# Crible d'Ératosthène (générateur de nombres premiers)

Génère tous les nombres premiers jusqu'à n (≤ 10⁷) par le crible d'Ératosthène, éventuellement restreints à [m, n]. La sortie explique la mécanique : premiers de base (p² ≤ n), nombre d'opérations de barragement et composés réels ; la liste affiche jusqu'à 200 premiers mais les comptages restent exacts. Classique : pour n = 100, les bases 2, 3, 5, 7 barrent 74 composés et laissent 25 premiers ; π(1000) = 168.

> Page canonique: https://elysiatools.com/fr/tools/sieve-of-eratosthenes

- **Catégorie:** Math & Numbers

- **Mots-clés:** crible d'ératosthène, nombres premiers, liste de premiers, générateur de premiers, comptage des premiers, composés, théorie des nombres

## Présentation

Ce générateur basé sur le crible d'Ératosthène permet d'énumérer les nombres premiers jusqu'à 10⁷ ou dans un intervalle spécifique [m, n]. En plus de lister les entiers premiers obtenus, l'outil détaille les étapes de calcul : identification des premiers de base (où p² ≤ n), décompte des opérations de barragement, nombre exact de composés éliminés et valeur de la fonction de compte des nombres premiers π(n).

## Entrées

- **Limite supérieure n** (text): Sieve bound, 2 ≤ n ≤ 10⁷ (byte-sieve limit).
- **Borne inférieur m (facultatif)** (text): Only list primes ≥ m; leave empty to enumerate from 2.

## Quand l'utiliser

- Pour générer une liste précise de nombres premiers jusqu'à une valeur seuil (jusqu'à 10 000 000).
- Pour dénombrer ou extraire les nombres premiers situés dans un sous-intervalle donné \[m, n\].
- Pour illustrer ou analyser le fonctionnement théorique du crible d'Ératosthène (premiers de base et élimination des composés multiples).

## Fonctionnement

- Indiquez la limite supérieure n (entre 2 et 10⁷) et, si souhaité, une borne inférieure m pour restreindre l'affichage.
- L'algorithme identifie tous les nombres premiers de base vérifiant p² ≤ n et marque méthodiquement leurs multiples comme composés.
- L'outil calcule le nombre total d'opérations de barragement, dénombre les entiers composés éliminés et isole les survivants premiers.
- Le résultat affiche les métriques détaillées (π(n), opérations, plus grand premier) ainsi que la liste des premiers (jusqu'à 200 entrées affichées).

## Cas d'usage

- Étude mathématique et pédagogique de la répartition des nombres premiers et de la fonction π(n).
- Sélection rapide de facteurs premiers ou de nombres premiers dans un intervalle spécifique pour des exercices d'arithmétique.
- Vérification des étapes de barragement d'un algorithme de crible sur de petites ou moyennes limites.

## Questions fréquentes

### Quelle est la valeur maximale acceptée pour n ?

La limite supérieure n peut être configurée jusqu'à 10⁷ (10 000 000).

### Pourquoi la liste affichée est-elle parfois tronquée ?

La liste textuelle affiche jusqu'à 200 nombres premiers pour des raisons de lisibilité, mais les statistiques et comptages π(n) restent parfaitement exhaustifs.

### Que représentent les « premiers de base » ?

Ce sont les nombres premiers p dont le carré est inférieur ou égal à n (p² ≤ n), suffisants pour barrer l'ensemble des composés jusqu'à n.

### Comment filtrer les nombres premiers sur un sous-intervalle ?

Renseignez le champ facultatif m avec la borne de début ; l'algorithme criblera jusqu'à n mais ne retournera que les premiers vérifiant p ≥ m.

### Le nombre 1 est-il pris en compte dans le crible ?

Non, le crible d'Ératosthène commence strictement à 2, 1 n'étant par définition ni premier ni composé.

## Outils associés

- [Générateur de permutations / combinaisons / sous-ensembles (avec répétitions)](https://elysiatools.com/fr/tools/combinatorial-generation): Génère permutations, combinaisons et sous-ensembles d'un multiensemble avec dédoublonnage automatique en ordre lexicographique : les permutations suivent next_permutation avec comptage exact n!/Π(mᵢ!) ; les combinaisons donnent les k-sous-multiensembles distincts, comptés comme coefficient de x^k dans Π(1+x+…+x^mᵢ) (C(n,k) si tous les éléments sont distincts) ; les sous-ensembles énumèrent chaque sous-multiensemble avec comptage Π(mᵢ+1) (2ⁿ si tous distincts), ensemble vide inclus. Jusqu'à 12 éléments, affichage plafonné à 200 entrées mais comptage toujours exact ; le mode combinaisons exige 1 ≤ k ≤ n. Classiques : permutations de \[A, A, B\] → 3!/2! = 3 (AAB, ABA, BAA) ; sous-ensembles de \[A, A, B\] → (2+1)(1+1) = 6.
- [Calculateur de Courant de Court-Circuit (IEC 60909)](https://elysiatools.com/fr/tools/short-circuit-current-calculator): Estime le courant de court-circuit triphasé symétrique (IEC 60909, défaut éloigné) : I"_k = c·U_n/(√3·|Z|), i_p = κ·√2·I"_k. Impédance = transformateur + ligne ; κ = 1,02 + 0,98·e^(−3R/X).
- [Calculateur de la fonction de Carmichael λ(n)](https://elysiatools.com/fr/tools/carmichael-function): Calcule la fonction de Carmichael λ(n) — l'exposant du groupe multiplicatif (Z/nZ)*, c'est-à-dire le plus petit k tel que a^k ≡ 1 (mod n) pour tout a premier avec n. Construite depuis la factorisation (λ(2)=1, λ(4)=2, λ(2^k)=2^(k−2) pour k ≥ 3, λ(p^k)=φ(p^k) pour les puissances impaires, puis PPCM), avec φ(n) en regard, l'existence d'une racine primitive et le critère de Korselt pour repérer les nombres de Carmichael. Classiques : λ(561) = 80 (561 est le plus petit nombre de Carmichael) et λ(8) = 2 < φ(8) = 4.
- [Théorème des restes chinois (système de congruences)](https://elysiatools.com/fr/tools/chinese-remainder-theorem): Résout le système x ≡ rᵢ (mod mᵢ) (2 à 20 congruences) par le théorème des restes chinois généralisé avec fusion par paires : modules premiers entre eux → module combiné égal au produit ; non premiers entre eux mais compatibles → PPCM ; système incompatible → absence de solution signalée clairement. Chaque congruence est vérifiée contre la solution finale. Classique : x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), x ≡ 2 (mod 7) → x = 23 (mod 105).
- [Calculateur de l'indicatrice d'Euler φ(n)](https://elysiatools.com/fr/tools/euler-totient-function): Calcule l'indicatrice d'Euler φ(n) — le nombre d'entiers de \[1, n\] premiers avec n. Factorise n par divisions d'essai puis évalue exactement φ(n) = n · Π(1 − 1/p) (n ≤ 10¹²), avec option pour lister les 60 premiers nombres premiers avec n et le rappel du théorème d'Euler a^φ(n) ≡ 1 (mod n). Classiques : φ(36) = 12 (36 = 2² × 3²) ; si n est premier, φ(n) = n − 1, p. ex. φ(97) = 96.
- [Convertisseur Fraction Décimal](https://elysiatools.com/fr/tools/fraction-decimal-converter): Convertir entre fractions et décimales avec support pour les nombres mixtes, fractions impropres et divers formats décimaux
- [Solveur de jeux à somme nulle (point selle / programmation linéaire)](https://elysiatools.com/fr/tools/game-theory-zero-sum): Résout les jeux à somme nulle 2–6 × 2–6 (la matrice appartient au joueur ligne, le maximisateur ; le joueur colonne paie) : d'abord le test de point selle (si le maximin des minima de lignes égale le minimax des maxima de colonnes, l'équilibre en stratégies pures existe et toutes les cellules selles sont listées) ; sinon la matrice est décalée pour que chaque entrée soit ≥ 1 et un simplexe monophasique (base d'écarts, règle de Bland) résout max Σz s.t. Bz ≤ 1 : le primal donne la stratégie mixte q du colonne et les prix duaux d'ombre sont exactement la solution y du joueur ligne ; la valeur est décalée en retour et x, q, v sont vérifiés numériquement (xᵀA ≥ v, Aq ≤ v) ainsi que l'égalité minimax. Classique : pile ou face \[\[1,-1\],\[-1,1\]\] → valeur 0 avec mélanges 0.5/0.5.
- [Calculateur de transformée de Laplace inverse (fractions partielles)](https://elysiatools.com/fr/tools/inverse-laplace-calculator): Calcule la transformée de Laplace inverse de F(s) = N(s)/D(s) (fraction propre, dénominateur de degré ≤ 6) : racines du dénominateur regroupées par multiplicité et paires conjuguées, décomposition en fractions partielles par résolution d'un système linéaire sur les coefficients polynomiaux, puis inversion terme à terme avec les paires standard (A/(s−r)→Ae^(rt), A/(s−r)^j→At^(j−1)e^(rt)/(j−1)!, (Bs+C)/((s−α)²+β²)→e^(αt)\[Bcos(βt)+…sin(βt)\]). Classiques : 1/(s²+3s+2) → e^(−t)−e^(−2t) ; (3s+5)/(s²+4) → 3cos(2t)+2,5sin(2t).

## Exemples

- [Exemples de Traitement d'Images Web Python](https://elysiatools.com/fr/samples/web-image-processing-python): Exemples de traitement d'images Web Python utilisant PIL/Pillow incluant la lecture, l'enregistrement, le redimensionnement et la conversion de format
- [Exemples de Traitement d'Images Android Java](https://elysiatools.com/fr/samples/android-image-processing-java): Exemples de traitement d'images Android Java incluant lecture/écriture, mise à l'échelle et conversion de format
- [Exemples de Traitement d'Images Android Kotlin](https://elysiatools.com/fr/samples/android-image-processing-kotlin): Exemples de traitement d'images Android Kotlin incluant lecture/écriture, mise à l'échelle et conversion de format
- [Exemples de Traitement d'Images Web Rust](https://elysiatools.com/fr/samples/web-image-processing-rust): Exemples de traitement d'images Web Rust incluant lecture/écriture, redimensionnement et conversion de format