# Solveur numérique Runge-Kutta d'ordre 4 (RK4) Résout dy/dx = f(x,y), y(x₀)=y₀ par le Runge-Kutta classique d'ordre 4 : chaque pas calcule les quatre pentes k1–k4 et met à jour y_{n+1} = y_n + h/6·(k1+2k2+2k3+k4), avec une erreur globale en O(h⁴) — diviser h par 2 réduit l'erreur d'un facteur ~16. Fournit le tableau des itérations, le détail des k1–k4 des premiers pas et l'estimation finale ; la solution exacte y(x), optionnelle, ajoute une colonne d'erreur. Exemple : dy/dx = y, y(0)=1, h=0,1 → y(1) ≈ 2,718282, quasiment e. > Page canonique: https://elysiatools.com/fr/tools/runge-kutta-rk4-solver - **Catégorie:** Math & Numbers - **Mots-clés:** runge kutta, rk4, runge-kutta d'ordre 4, edo numérique, intégration numérique, problème de cauchy, pas, calcul ## Présentation Ce solveur Runge-Kutta d'ordre 4 (RK4) permet de calculer la solution numérique d'une équation différentielle ordinaire (EDO) du premier ordre de la forme dy/dx = f(x, y) avec condition initiale. Grâce à l'évaluation de quatre pentes intermédiaires par pas (k1, k2, k3, k4), l'outil génère un tableau complet d'itérations, détaille les étapes de calcul et compare les approximations à la solution exacte avec une précision globale en O(h⁴). ## Entrées - **f(x, y) dans dy/dx = f(x, y)** (text): Right-hand side in terms of x and y (functions: sin, cos, exp, ln, sqrt, …). Write products with *, e.g. x*y. - **x₀ (x initial)** (number): e.g. 0 - **y₀ = y(x₀)** (number): e.g. 1 - **x cible** (number): Must be greater than x₀. - **Nombre de pas n** (number): h = (target x − x₀)/n. More steps → smaller error, O(h⁴) globally. - **Solution exacte y(x) (facultatif)** (text): Exact solution in x, used to add an error column. Leave empty to skip. - **Décimales** (number) ## Quand l'utiliser - Résolution numérique d'une équation différentielle ordinaire sans solution analytique simple. - Vérification des calculs manuels et des étapes intermédiaires (pentes k1 à k4) pour des cours de mathématiques appliquées ou d'ingénierie. - Étude de la convergence et de l'erreur d'approximation selon le nombre de pas d'intégration choisi. ## Fonctionnement - Saisissez la fonction f(x, y), les conditions initiales (x₀, y₀) et la valeur cible de x. - Définissez le nombre de pas d'intégration n pour déterminer la taille du pas h = (x_cible - x₀)/n, ainsi que le nombre de décimales souhaité. - Optionnellement, ajoutez la solution analytique exacte y(x) pour calculer automatiquement l'erreur absolue à chaque itération. - Consultez le tableau des valeurs approchées y_i et le détail des pentes k1 à k4 des premiers pas. ## Cas d'usage - Modélisation de la cinétique de réactions chimiques ou de décroissances exponentielles. - Simulation de trajectoires et de dynamiques physiques modélisées par des EDO du premier ordre. - Validation pédagogique des travaux pratiques d'analyse numérique et d'algorithmique. ## Questions fréquentes ### Qu'est-ce que la méthode Runge-Kutta d'ordre 4 (RK4) ? C'est une méthode d'intégration numérique qui estime y_{n+1} en combinant quatre pentes pondérées (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/6 sur chaque intervalle. ### Quelle est la précision de la méthode RK4 ? Elle possède une erreur globale d'ordre O(h⁴), ce qui signifie que diviser la taille du pas par deux réduit l'erreur globale d'environ 16 fois. ### Comment formater les expressions mathématiques pour f(x, y) ? Utilisez une syntaxe standard avec des multiplications explicites (par exemple x*y) et les fonctions usuelles comme exp, ln, sin, cos ou sqrt. ### Le champ de solution exacte est-il obligatoire ? Non, il est facultatif et sert uniquement à afficher une colonne de comparaison d'erreur absolue par rapport au résultat théorique. ### Quelle est la limite pour le nombre de pas ? Le solveur accepte de 1 à 10 000 pas pour adapter la résolution entre rapidité d'exécution et précision numérique. ## Outils associés - [Solveur d'EDO du premier ordre (séparation des variables)](https://elysiatools.com/fr/tools/first-order-ode-solver): Résout dy/dx = g(x)·h(y) par séparation des variables : séparation, intégration terme à terme pour obtenir H(y) = G(x) + C puis, quand c'est possible, y = f(x). Accepte les h(y) à un terme (y, y^n, e^(ky), ky+m) et les polynômes du second degré décomposables en fractions simples (comme le logistique y(1−y)) ; avec la condition initiale y(x₀)=y₀, calcule C et détecte les solutions d'équilibre. Exemple : dy/dx = 2x·y → y = e^(x²+C). - [Calculateur de racines par Newton-Raphson](https://elysiatools.com/fr/tools/newton-raphson-root-finder): Résout f(x) = 0 par l'itération de Newton-Raphson x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f'(x_k) : la dérivée peut être fournie analytiquement (sinon une différence centrale numérique est utilisée) ; sont affichés la table des itérations (x_k et f(x_k)), le critère d'arrêt (|f| < tolérance ou |Δx| < tolérance·max(1,|x|)), le nombre d'itérations et le |f(racine)| final. Classiques : x²−2 depuis x₀=1 converge en 4 itérations vers √2 ≈ 1.4142135624 ; cos(x)−x converge vers le nombre de Dottie 0.7390851332. Dérivée nulle, pas divergents ou dépassement du nombre d'itérations sont signalés explicitement. - [Intégrateur par règle de Simpson (∫f(x)dx)](https://elysiatools.com/fr/tools/numerical-integration-simpson): Calcule ∫ₐᵇ f(x)dx par la règle de Simpson 1/3 composée (n pair) : S = h/3·(f(a) + 4Σnœuds impairs + 2Σnœuds pairs intérieurs + f(b)), erreur en O(h⁴), exacte pour les polynômes de degré ≤ 3. Tableau des nœuds, estimation et comparaison facultative avec la valeur exacte. Exemples : ∫₀¹x²dx avec n=4 donne 0,333333 (exacte !) ; ∫₀¹e^(−x²)dx (sans primitive élémentaire) avec n=10 donne 0,746825. - [Intégrateur par règle du trapèze (∫f(x)dx)](https://elysiatools.com/fr/tools/numerical-integration-trapezoid): Calcule ∫ₐᵇ f(x)dx par la règle du trapèze composée : T = h/2·(f(a) + 2Σf(xᵢ) + f(b)), avec tableau des nœuds, estimation de l'intégrale et comparaison facultative avec la valeur exacte et l'erreur absolue ; erreur en O(h²) (exacte pour les fonctions linéaires). Exemple : ∫₀¹x²dx avec n=4 donne 0,34375 contre 1/3 exactement, erreur 0,010417. - [Analyseur de convergence des séries (ratio/racine/intégrale/comparaison)](https://elysiatools.com/fr/tools/series-convergence-tester): Analyse la convergence de la série Σ aₙ (aₙ comme expression de n) : applique dans l'ordre le critère du terme (aₙ → 0 ?), le critère du rapport L = |aₙ₊₁/aₙ|, le critère de la racine ρ = |aₙ|^(1/n), la comparaison aux séries de Riemann (p = −ln|a(N)|/ln N) et le critère intégral (Simpson numérique + comparaison de croissance par décade) ; les séries alternées sont détectées automatiquement et classées par le critère de Leibniz, et la somme des séries convergentes est estimée (somme partielle + queue géométrique ou en loi de puissance). Classiques : Σ1/n² converge (p≈2, somme≈1.6449) ; Σ1/n diverge (harmonique) ; Σ0.5ⁿ converge ; Σcos(πn)/n converge conditionnellement (somme≈−ln2). - [Analyseur d'Asymétrie](https://elysiatools.com/fr/tools/skewness-analyzer): Analyser l'asymétrie des données pour mesurer l'asymétrie de la distribution de probabilité et identifier les modèles de données - [Calculateur d'intégrale de convolution (numérique)](https://elysiatools.com/fr/tools/convolution-integral-calculator): Calcule numériquement la convolution de deux signaux (f*g)(t) = ∫ f(τ)g(t−τ)dτ : mode causal (les deux signaux sont nuls pour t<0, intégrale sur \[max(τmin,0), min(τmax,t)\], adapté aux produits du domaine de Laplace) et mode fenêtre directe (intégrale sur tout \[τmin, τmax\], adapté aux signaux bilatéraux comme les gaussiennes), par la règle de Simpson composée (2000 intervalles par défaut). Classiques : e^(−t)*e^(−2t) = e^(−t)−e^(−2t), soit 0.2325 en t=1 ; deux gaussiennes se convoluent en √(π/2)·e^(−t²/2). - [Solveur numérique par méthode d'Euler (EDO premier ordre)](https://elysiatools.com/fr/tools/euler-method-solver): Résout le problème de Cauchy dy/dx = f(x,y), y(x₀)=y₀ par la méthode d'Euler explicite : y_{n+1} = y_n + h·f(x_n, y_n), avec tableau des itérations et estimation finale. La solution exacte y(x), optionnelle, ajoute une colonne d'erreur qui illustre l'erreur globale en O(h) de la méthode d'ordre 1. Exemple : dy/dx = y, y(0)=1, h=0,1 → y(1) ≈ 1,1¹⁰ = 2,593742 contre e = 2,718282 (erreur 0,124539). ## Exemples - [Exemples de Traitement d'Images Web Python](https://elysiatools.com/fr/samples/web-image-processing-python): Exemples de traitement d'images Web Python utilisant PIL/Pillow incluant la lecture, l'enregistrement, le redimensionnement et la conversion de format - [Exemples de Traitement d'Images Android Java](https://elysiatools.com/fr/samples/android-image-processing-java): Exemples de traitement d'images Android Java incluant lecture/écriture, mise à l'échelle et conversion de format - [Exemples de Traitement d'Images Android Kotlin](https://elysiatools.com/fr/samples/android-image-processing-kotlin): Exemples de traitement d'images Android Kotlin incluant lecture/écriture, mise à l'échelle et conversion de format - [Exemples de Traitement d'Images Web Rust](https://elysiatools.com/fr/samples/web-image-processing-rust): Exemples de traitement d'images Web Rust incluant lecture/écriture, redimensionnement et conversion de format ## Contenu associé - [Outils d encodage et de conversion audio](https://elysiatools.com/fr/hubs/audio-convert): Comparez la conversion de formats audio, les changements de debit, la conversion de frequence d echantillonnage, les changements de codec et les exports dans un meme hub. - [Outils de conversion de formats d image et d export anime](https://elysiatools.com/fr/hubs/image-convert): Comparez les convertisseurs d image pour JPG, PNG, GIF, AVIF, WebP, TIFF, ICO, base64 et les exports orientes animation dans un meme hub. - [Outils d interchange JSON et de traduction de formats](https://elysiatools.com/fr/hubs/json-convert): Comparez les outils de conversion JSON pour CSV, YAML, TOML, GraphQL, XML, Markdown, Excel, BSON, EDN et d autres formats structures dans un meme hub. - [Outils de conversion d'espaces colorimetriques pour web et impression](https://elysiatools.com/fr/hubs/design-convert): Des outils reunis pour conversion d'espaces colorimetriques entre web et impression dans un seul hub.