PVI) com condições x₀ e y₀ conhecidas. - Ao analisar equações diferenciais não lineares que exigem integração por frações parciais, como modelos de crescimento logístico. ## Como funciona - Informe as funções g(x) e h(y) correspondentes à equação dy/dx = g(x)·h(y). - Insira os valores opcionais de x₀ e y₀ caso precise resolver um problema de valor inicial para obter a constante C. - O motor separa as variáveis em dy/h(y) = g(x) dx e integra ambos os lados simbolicamente. - A ferramenta exibe os passos analíticos, indicando a solução implícita ou explicitando y = f(x) e a constante calculada. ## Casos de uso - Estudantes de engenharia conferindo resoluções analíticas passo a passo de equações diferenciais separáveis. - Professores preparando gabaritos detalhados para problemas de valor inicial com condições de contorno. - Pesquisadores modelando taxas de crescimento populacional logístico e decaimento exponencial de forma simbólica. ## Perguntas frequentes ### Quais tipos de funções são aceitas em g(x)? São aceitas constantes, potências como x^n e (kx+m)^n, exponenciais e^(kx), funções trigonométricas sin(kx+m) e cos(kx+m), logaritmos ln(kx+m) e raízes sqrt(kx+m). ### O solucionador suporta polinômios quadráticos em h(y)? Sim, a ferramenta decompõe polinômios de grau até 2 com raízes reais em frações parciais, como na equação logística y(1-y). ### O que acontece se eu não informar x₀ e y₀? A ferramenta calcula a solução geral da equação mantendo a constante arbitrária de integração C. ### A resposta sempre apresentará y isolado explicitamente? Quando a relação H(y) contiver termos que não possam ser invertidos por funções elementares, a ferramenta retornará a solução em sua forma implícita exata. ### Como a constante C é calculada no PVI? A constante é obtida aplicando a condição inicial diretamente na relação integrada: C = H(y₀) - G(x₀). ## Ferramentas relacionadas - [Calculadora de raízes por Newton-Raphson](https://elysiatools.com/pt/tools/newton-raphson-root-finder): Resolve f(x) = 0 com a iteração de Newton-Raphson x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f'(x_k): a derivada pode ser dada analiticamente (se ficar vazia, usa-se uma diferença central numérica); são exibidos a tabela de iterações (x_k e f(x_k)), o critério de paragem (|f| < tolerância ou |Δx| < tolerância·max(1,|x|)), o número de iterações e o |f(raiz)| final. Clássicos: x²−2 a partir de x₀=1 converge em 4 passos para √2 ≈ 1.4142135624; cos(x)−x converge para o número de Dottie 0.7390851332. Derivada nula, passos divergentes ou exceder o limite de iterações são reportados explicitamente. - [Integrador pela regra de Simpson (∫f(x)dx)](https://elysiatools.com/pt/tools/numerical-integration-simpson): Calcula ∫ₐᵇ f(x)dx pela regra de Simpson 1/3 composta (n par): S = h/3·(f(a) + 4Σnós ímpares + 2Σnós pares interiores + f(b)), com erro O(h⁴) e exata para polinômios de grau ≤ 3. Tabela por nós, estimativa e comparação opcional com o valor exato. Exemplos: ∫₀¹x²dx com n=4 dá 0,333333 (exata!); ∫₀¹e^(−x²)dx (sem primitiva elementar) com n=10 dá 0,746825. - [Integrador pela regra do trapézio (∫f(x)dx)](https://elysiatools.com/pt/tools/numerical-integration-trapezoid): Calcula ∫ₐᵇ f(x)dx pela regra do trapézio composta: T = h/2·(f(a) + 2Σf(xᵢ) + f(b)), com tabela por nós, estimativa da integral e comparação opcional com o valor exato e o erro absoluto; o erro é O(h²) (exata para funções lineares). Exemplo: ∫₀¹x²dx com n=4 dá 0,34375 contra o exato 1/3, erro 0,010417. - [Solucionador numérico Runge-Kutta de 4ª ordem (RK4)](https://elysiatools.com/pt/tools/runge-kutta-rk4-solver): Resolve dy/dx = f(x,y), y(x₀)=y₀ com o Runge-Kutta clássico de 4ª ordem: cada passo calcula as quatro inclinações k1–k4 e atualiza y_{n+1} = y_n + h/6·(k1+2k2+2k3+k4), com erro global O(h⁴) — dividir h por 2 reduz o erro ~16 vezes. Fornece a tabela passo a passo, o detalhe de k1–k4 dos primeiros passos e a estimativa final; a solução exata y(x), opcional, adiciona coluna de erro. Exemplo: dy/dx = y, y(0)=1, h=0,1 → y(1) ≈ 2,718282, quase exatamente e. - [Analisador de convergência de séries (razão/raiz/integral/comparação)](https://elysiatools.com/pt/tools/series-convergence-tester): Analisa a convergência da série Σ aₙ (aₙ como expressão de n): aplica em sequência o critério do termo (aₙ → 0?), o critério da razão L = |aₙ₊₁/aₙ|, o critério da raiz ρ = |aₙ|^(1/n), a comparação com séries p (p = −ln|a(N)|/ln N) e o critério integral (Simpson numérico + comparação de crescimento por década); séries alternadas são detectadas automaticamente e classificadas pelo critério de Leibniz, e para as convergentes a soma é estimada (soma parcial + cauda geométrica ou em lei de potências). Clássicos: Σ1/n² converge (p≈2, soma≈1.6449); Σ1/n diverge (harmônica); Σ0.5ⁿ converge; Σcos(πn)/n converge condicionalmente (soma≈−ln2). - [Construtor de link curto + UTM + QR](https://elysiatools.com/pt/tools/short-url-utm-builder-qr-bundle): Uma passada substitui o trio bit.ly + Campaign Builder + gerador de QR: informe a página de destino e os parâmetros UTM (trio obrigatório do GA4 validado, minúsculas opcional) e receba a URL completa rastreada; um slug base62 determinístico (hash FNV-1a, mesma entrada → mesmo slug, sem conta nem rede) no seu domínio curto; dois QR codes PNG (link curto e completo); mais os redirecionamentos nginx / vercel.json / Netlify e a linha CSV de acompanhamento de campanha. - [Analisador de Assimetria](https://elysiatools.com/pt/tools/skewness-analyzer): Analisar a assimetria dos dados para medir a assimetria da distribuição de probabilidade e identificar padrões de dados - [Calculadora de raiz quadrada](https://elysiatools.com/pt/tools/square-root-calculator): Calcula raizes quadradas, verifica se um valor e um quadrado perfeito e confirma o resultado ao quadrado ## Exemplos - [Exemplos de Processamento de Imagem Web Python](https://elysiatools.com/pt/samples/web-image-processing-python): Exemplos de processamento de imagem Web Python usando PIL/Pillow incluindo leitura, salvamento, redimensionamento e conversão de formato - [Exemplos de Variáveis de Ambiente (.env)](https://elysiatools.com/pt/samples/env-samples): Exemplos de configuração de variáveis de ambiente para diferentes tipos de aplicativos e ambientes - [Exemplos de Processamento de Imagem Android Java](https://elysiatools.com/pt/samples/android-image-processing-java): Exemplos de processamento de imagem Android Java incluindo leitura/escrita, dimensionamento e conversão de formato - [Exemplos de Processamento de Imagem Android Kotlin](https://elysiatools.com/pt/samples/android-image-processing-kotlin): Exemplos de processamento de imagem Android Kotlin incluindo leitura/escrita, dimensionamento e conversão de formato ## Conteúdo relacionado - [Ferramentas de codificacao e conversao de audio](https://elysiatools.com/pt/hubs/audio-convert): Compare conversao de formatos de audio, ajustes de bitrate, conversao de taxa de amostragem, troca de codec e exportacao em um unico hub. - [Ferramentas de conversao de formatos de imagem e exportacao animada](https://elysiatools.com/pt/hubs/image-convert): Compare conversores de imagem para JPG, PNG, GIF, AVIF, WebP, TIFF, ICO, base64 e saidas voltadas para animacao em um unico hub. - [Ferramentas de intercambio JSON e traducao de formatos](https://elysiatools.com/pt/hubs/json-convert): Compare ferramentas de conversao JSON para CSV, YAML, TOML, GraphQL, XML, Markdown, Excel, BSON, EDN e outros formatos estruturados em um unico hub. - [Ferramentas de conversao de espacos de cor para web e impressao](https://elysiatools.com/pt/hubs/design-convert): Ferramentas reunidas para conversao de espacos de cor entre web e impressao em um unico hub.