# Solveur d'EDO linéaire du second ordre (équation caractéristique)

Résout a·y'' + b·y' + c·y = f(x) : racines de l'équation caractéristique ar² + br + c = 0, solution homogène classée selon le discriminant (racines réelles distinctes / double / complexes conjuguées) et solution particulière par coefficients indéterminés avec résonance (si k est racine, l'essai est multiplié par x^m). Constantes, polynômes, A·e^(kx) et A·sin(kx)+B·cos(kx) acceptés ; avec y(x₀) et y'(x₀), un système 2×2 fixe C1 et C2. Exemple classique : y''−3y'+2y=0, y(0)=1, y'(0)=0 → y = −e^(2x)+2e^x.

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- **Catégorie:** Math & Numbers

- **Mots-clés:** edo second ordre, équation caractéristique, coefficients indéterminés, solution homogène, résonance, oscillateur amorti, problème de cauchy, équations différentielles, calcul

## Présentation

Ce solveur d'équations différentielles ordinaires (EDO) linéaires du second ordre à coefficients constants résout analytiquement l'équation a·y'' + b·y' + c·y = f(x). Il détermine les racines de l'équation caractéristique ar² + br + c = 0, construit la solution homogène selon le discriminant, calcule la solution particulière par la méthode des coefficients indéterminés avec prise en compte de la résonance, et résout le problème de Cauchy lorsque les conditions initiales y(x₀) et y'(x₀) sont renseignées.

## Entrées

- **Coefficient a (y'')** (number): Coefficient of y'' (must be nonzero).
- **Coefficient b (y')** (number): Coefficient of y'.
- **Coefficient c (y)** (number): Coefficient of y.
- **Second membre f(x)** (select)
- **F (terme constant)** (number): Used when forcing = Constant.
- **Coefficients du polynôme (constante d'abord)** (text): Comma-separated coefficients, constant term first (degree ≤ 5). Used when forcing = Polynomial.
- **A (amplitude)** (number): Used when forcing = Exponential.
- **k (taux)** (number): Used when forcing = Exponential.
- **A (amplitude du sinus)** (number): Used when forcing = Sine/cosine.
- **B (amplitude du cosinus)** (number): Used when forcing = Sine/cosine.
- **k (fréquence angulaire)** (number): Used when forcing = Sine/cosine.
- **x₀ (x initial)** (number): Initial point (used with y₀ and y'₀).
- **y₀ = y(x₀)** (number): Provide together with y'₀ to pin down C1, C2.
- **y'₀ = y'(x₀)** (number): Initial derivative (both or neither of y₀, y'₀).

## Quand l'utiliser

- Résoudre une équation différentielle linéaire homogène ou avec second membre polynomial, exponentiel ou trigonométrique.
- Déterminer la réponse analytique d'un oscillateur harmonique amorti ou forcé en physique et en sciences de l'ingénieur.
- Calculer les constantes d'intégration C1 et C2 à partir de conditions initiales sur la position et la vitesse.

## Fonctionnement

- Saisissez les coefficients réels a, b et c de l'équation différentielle a·y'' + b·y' + c·y = f(x), avec a non nul.
- Sélectionnez la forme du second membre f(x) (homogène, constante, polynôme, exponentielle ou sinusoïde) et ajustez ses paramètres.
- Renseignez éventuellement les conditions initiales x₀, y(x₀) et y'(x₀) pour obtenir la solution unique du problème de Cauchy.
- Consultez les racines caractéristiques, le détail de la solution homogène, l'expression de la solution particulière et la solution générale.

## Cas d'usage

- Vérification d'exercices de mathématiques sur les équations différentielles d'ordre 2 pour étudiants et enseignants.
- Modélisation du régime transitoire et permanent d'un circuit RLC série soumis à un échelon ou une tension sinusoïdale.
- Étude dynamique d'un système masse-ressort-amortisseur avec excitation harmonique externe.

## Questions fréquentes

### Quels types de racines caractéristiques l'outil prend-il en charge ?

Le solveur traite les trois cas du discriminant : deux racines réelles distinctes (Δ > 0), une racine double réelle (Δ = 0), et deux racines complexes conjuguées (Δ < 0).

### Comment la résonance est-elle gérée pour la solution particulière ?

Lorsque le taux de l'exponentielle ou la fréquence de la sinusoïde coïncide avec une racine de l'équation caractéristique, l'essai des coefficients indéterminés est automatiquement multiplié par x ou x².

### Quels formats de second membre f(x) sont acceptés ?

L'outil accepte les seconds membres nuls (homogène), constants, polynomiaux (jusqu'au degré 5), exponentiels de type A·e^(kx), et sinusoïdaux de type A·sin(kx) + B·cos(kx).

### Comment renseigner les coefficients d'un polynôme pour f(x) ?

Indiquez les coefficients séparés par des virgules en commençant par le terme constant, par exemple '2,-3,0.5' pour représenter 2 − 3x + 0.5x².

### Que se passe-t-il si les conditions initiales ne sont pas renseignées ?

Le solveur affiche la forme générale de la solution contenant les constantes libres C1 et C2 sans chercher à les évaluer.

## Outils associés

- [Calculateur de transformée de Laplace inverse (fractions partielles)](https://elysiatools.com/fr/tools/inverse-laplace-calculator): Calcule la transformée de Laplace inverse de F(s) = N(s)/D(s) (fraction propre, dénominateur de degré ≤ 6) : racines du dénominateur regroupées par multiplicité et paires conjuguées, décomposition en fractions partielles par résolution d'un système linéaire sur les coefficients polynomiaux, puis inversion terme à terme avec les paires standard (A/(s−r)→Ae^(rt), A/(s−r)^j→At^(j−1)e^(rt)/(j−1)!, (Bs+C)/((s−α)²+β²)→e^(αt)\[Bcos(βt)+…sin(βt)\]). Classiques : 1/(s²+3s+2) → e^(−t)−e^(−2t) ; (3s+5)/(s²+4) → 3cos(2t)+2,5sin(2t).
- [Calculateur de transformée de Laplace (table des paires)](https://elysiatools.com/fr/tools/laplace-transform-calculator): Obtient par table la transformée de Laplace F(s) = ∫₀^∞ e^(−st)f(t)dt : 14 paires standard (1, t, tⁿ, e^(at), tⁿe^(at), sin/cos(kt) et leurs décalages exponentiels, sinh/cosh, t·sin/t·cos, δ(t)), avec substitution des paramètres, région de convergence (p. ex. s > a), note de dérivation et évaluation numérique facultative en un point s (avec contrôle de convergence). Exemple : L{e^t} = 1/(s−1), s>1, F(2) = 1.
- [Calculateur de décomposition en fractions partielles (fonctions rationnelles)](https://elysiatools.com/fr/tools/partial-fraction-decomposer): Décompose en fractions partielles F(x) = N(x)/D(x) (dénominateur de degré ≤ 6, numérateur ≤ 8 ; les fractions impropres sont d'abord divisées par division polynomiale) : racines du dénominateur par Durand–Kerner regroupées par multiplicité et paires conjuguées, système linéaire exact sur les coefficients donnant les termes A/(x−r)^j et (Bx+C)/((x−α)²+β²), puis vérification numérique du résidu en des points algébriques de test. Classiques : (3x+5)/(x²+3x+2) = 2/(x+1) + 1/(x+2) ; (x³+2x)/(x²+1) = x + x/(x²+1) ; 1/(x(x+1)²) = 1/x − 1/(x+1) − 1/(x+1)².
- [Calculateur de transformée en Z (systèmes discrets)](https://elysiatools.com/fr/tools/z-transform-calculator): Obtient par table la transformée en Z unilatérale X(z) = Σₙ₌₀^∞ x\[n\]·z^(−n) : 11 paires standard (δ\[n\], u\[n\], aⁿ, n, n², n·aⁿ, sin/cos(ω₀n), aⁿ·sin/aⁿ·cos, (−1)ⁿ), avec substitution des paramètres, région de convergence |z| > R, note de dérivation et évaluation numérique facultative en un point z (avec contrôle de convergence). Exemple : Z{0.5ⁿ} = z/(z−0.5), |z| > 0.5, X(2) = 4/3.
- [Calculateur de valeur absolue](https://elysiatools.com/fr/tools/absolute-value-calculator): Calcule la valeur absolue de nombres positifs, negatifs ou decimaux et explique leur distance a zero
- [Calculateur de Taux de Renouvellement ACH (n = Q/V)](https://elysiatools.com/fr/tools/air-changes-per-hour): Calcule le taux de renouvellement d'air n=Q/V (1/h) à partir du débit d'air neuf Q et du volume V. Trois modes : n (Q,V), débit (n,V) ou volume (n,Q). Débit en m³/s/m³/h/CFM, volume en m³/pi³/L. Donne le temps pour atteindre l'objectif de purge (fraction résiduelle, défaut 1%) selon le modèle parfaitement mélangé : t=−ln(ε)/n.
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## Exemples

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