# Vérificateur de résidu quadratique (symboles de Legendre/Jacobi)

Calcule le symbole de Jacobi (a/n) (n impair jusqu'à 10¹⁸ ; Legendre si n est premier) : modulo un nombre premier, a^((n−1)/2) ≡ 1 signifie résidu quadratique et Tonelli–Shanks (ou la formule directe si p ≡ 3 (mod 4)) fournit les racines ±√a ; le symbole −1 certifie que a n'est PAS un résidu. Pour un module composé le symbole n'est que nécessaire : −1 prouve la non-résiduosité, +1 reste non concluant (résolu par force brute quand n ≤ 10⁵). Classique : 10 est un résidu quadratique mod 13 avec racines ±6.

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- **Catégorie:** Math & Numbers

- **Mots-clés:** résidu quadratique, symbole de legendre, symbole de jacobi, tonelli-shanks, racine carrée modulaire, critère d'euler, miller-rabin, théorie des nombres

## Présentation

Ce vérificateur de résidu quadratique calcule les symboles de Legendre et Jacobi pour déterminer si un entier est un carré modulo un entier impair donné. Grâce au test de primalité déterministe de Miller–Rabin et à l'algorithme de Tonelli–Shanks, l'outil identifie la nature du module et calcule directement les racines carrées modulaires lorsque la solution existe.

## Entrées

- **Valeur a** (text): The value being tested for squareness; reduced mod n first (up to 10⁵¹²).
- **Module n (impair)** (text): Odd modulus, 3 ≤ n ≤ 10¹⁸ (primality tested with deterministic Miller–Rabin).
- **Quand n est premier, résoudre x² ≡ a (mod n)** (checkbox): Run Tonelli–Shanks and print the square roots when they exist.

## Quand l'utiliser

- Vérifier si une congruence quadratique du type x² ≡ a (mod n) admet des solutions entières.
- Calculer les racines carrées modulaires modulo un nombre premier pour des algorithmes de cryptographie.
- Déterminer la valeur exacte d'un symbole de Jacobi ou de Legendre lors d'exercices d'arithmétique modulaire.

## Fonctionnement

- L'outil réduit la valeur a modulo n et vérifie la primalité du module impair n à l'aide de l'algorithme déterministe de Miller–Rabin.
- Il calcule le symbole de Jacobi (ou de Legendre si n est premier) par réciprocité quadratique ou via le critère d'Euler.
- Si n est premier et que le symbole vaut +1, il applique l'algorithme de Tonelli–Shanks pour extraire les racines x ≡ ±√a (mod n).
- Pour un module composé où le symbole vaut +1 et n ≤ 10⁵, une recherche par force brute confirme ou infirme l'existence d'une solution.

## Cas d'usage

- Étudiants et enseignants vérifiant pas à pas des calculs d'arithmétique modulaire et de réciprocité quadratique.
- Développeurs implémentant des protocoles cryptographiques basés sur les courbes elliptiques ou le chiffrement de Rabin.
- Passionnés de théorie des nombres cherchant à factoriser ou analyser des congruences quadratiques.

## Questions fréquentes

### Quelle est la différence entre le symbole de Legendre et le symbole de Jacobi ?

Le symbole de Legendre s'applique uniquement aux modules premiers, tandis que le symbole de Jacobi généralise cette notation aux entiers impairs composés.

### Un symbole de Jacobi égal à +1 garantit-il toujours l'existence d'une racine ?

Non, pour un module composé, un symbole de Jacobi égal à +1 est une condition nécessaire mais non suffisante.

### Comment sont calculées les racines modulo un nombre premier ?

L'outil utilise une formule directe si p ≡ 3 (mod 4), ou l'algorithme de Tonelli–Shanks pour les autres nombres premiers.

### Quelles sont les limites imposées sur les entrées a et n ?

Le module n doit être un entier impair compris entre 3 et 10¹⁸, tandis que a peut atteindre 10⁵¹² avant réduction modulaire.

### Que signifie un symbole égal à −1 ?

Un symbole égal à −1 prouve de manière certaine que l'entier a n'est pas un résidu quadratique modulo n.

## Outils associés

- [Interprétation des Gaz du Sang (AG / ΔAG)](https://elysiatools.com/fr/tools/blood-gas-anion-gap): Interprétation systématique des gaz du sang combinant le trou anionique (AG) et le delta-delta (ΔAG/ΔHCO₃⁻) pour détecter les troubles mixtes. Étapes : ①pH (acidémie/norme/alcalémie) ; ②trouble primitif ; ③compensation (Winter PaCO₂=1.5×HCO₃+8±2) ; ④AG=Na−Cl−HCO₃ (±correction albumine) ; ⑤Delta ratio : <0,4 AG normal, 0,4–0,8 mixte, 1–2 HAGMA pur, >2 HAGMA+alcalose. Contrairement à anion-gap-calculator, cet outil fait l'interprétation complète. Sources : Emmett 2016, Kraut CJASN 2007, Rastegar 2007, LITFL, MDCalc, Adrogué NEJM 1998. Non un avis médical.
- [Recherche de racines primitives modulo n](https://elysiatools.com/fr/tools/primitive-root-finder): Recherche les racines primitives modulo n : vérifie que n ∈ {2, 4, p^k, 2p^k} (groupe multiplicatif cyclique), trouve la plus petite racine avec son certificat g^(φ/q) ≠ 1 pour chaque nombre premier q | φ(n), compte les racines comme φ(φ(n)), en liste jusqu'à 50 ou vérifie si l'ordre d'un candidat g vaut φ(n). Jusqu'à 10¹².
- [Comparaison de gravité de pneumonie (CURB-65 / PSI / SMART-COP)](https://elysiatools.com/fr/tools/curb-65-vs-pneumonia-severity): Calcule simultanément trois scores de pneumonie et les compare : CURB-65 (0-5, orientation), PSI/PORT (classe I-V, stratification de mortalité la plus précise), SMART-COP (0-10, prédit le besoin de support respiratoire/vasopresseur en réanimation). Chacun a son focus : CURB-65 rapide ; PSI plus précis mais complexe ; SMART-COP détecte ceux nécessitant la réanimation. Affiche le total et la catégorie de chaque score, et analyse la concordance (tous orientent vers ambulatoire/hospitalisation/réanimation). En cas de discordance, privilégier la conduite la plus conservatrice. Sources : Lim 2003, Fine 1997, Charles 2008. Non un avis médical.
- [Calculateur de concentration d'ADN (absorbance A260)](https://elysiatools.com/fr/tools/dna-concentration-a260): Détermine la concentration d'ADN par absorbance UV à 260 nm : concentration (µg/mL) = A260 × facteur de dilution × constante ÷ trajet optique (cm). Constantes : ADN double brin 1 OD = 50 µg/mL, ADN simple brin 1 OD = 33 µg/mL (ARN 40 — voir l'outil ARN). 1 µg/mL = 1 ng/µL ; indiquez le volume d'élution pour obtenir le rendement total en µg. Inclut la fenêtre linéaire 0.1–1.5 : en dessous de 0.1 le bruit domine, au-dessus de 1.5 le détecteur peut saturer. La pureté s'évalue par OD260/280. Sources : Marmur & Doty 1961/1962, Sambrook & Russell, Thermo Fisher NanoDrop. Uniquement pour l'éducation et la planification.
- [Détecteur de Type de Fichier (Nombre Magique)](https://elysiatools.com/fr/tools/file-type-detect): Identifie un fichier par sa signature d'octets (nombre magique), pas l'extension. Lit le fichier téléversé, ~70 types.
- [Calculateur de pureté OD260/230 (contamination sels/solvants)](https://elysiatools.com/fr/tools/od260-230-ratio): Évalue la contamination par sels et solvants organiques via le ratio OD260/230 — le contrôle qui voit ce que le 260/280 ne voit pas : l'acide nucléique pur donne 2.0–2.2, et une valeur inférieure à 2.0 signale un entraînement de guanidinium (TRIzol/kits à colonne), de phénol, de glucides, d'EDTA, de sels concentrés ou de β-mercaptoéthanol ; 2.2–2.3 est généralement un effet de tampon acceptable ; au-dessus de 2.3, artefact d'eau/tampon probable — re-mesurer. Champ A280 optionnel pour le croisement OD260/280 (ADN ~1.8, ARN ~2.0) : une seule série de lectures couvre les deux dimensions de pureté. Sous ~0.05 de lecture le ratio n'est pas fiable. Sources : Thermo Fisher T042, Sambrook & Russell, Manchester 1995. Uniquement pour l'éducation.
- [Calculateur de pureté des acides nucléiques (OD260/280)](https://elysiatools.com/fr/tools/od260-280-ratio): Évalue la pureté d'un acide nucléique par le ratio OD260/280 : les bases absorbent au maximum à 260 nm et les acides aminés aromatiques (ainsi que le phénol) vers 280 nm — A260/A280 diagnostique donc un entraînement de protéines/phénol. Valeurs attendues : ADN pur ≈ 1.8 (fenêtre 1.7–2.0), ARN pur ≈ 2.0 (fenêtre 1.8–2.2) ; ADN < 1.7 ou ARN < 1.8 signale une contamination protéines/phénol/guanidinium, ADN > 2.0 suggère une contamination par l'ARN, ARN > 2.2 un artefact de mesure (faible force ionique). Champ A230 optionnel pour le ratio secondaire A260/A230 (pur 2.0–2.2 ; plus bas = guanidinium/phénol/glucides/sels). Sous ~0.05 de lecture le ratio n'est pas fiable. Sources : Manchester 1995, Sambrook & Russell, Thermo Fisher T042. Uniquement pour l'éducation.
- [Vérificateur de nombre parfait](https://elysiatools.com/fr/tools/perfect-number-checker): Vérifie si n est un nombre parfait (égal à la somme de ses diviseurs propres, σ(n) = 2n). Factorise n (≤ 10¹²) par division d'essai, calcule σ(n) et la somme des diviseurs propres via la formule par puissances premières, classe n comme déficient/parfait/abondant et donne l'indice d'abondance σ(n)/n ; pour les parfaits, retrouve la forme d'Euclide–Euler 2^(p−1)·(2^p − 1) et liste les sept nombres parfaits pairs jusqu'à 10¹². Peut lister les diviseurs propres quand ils sont ≤ 200.

## Exemples

- [Exemples de Traitement d'Images Web Python](https://elysiatools.com/fr/samples/web-image-processing-python): Exemples de traitement d'images Web Python utilisant PIL/Pillow incluant la lecture, l'enregistrement, le redimensionnement et la conversion de format
- [Exemples de Traitement d'Images Android Java](https://elysiatools.com/fr/samples/android-image-processing-java): Exemples de traitement d'images Android Java incluant lecture/écriture, mise à l'échelle et conversion de format
- [Exemples de Traitement d'Images Android Kotlin](https://elysiatools.com/fr/samples/android-image-processing-kotlin): Exemples de traitement d'images Android Kotlin incluant lecture/écriture, mise à l'échelle et conversion de format
- [Exemples de Traitement d'Images Web Rust](https://elysiatools.com/fr/samples/web-image-processing-rust): Exemples de traitement d'images Web Rust incluant lecture/écriture, redimensionnement et conversion de format