# Analyseur de convergence des séries (ratio/racine/intégrale/comparaison)

Analyse la convergence de la série Σ aₙ (aₙ comme expression de n) : applique dans l'ordre le critère du terme (aₙ → 0 ?), le critère du rapport L = |aₙ₊₁/aₙ|, le critère de la racine ρ = |aₙ|^(1/n), la comparaison aux séries de Riemann (p = −ln|a(N)|/ln N) et le critère intégral (Simpson numérique + comparaison de croissance par décade) ; les séries alternées sont détectées automatiquement et classées par le critère de Leibniz, et la somme des séries convergentes est estimée (somme partielle + queue géométrique ou en loi de puissance). Classiques : Σ1/n² converge (p≈2, somme≈1.6449) ; Σ1/n diverge (harmonique) ; Σ0.5ⁿ converge ; Σcos(πn)/n converge conditionnellement (somme≈−ln2).

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- **Catégorie:** Math & Numbers

- **Mots-clés:** convergence des séries, critère du rapport, critère de la racine, critère intégral, critère de comparaison, séries de riemann, série harmonique, séries alternées, critère de leibniz, calcul

## Présentation

L'analyseur de convergence des séries évalue automatiquement le comportement d'une série numérique Σ aₙ à partir de l'expression du terme général en fonction de n. Il applique successivement plusieurs tests mathématiques fondamentaux (divergence grossière, rapport de d'Alembert, racine de Cauchy, comparaison aux séries de Riemann et critère intégral) tout en gérant les séries alternées via le critère de Leibniz et en estimant la somme totale.

## Entrées

- **Expression du terme aₙ (variable n)** (text): The general term aₙ as an expression of n (n starts at 1). Supports + - * / ^, parentheses, and functions like exp, sin, cos, sqrt, ln. Alternating signs (e.g. cos(pi*n)) are detected.
- **Décimales** (number)

## Quand l'utiliser

- Vérifier rapidement si une série numérique Σ aₙ converge absolument, converge conditionnellement ou diverge.
- Déterminer quel test de convergence (d'Alembert, Cauchy, Riemann, Simpson/intégral ou Leibniz) est le plus adapté pour une suite donnée.
- Estimer la valeur numérique de la somme infinie d'une série convergente avec un niveau de précision défini.

## Fonctionnement

- Saisissez l'expression analytique du terme aₙ en utilisant la variable n (par exemple 1/n^2 ou cos(pi*n)/n) et réglez le nombre de décimales souhaité.
- L'outil évalue la limite du terme général aₙ, calcule le rapport asymptotique L = |aₙ₊₁/aₙ| et la racine ρ = |aₙ|^(1/n), puis estime le paramètre p de comparaison aux séries de Riemann.
- Pour les fonctions positives ou alternées, le moteur applique l'intégration numérique (méthode de Simpson) ou le critère de Leibniz, puis additionne les termes partiels avec une extrapolation du reste pour estimer la somme.

## Cas d'usage

- Étude mathématique de suites et séries dans l'enseignement supérieur et les classes préparatoires.
- Contrôle de convergence d'approximations numériques et de développements en série pour l'ingénierie.
- Vérification de la sommabilité de séries harmoniques, géométriques ou alternées complexes.

## Questions fréquentes

### Quelles fonctions mathématiques sont supportées dans l'expression de aₙ ?

Vous pouvez utiliser les opérateurs arithmétiques standards (+, -, *, /, ^) ainsi que les fonctions usuelles comme exp, ln, sqrt, sin et cos.

### Comment l'outil gère-t-il les séries alternées ?

Il détecte l'alternance de signe (comme via cos(pi*n)), vérifie la décroissance de |aₙ| vers 0 avec le critère de Leibniz et distingue convergence absolue et conditionnelle.

### Pourquoi les tests du rapport et de la racine sont-ils parfois non concluants ?

Pour les séries de type Riemann (ex. 1/n²), L et ρ valent 1. L'outil bascule alors sur le test de comparaison p-série ou le critère intégral pour trancher.

### Comment la somme de la série est-elle estimée ?

L'algorithme calcule une somme partielle sur un nombre fini de termes, puis y ajoute une estimation asymptotique de la queue (géométrique ou en loi de puissance).

### Quel est l'intervalle de valeurs pour le paramètre des décimales ?

Le nombre de décimales peut être configuré entre 0 et 8 décimales après la virgule.

## Outils associés

- [Solveur d'EDO du premier ordre (séparation des variables)](https://elysiatools.com/fr/tools/first-order-ode-solver): Résout dy/dx = g(x)·h(y) par séparation des variables : séparation, intégration terme à terme pour obtenir H(y) = G(x) + C puis, quand c'est possible, y = f(x). Accepte les h(y) à un terme (y, y^n, e^(ky), ky+m) et les polynômes du second degré décomposables en fractions simples (comme le logistique y(1−y)) ; avec la condition initiale y(x₀)=y₀, calcule C et détecte les solutions d'équilibre. Exemple : dy/dx = 2x·y → y = e^(x²+C).
- [Calculateur de racines par Newton-Raphson](https://elysiatools.com/fr/tools/newton-raphson-root-finder): Résout f(x) = 0 par l'itération de Newton-Raphson x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f'(x_k) : la dérivée peut être fournie analytiquement (sinon une différence centrale numérique est utilisée) ; sont affichés la table des itérations (x_k et f(x_k)), le critère d'arrêt (|f| < tolérance ou |Δx| < tolérance·max(1,|x|)), le nombre d'itérations et le |f(racine)| final. Classiques : x²−2 depuis x₀=1 converge en 4 itérations vers √2 ≈ 1.4142135624 ; cos(x)−x converge vers le nombre de Dottie 0.7390851332. Dérivée nulle, pas divergents ou dépassement du nombre d'itérations sont signalés explicitement.
- [Intégrateur par règle de Simpson (∫f(x)dx)](https://elysiatools.com/fr/tools/numerical-integration-simpson): Calcule ∫ₐᵇ f(x)dx par la règle de Simpson 1/3 composée (n pair) : S = h/3·(f(a) + 4Σnœuds impairs + 2Σnœuds pairs intérieurs + f(b)), erreur en O(h⁴), exacte pour les polynômes de degré ≤ 3. Tableau des nœuds, estimation et comparaison facultative avec la valeur exacte. Exemples : ∫₀¹x²dx avec n=4 donne 0,333333 (exacte !) ; ∫₀¹e^(−x²)dx (sans primitive élémentaire) avec n=10 donne 0,746825.
- [Intégrateur par règle du trapèze (∫f(x)dx)](https://elysiatools.com/fr/tools/numerical-integration-trapezoid): Calcule ∫ₐᵇ f(x)dx par la règle du trapèze composée : T = h/2·(f(a) + 2Σf(xᵢ) + f(b)), avec tableau des nœuds, estimation de l'intégrale et comparaison facultative avec la valeur exacte et l'erreur absolue ; erreur en O(h²) (exacte pour les fonctions linéaires). Exemple : ∫₀¹x²dx avec n=4 donne 0,34375 contre 1/3 exactement, erreur 0,010417.
- [Solveur numérique Runge-Kutta d'ordre 4 (RK4)](https://elysiatools.com/fr/tools/runge-kutta-rk4-solver): Résout dy/dx = f(x,y), y(x₀)=y₀ par le Runge-Kutta classique d'ordre 4 : chaque pas calcule les quatre pentes k1–k4 et met à jour y_{n+1} = y_n + h/6·(k1+2k2+2k3+k4), avec une erreur globale en O(h⁴) — diviser h par 2 réduit l'erreur d'un facteur ~16. Fournit le tableau des itérations, le détail des k1–k4 des premiers pas et l'estimation finale ; la solution exacte y(x), optionnelle, ajoute une colonne d'erreur. Exemple : dy/dx = y, y(0)=1, h=0,1 → y(1) ≈ 2,718282, quasiment e.
- [Analyseur d'Asymétrie](https://elysiatools.com/fr/tools/skewness-analyzer): Analyser l'asymétrie des données pour mesurer l'asymétrie de la distribution de probabilité et identifier les modèles de données
- [Calculateur d'intégrale de convolution (numérique)](https://elysiatools.com/fr/tools/convolution-integral-calculator): Calcule numériquement la convolution de deux signaux (f*g)(t) = ∫ f(τ)g(t−τ)dτ : mode causal (les deux signaux sont nuls pour t<0, intégrale sur \[max(τmin,0), min(τmax,t)\], adapté aux produits du domaine de Laplace) et mode fenêtre directe (intégrale sur tout \[τmin, τmax\], adapté aux signaux bilatéraux comme les gaussiennes), par la règle de Simpson composée (2000 intervalles par défaut). Classiques : e^(−t)*e^(−2t) = e^(−t)−e^(−2t), soit 0.2325 en t=1 ; deux gaussiennes se convoluent en √(π/2)·e^(−t²/2).
- [Solveur numérique par méthode d'Euler (EDO premier ordre)](https://elysiatools.com/fr/tools/euler-method-solver): Résout le problème de Cauchy dy/dx = f(x,y), y(x₀)=y₀ par la méthode d'Euler explicite : y_{n+1} = y_n + h·f(x_n, y_n), avec tableau des itérations et estimation finale. La solution exacte y(x), optionnelle, ajoute une colonne d'erreur qui illustre l'erreur globale en O(h) de la méthode d'ordre 1. Exemple : dy/dx = y, y(0)=1, h=0,1 → y(1) ≈ 1,1¹⁰ = 2,593742 contre e = 2,718282 (erreur 0,124539).

## Exemples

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