# Test de primalité du théorème de Wilson Test de primalité par le théorème de Wilson : (n−1)! ≡ −1 (mod n) si et seulement si n est premier. Le résidu (n−1)! mod n est accumulé terme à terme (n ≤ 10⁷), contre-vérifié par un Miller–Rabin déterministe, et pour n composé confronté à la loi factorielle ((n−1)! ≡ 0 (mod n) pour tout n > 4, n = 4 étant l'unique exception). Peut afficher la suite des produits partiels k! mod n (n ≤ 200). > Page canonique: https://elysiatools.com/fr/tools/wilson-theorem-checker - **Catégorie:** Math & Numbers - **Mots-clés:** théorème de wilson, test de primalité, factorielle, arithmétique modulaire, miller-rabin, théorie des nombres, nombre premier ## Présentation Ce testeur applique le théorème de Wilson pour déterminer la primalité d'un entier n compris entre 2 et 10⁷. Il calcule le résidu exact (n−1)! modulo n, le confronte à la condition (n−1)! ≡ −1 (mod n), vérifie la loi factorielle pour les nombres composés et valide le résultat par un test déterministe de Miller–Rabin. ## Entrées - **Nombre n** (text): 2 ≤ n ≤ 10⁷ (one factorial-modulo pass). - **Niveau de détail** (select) ## Quand l'utiliser - Pour illustrer concrètement l'application du théorème de Wilson et de l'arithmétique modulaire en cours de mathématiques ou d'informatique. - Pour analyser pas à pas l'évolution des produits factoriels partiels k! mod n sur de petits entiers (n ≤ 200). - Pour vérifier le comportement du résidu factoriel d'un entier composé face à la règle (n−1)! ≡ 0 (mod n) pour n > 4. ## Fonctionnement - Saisissez un entier n compris entre 2 et 10 000 000. - Sélectionnez le niveau de détail souhaité : verdict simple avec contre-vérification ou affichage de la trace des produits partiels (pour n ≤ 200). - L'outil calcule le produit modulaire accumulé (n−1)! mod n, compare le résidu à n−1, applique le test de Miller–Rabin déterministe et affiche le verdict de primalité. ## Cas d'usage - Démonstration pédagogique en arithmétique modulaire montrant pourquoi les inverses modulo n s'annulent deux à deux pour laisser −1. - Étude des propriétés factorielles des entiers composés, notamment l'apparition précoce de zéros dans la chaîne de multiplication modulaire. - Contrôle rapide de primalité avec rapport complet comparant Wilson et Miller–Rabin pour des valeurs jusqu'à 10⁷. ## Questions fréquentes ### Que stipule exactement le théorème de Wilson ? Un entier n ≥ 2 est premier si et seulement si (n−1)! ≡ −1 (mod n), ce qui équivaut à (n−1)! mod n = n − 1. ### Pourquoi le théorème de Wilson est-il rarement utilisé pour les très grands nombres ? Le calcul de (n−1)! nécessite un nombre d'opérations proportionnel à n, ce qui devient impraticable pour les très grands entiers comparé à des tests polynomiaux comme Miller–Rabin. ### Que vaut (n−1)! mod n lorsque n est un nombre composé ? Pour tout entier composé n > 4, (n−1)! ≡ 0 (mod n). L'unique exception est n = 4, où 3! ≡ 2 (mod 4). ### Pourquoi l'affichage des produits partiels est-il limité à n ≤ 200 ? Cette restriction évite de générer des listes textuelles trop longues tout en permettant d'observer en détail la trajectoire modulaire sur les petits entiers. ### À quoi sert la contre-vérification par Miller–Rabin intégrée ? Elle fournit une double validation indépendante et déterministe du statut premier ou composé du nombre saisi. ## Outils associés - [Vérificateur de nombre parfait](https://elysiatools.com/fr/tools/perfect-number-checker): Vérifie si n est un nombre parfait (égal à la somme de ses diviseurs propres, σ(n) = 2n). Factorise n (≤ 10¹²) par division d'essai, calcule σ(n) et la somme des diviseurs propres via la formule par puissances premières, classe n comme déficient/parfait/abondant et donne l'indice d'abondance σ(n)/n ; pour les parfaits, retrouve la forme d'Euclide–Euler 2^(p−1)·(2^p − 1) et liste les sept nombres parfaits pairs jusqu'à 10¹². Peut lister les diviseurs propres quand ils sont ≤ 200. - [Vérificateur de Nombres Premiers](https://elysiatools.com/fr/tools/prime-number-checker): Vérifie si un nombre est premier (un nombre naturel supérieur à 1 qui n'a pas de diviseurs positifs autres que 1 et lui-même) - [Tuteur d’Analyse Dimensionnelle et d’Annulation d’Unités](https://elysiatools.com/fr/tools/dimensional-analysis-unit-cancellation-tutor): Découpe une conversion en annulations factor-label étape par étape : montre numérateur/dénominateur, détecte les facteurs inversés et fournit un retour pédagogique sur les incohérences dimensionnelles et les réponses fausses. - [Analyseur de réseau PERT (durée attendue/variance)](https://elysiatools.com/fr/tools/pert-network-analyzer): Analyse PERT à trois points pour 2–20 activités (une par ligne : nom, optimiste a, plus probable m, pessimiste b, prédécesseurs) : te = (a+4m+b)/6, σ² = ((b−a)/6)² ; le CPM sur les te donne le chemin critique, la durée attendue TE et la variance du projet (somme des σ² sur le chemin critique) ; avec un délai cible T, l'outil calcule Z = (T−TE)/σ et la probabilité d'achèvement Φ(Z) par approximation normale. Les violations de a≤m≤b et les cycles sont rejetés ; les réseaux déterministes (σ≈0) sont traités sans division par zéro. Classique : A(2,4,6), B(3,5,7), C(2,3,10), D(4,6,8, B C) → TE = 15, σ² = 1.3333, P(T=16) ≈ 80,7 %. - [Calculateur de file d'attente M/M/1](https://elysiatools.com/fr/tools/queuing-theory-mm1): Calcule les métriques en régime permanent de la file M/M/1 : arrivées de Poisson (taux λ), service exponentiel (taux μ), FCFS. Exige λ < μ, sinon le système est instable et l'entrée est rejetée. Rapporte le taux d'occupation ρ, la probabilité P0 de système vide, les nombres moyens L (dans le système) et Lq (en file), les temps moyens W et Wq, la probabilité d'attendre ρ et les probabilités d'état P(n) = (1−ρ)ρⁿ (n = 0…5), avec vérification croisée par la loi de Little L = λW, Lq = λWq. Classique : λ = 4/h, μ = 6/h → ρ = 0.6667, L = 2, Lq = 1.3333, W = 0.5, Wq = 0.3333. - [Calculateur de file M/M/c multi-serveurs](https://elysiatools.com/fr/tools/queuing-theory-mmc): Calcule les métriques en régime permanent de la file M/M/c (arrivées de Poisson de taux λ, c serveurs exponentiels identiques de taux μ, file FCFS unique) : trafic offert a = λ/μ, taux d'occupation par serveur ρ, probabilité P0 de système vide, probabilité d'attente d'Erlang-C Pw, nombres moyens Lq et L, temps moyens W et Wq, avec vérification croisée par la loi de Little et la relation Pw→Lq. Exige λ < cμ (sinon rejet pour instabilité) ; avec c = 1 les formules retombent sur M/M/1. Classique : λ = 6/h, μ = 3/h, c = 3 → P0 = 0.1111, Pw = 0.4444, Lq = 0.8889, L = 2.8889. - [Calculateur de Combinaisons](https://elysiatools.com/fr/tools/combination-calculator): Calcule les combinaisons (C(n,r)) avec support pour différents types: avec/sans répétition, coefficients binomiaux. - [Calculateur de nombres complexes](https://elysiatools.com/fr/tools/complex-number-calculator): Effectue des operations et analyses structurees pour les nombres complexes en forme algebrique et polaire ## Exemples - [Exemples de Traitement d'Images Android Java](https://elysiatools.com/fr/samples/android-image-processing-java): Exemples de traitement d'images Android Java incluant lecture/écriture, mise à l'échelle et conversion de format - [Exemples de Traitement d'Images Android Kotlin](https://elysiatools.com/fr/samples/android-image-processing-kotlin): Exemples de traitement d'images Android Kotlin incluant lecture/écriture, mise à l'échelle et conversion de format - [Exemples de Traitement d'Images Web Python](https://elysiatools.com/fr/samples/web-image-processing-python): Exemples de traitement d'images Web Python utilisant PIL/Pillow incluant la lecture, l'enregistrement, le redimensionnement et la conversion de format - [Exemples de Traitement d'Images Web Rust](https://elysiatools.com/fr/samples/web-image-processing-rust): Exemples de traitement d'images Web Rust incluant lecture/écriture, redimensionnement et conversion de format