# Calculadora da função totiente de Euler φ(n)

Calcula a função totiente de Euler φ(n) — quantos inteiros em [1, n] são coprimos com n. Fatora n por divisão de tentativa e avalia exatamente φ(n) = n · Π(1 − 1/p) (n ≤ 10¹²), com opção de listar os primeiros 60 coprimos e o lembrete do teorema de Euler a^φ(n) ≡ 1 (mod n). Clássicos: φ(36) = 12 (36 = 2² × 3²); se n for primo, φ(n) = n − 1, p. ex. φ(97) = 96.

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- **Categoria:** Math & Numbers

- **Palavras-chave:** função totiente de euler, coprimo, fatoração prima, teorema de euler, teoria dos números

## Visão geral

A calculadora da função totiente de Euler φ(n) determina a quantidade exata de números inteiros positivos em [1, n] que são coprimos com n (isto é, cujo mdc é igual a 1). A ferramenta fatora o número de entrada por divisões sucessivas para inteiros até 10¹², aplica a fórmula do produto de Euler φ(n) = n · Π(1 − 1/p), exibe a relação do Teorema de Euler e oferece a listagem dos primeiros 60 números coprimos.

## Entradas

- **Número n** (text): Positive integer, 1 ≤ n ≤ 10¹² (trial-division factorization bound).
- **Nível de detalhe** (select)

## Quando usar

- Ao resolver problemas de teoria dos números, aritmética modular e congruências.
- No estudo ou implementação de algoritmos criptográficos baseados em chaves públicas, como o RSA.
- Para obter rapidamente a fatoração prima de n e conferir a lista de elementos invertíveis em ℤ/nℤ.

## Como funciona

- Insira um número inteiro positivo n no campo de entrada (onde 1 ≤ n ≤ 10¹²).
- Escolha o nível de detalhe desejado: apenas a fatoração e o valor de φ(n), ou incluir a listagem dos coprimos.
- O algoritmo calcula a decomposição em fatores primos distintos e computa a fórmula do produto de Euler.
- Visualize o resultado com a fatoração em fatores primos, o valor final de φ(n), a aplicação do Teorema de Euler e a lista de coprimos se selecionada.

## Casos de uso

- Estudantes de matemática e computação verificando cálculos de ordens multiplicativas e teoremas de Euler e Fermat.
- Pesquisadores e desenvolvedores calculando parâmetros de módulo e expoentes em criptossistemas de chave assimétrica.
- Professores demonstrando propriedades multiplicativas e fatores primos em aulas de álgebra e teoria dos números.

## Perguntas frequentes

### O que representa a função totiente de Euler φ(n)?

Ela conta a quantidade de inteiros positivos no intervalo [1, n] que compartilham apenas o 1 como divisor comum com n (mdc(a, n) = 1).

### Qual é a fórmula aplicada para calcular φ(n)?

O cálculo utiliza a fórmula do produto φ(n) = n · Π(1 − 1/p) para todos os fatores primos distintos p que dividem n.

### O que acontece quando o número n é primo?

Se n é primo, todos os números de 1 até n − 1 são coprimos com ele, resultando diretamente em φ(n) = n − 1.

### Quantos números coprimos são listados no modo estendido?

A opção com listagem apresenta até os primeiros 60 números coprimos menores ou iguais a n.

### Qual é o limite superior suportado para a entrada n?

A ferramenta suporta inteiros positivos n de 1 até 10¹² (1 trilhão).

## Ferramentas relacionadas

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- [Resolvedor de jogos de soma zero (ponto de sela / programação linear)](https://elysiatools.com/pt/tools/game-theory-zero-sum): Resolve jogos de soma zero 2–6 × 2–6 (a matriz de pagamentos pertence ao jogador linha, o maximizador; o jogador coluna paga): primeiro o teste de ponto de sela (se o maximin dos mínimos das linhas iguala o minimax dos máximos das colunas, há equilíbrio em estratégias puras e todas as células de sela são listadas); caso contrário a matriz é deslocada para que todas as entradas sejam ≥ 1 e um simplex monofásico (base de folgas, regra de Bland) resolve max Σz s.a. Bz ≤ 1: o primal dá a estratégia mista q do jogador coluna e os preços duais de sombra são exatamente a solução y do jogador linha; o valor é deslocado de volta e x, q, v são verificados numericamente (xᵀA ≥ v, Aq ≤ v) junto com a igualdade minimax. Clássico: cara ou coroa \[\[1,-1\],\[-1,1\]\] → valor 0 com misturas 0.5/0.5.
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## Exemplos

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- [Exemplos de Processamento de Imagem Android Kotlin](https://elysiatools.com/pt/samples/android-image-processing-kotlin): Exemplos de processamento de imagem Android Kotlin incluindo leitura/escrita, dimensionamento e conversão de formato
- [Exemplos de Processamento de Imagem Web Rust](https://elysiatools.com/pt/samples/web-image-processing-rust): Exemplos de processamento de imagem Web Rust incluindo leitura/gravação, redimensionamento e conversão de formato