# Calculateur de file d'attente M/M/1 Calcule les métriques en régime permanent de la file M/M/1 : arrivées de Poisson (taux λ), service exponentiel (taux μ), FCFS. Exige λ < μ, sinon le système est instable et l'entrée est rejetée. Rapporte le taux d'occupation ρ, la probabilité P0 de système vide, les nombres moyens L (dans le système) et Lq (en file), les temps moyens W et Wq, la probabilité d'attendre ρ et les probabilités d'état P(n) = (1−ρ)ρⁿ (n = 0…5), avec vérification croisée par la loi de Little L = λW, Lq = λWq. Classique : λ = 4/h, μ = 6/h → ρ = 0.6667, L = 2, Lq = 1.3333, W = 0.5, Wq = 0.3333. > Page canonique: https://elysiatools.com/fr/tools/queuing-theory-mm1 - **Catégorie:** Math & Numbers - **Mots-clés:** théorie des files d'attente, mm1, m/m/1, file, loi de little, taux d'occupation, arrivées poisson, service exponentiel, recherche opérationnelle ## Présentation Ce calculateur de file d'attente M/M/1 évalue les performances en régime permanent d'un système à serveur unique caractérisé par des arrivées de Poisson et des temps de service exponentiels. Il détermine le taux d'occupation, les nombres moyens d'usagers, les temps d'attente et les probabilités d'état tout en vérifiant la stabilité du système et la loi de Little. ## Entrées - **Taux d'arrivée λ (par unité de temps)** (number): Average arrivals per time unit (Poisson process). Must be below the service rate μ. - **Taux de service μ (par unité de temps)** (number): Average services per time unit (exponential distribution). Must exceed the arrival rate λ. - **Décimales** (number) ## Quand l'utiliser - Dimensionner un guichet unique ou un poste de traitement individuel. - Analyser les temps de séjour et les longueurs de file dans un flux de recherche opérationnelle. - Vérifier la condition de stabilité λ < μ et la répartition des probabilités d'état d'un service. ## Fonctionnement - Saisissez le taux moyen d'arrivée λ et le taux moyen de service μ exprimés dans la même unité de temps. - L'outil vérifie que λ < μ pour garantir la stabilité, puis calcule le taux d'occupation ρ et la probabilité de serveur libre P0. - Les métriques moyennes L, Lq, W et Wq sont générées et validées par la loi de Little (L = λW et Lq = λWq). - Les probabilités d'état P(n) pour 0 à 5 éléments dans le système sont présentées selon la précision décimale choisie. ## Cas d'usage - Évaluation du temps d'attente moyen au guichet unique d'une agence de services. - Modélisation du trafic de paquets réseau arrivant sur une interface de routage mono-cœur. - Estimation de la congestion et du nombre de véhicules à une cabine de péage autoroutière. ## Questions fréquentes ### Que se passe-t-il si le taux d'arrivée λ est supérieur ou égal au taux de service μ ? Le système devient instable car la file croît indéfiniment ; l'outil rejette la saisie car aucun régime permanent n'existe. ### Quelle est la différence entre W et Wq ? W représente le temps moyen total passé dans le système (attente et service), alors que Wq mesure uniquement le temps d'attente dans la file. ### Quelle relation exprime la loi de Little ? Elle relie le nombre moyen d'unités au produit du taux d'arrivée par le temps moyen de séjour : L = λ · W et Lq = λ · Wq. ### Quelle unité de temps faut-il utiliser pour λ et μ ? Vous pouvez choisir l'unité de votre choix (heures, minutes, secondes), à condition que λ et μ soient exprimés sur la même base temporelle. ### Que représente le taux d'occupation ρ ? Le ratio ρ = λ / μ indique la proportion de temps pendant laquelle le serveur est occupé ainsi que la probabilité qu'un arrivant doive attendre. ## Outils associés - [Vérificateur de nombre parfait](https://elysiatools.com/fr/tools/perfect-number-checker): Vérifie si n est un nombre parfait (égal à la somme de ses diviseurs propres, σ(n) = 2n). Factorise n (≤ 10¹²) par division d'essai, calcule σ(n) et la somme des diviseurs propres via la formule par puissances premières, classe n comme déficient/parfait/abondant et donne l'indice d'abondance σ(n)/n ; pour les parfaits, retrouve la forme d'Euclide–Euler 2^(p−1)·(2^p − 1) et liste les sept nombres parfaits pairs jusqu'à 10¹². Peut lister les diviseurs propres quand ils sont ≤ 200. - [Vérificateur de Nombres Premiers](https://elysiatools.com/fr/tools/prime-number-checker): Vérifie si un nombre est premier (un nombre naturel supérieur à 1 qui n'a pas de diviseurs positifs autres que 1 et lui-même) - [Calculateur de file M/M/c multi-serveurs](https://elysiatools.com/fr/tools/queuing-theory-mmc): Calcule les métriques en régime permanent de la file M/M/c (arrivées de Poisson de taux λ, c serveurs exponentiels identiques de taux μ, file FCFS unique) : trafic offert a = λ/μ, taux d'occupation par serveur ρ, probabilité P0 de système vide, probabilité d'attente d'Erlang-C Pw, nombres moyens Lq et L, temps moyens W et Wq, avec vérification croisée par la loi de Little et la relation Pw→Lq. Exige λ < cμ (sinon rejet pour instabilité) ; avec c = 1 les formules retombent sur M/M/1. Classique : λ = 6/h, μ = 3/h, c = 3 → P0 = 0.1111, Pw = 0.4444, Lq = 0.8889, L = 2.8889. - [Test de primalité du théorème de Wilson](https://elysiatools.com/fr/tools/wilson-theorem-checker): Test de primalité par le théorème de Wilson : (n−1)! ≡ −1 (mod n) si et seulement si n est premier. Le résidu (n−1)! mod n est accumulé terme à terme (n ≤ 10⁷), contre-vérifié par un Miller–Rabin déterministe, et pour n composé confronté à la loi factorielle ((n−1)! ≡ 0 (mod n) pour tout n > 4, n = 4 étant l'unique exception). Peut afficher la suite des produits partiels k! mod n (n ≤ 200). - [Tuteur d’Analyse Dimensionnelle et d’Annulation d’Unités](https://elysiatools.com/fr/tools/dimensional-analysis-unit-cancellation-tutor): Découpe une conversion en annulations factor-label étape par étape : montre numérateur/dénominateur, détecte les facteurs inversés et fournit un retour pédagogique sur les incohérences dimensionnelles et les réponses fausses. - [Calculateur de multiplication de matrices](https://elysiatools.com/fr/tools/matrix-multiplication-calculator): Multiplie deux matrices avec verification des dimensions et explications facultatives - [Calculateur de Coefficient de Frottement de Conduite (Colebrook-White / Haaland / Laminaire)](https://elysiatools.com/fr/tools/pipe-friction-factor): Calcule le coefficient de frottement de Darcy : pour Re<2000 utilise la formule laminaire f=64/Re ; en turbulent résout itérativement l'équation de Colebrook-White et fournit aussi l'approximation explicite de Haaland comme contrôle croisé. ε en m/mm/µm, D en m/cm/mm ; le résultat inclut la rugosité relative ε/D, le nombre d'itérations et le régime d'écoulement. - [Calculateur de divisibilite](https://elysiatools.com/fr/tools/divisibility-calculator): Verifie si un entier est divisible par un autre et affiche le quotient, le reste et un rappel facultatif de divisibilite ## Exemples - [Exemples RocketMQ Message Queue](https://elysiatools.com/fr/samples/rocketmq-samples): Exemples Apache RocketMQ incluant producteurs, consommateurs, messages ordonnés, messages retardés, consommation de diffusion et messages transactionnels pour messagerie haute performance - [Exemples de Traitement d'Images Android Java](https://elysiatools.com/fr/samples/android-image-processing-java): Exemples de traitement d'images Android Java incluant lecture/écriture, mise à l'échelle et conversion de format - [Exemples de Traitement d'Images Android Kotlin](https://elysiatools.com/fr/samples/android-image-processing-kotlin): Exemples de traitement d'images Android Kotlin incluant lecture/écriture, mise à l'échelle et conversion de format - [Exemples de Traitement d'Images Web Python](https://elysiatools.com/fr/samples/web-image-processing-python): Exemples de traitement d'images Web Python utilisant PIL/Pillow incluant la lecture, l'enregistrement, le redimensionnement et la conversion de format