# Calculateur de décomposition en fractions partielles (fonctions rationnelles) Décompose en fractions partielles F(x) = N(x)/D(x) (dénominateur de degré ≤ 6, numérateur ≤ 8 ; les fractions impropres sont d'abord divisées par division polynomiale) : racines du dénominateur par Durand–Kerner regroupées par multiplicité et paires conjuguées, système linéaire exact sur les coefficients donnant les termes A/(x−r)^j et (Bx+C)/((x−α)²+β²), puis vérification numérique du résidu en des points algébriques de test. Classiques : (3x+5)/(x²+3x+2) = 2/(x+1) + 1/(x+2) ; (x³+2x)/(x²+1) = x + x/(x²+1) ; 1/(x(x+1)²) = 1/x − 1/(x+1) − 1/(x+1)². > Page canonique: https://elysiatools.com/fr/tools/partial-fraction-decomposer - **Catégorie:** Math & Numbers - **Mots-clés:** fractions partielles, décomposition en fractions partielles, fonction rationnelle, division polynomiale, racines complexes, racines multiples, paires conjuguées, algèbre, calcul intégral ## Présentation Ce calculateur décompose les fonctions rationnelles N(x)/D(x) en éléments simples (fractions partielles). Il prend en charge la division polynomiale préalable pour les fractions impropres, factorise le dénominateur jusqu'au degré 6 (racines réelles, multiples ou paires de complexes conjugués) et valide le résultat par vérification numérique des résidus. ## Entrées - **Coefficients du numérateur N(x) (constante d'abord)** (text): Comma-separated numerator coefficients, constant term first, degree ≤ 8, e.g. 5,3 → 3x + 5. - **Coefficients du dénominateur D(x) (constante d'abord)** (text): Comma-separated denominator coefficients, constant term first, degree 1–6, e.g. 2,3,1 → x² + 3x + 2. - **Décimales** (number) ## Quand l'utiliser - Calculer des intégrales de fonctions rationnelles en les transformant en sommes d'intégrales élémentaires. - Déterminer la transformée inverse de Laplace d'une fonction de transfert en automatique ou en traitement du signal. - Vérifier manuellement les étapes de division euclidienne polynomiale et de factorisation de polynômes d'ordre supérieur. ## Fonctionnement - Saisissez les coefficients du numérateur et du dénominateur séparés par des virgules, obligatoirement ordonnés du terme constant vers la plus haute puissance. - Le solveur applique une division euclidienne si le degré du numérateur est supérieur ou égal à celui du dénominateur afin d'isoler le quotient polynomial. - L'algorithme de Durand–Kerner extrait les racines du dénominateur pour monter le système linéaire exact et calculer les coefficients des termes simples ou quadratiques. - L'outil génère l'expression décomposée et effectue une vérification résiduelle sur des points de contrôle numériques. ## Cas d'usage - Décomposition d'expressions rationnelles pour le calcul intégral en mathématiques post-bac. - Calcul de réponses impulsionnelles et indicielles à partir de fractions rationnelles en transformée de Laplace. - Factorisation et simplification de fractions à pôles multiples pour l'analyse de stabilité des systèmes linéaires. ## Questions fréquentes ### Dans quel ordre faut-il renseigner les coefficients ? Les coefficients doivent toujours être saisis en commençant par le terme constant (puissance 0), par exemple '5,3' pour 3x + 5 ou '2,3,1' pour x² + 3x + 2. ### Quelles sont les limites de degré prises en charge ? Le numérateur accepte un polynôme de degré inférieur ou égal à 8, et le dénominateur un degré compris entre 1 et 6. ### Comment le calculateur gère-t-il les fractions impropres ? Si le degré du numérateur est supérieur ou égal à celui du dénominateur, une division polynomiale préalable extrait le quotient Q(x) avant de décomposer le reste R(x)/D(x). ### Comment sont représentées les racines complexes conjuguées ? Les racines complexes sont regroupées sous forme de composantes quadratiques irréductibles réelles du type (Bx + C)/((x − α)² + β²). ### À quoi correspond la vérification résiduelle affichée ? Elle évalue numériquement l'écart entre la fraction rationnelle de départ et la décomposition obtenue sur des points tests afin de garantir l'absence d'erreur d'arrondi ou de calcul. ## Outils associés - [Convertisseur Fraction Décimal](https://elysiatools.com/fr/tools/fraction-decimal-converter): Convertir entre fractions et décimales avec support pour les nombres mixtes, fractions impropres et divers formats décimaux - [Calculateur de transformée de Laplace inverse (fractions partielles)](https://elysiatools.com/fr/tools/inverse-laplace-calculator): Calcule la transformée de Laplace inverse de F(s) = N(s)/D(s) (fraction propre, dénominateur de degré ≤ 6) : racines du dénominateur regroupées par multiplicité et paires conjuguées, décomposition en fractions partielles par résolution d'un système linéaire sur les coefficients polynomiaux, puis inversion terme à terme avec les paires standard (A/(s−r)→Ae^(rt), A/(s−r)^j→At^(j−1)e^(rt)/(j−1)!, (Bs+C)/((s−α)²+β²)→e^(αt)\[Bcos(βt)+…sin(βt)\]). Classiques : 1/(s²+3s+2) → e^(−t)−e^(−2t) ; (3s+5)/(s²+4) → 3cos(2t)+2,5sin(2t). - [Calculateur de transformée de Laplace (table des paires)](https://elysiatools.com/fr/tools/laplace-transform-calculator): Obtient par table la transformée de Laplace F(s) = ∫₀^∞ e^(−st)f(t)dt : 14 paires standard (1, t, tⁿ, e^(at), tⁿe^(at), sin/cos(kt) et leurs décalages exponentiels, sinh/cosh, t·sin/t·cos, δ(t)), avec substitution des paramètres, région de convergence (p. ex. s > a), note de dérivation et évaluation numérique facultative en un point s (avec contrôle de convergence). Exemple : L{e^t} = 1/(s−1), s>1, F(2) = 1. - [Solveur d'EDO linéaire du second ordre (équation caractéristique)](https://elysiatools.com/fr/tools/second-order-ode-solver): Résout a·y'' + b·y' + c·y = f(x) : racines de l'équation caractéristique ar² + br + c = 0, solution homogène classée selon le discriminant (racines réelles distinctes / double / complexes conjuguées) et solution particulière par coefficients indéterminés avec résonance (si k est racine, l'essai est multiplié par x^m). Constantes, polynômes, A·e^(kx) et A·sin(kx)+B·cos(kx) acceptés ; avec y(x₀) et y'(x₀), un système 2×2 fixe C1 et C2. Exemple classique : y''−3y'+2y=0, y(0)=1, y'(0)=0 → y = −e^(2x)+2e^x. - [Calculateur de transformée en Z (systèmes discrets)](https://elysiatools.com/fr/tools/z-transform-calculator): Obtient par table la transformée en Z unilatérale X(z) = Σₙ₌₀^∞ x\[n\]·z^(−n) : 11 paires standard (δ\[n\], u\[n\], aⁿ, n, n², n·aⁿ, sin/cos(ω₀n), aⁿ·sin/aⁿ·cos, (−1)ⁿ), avec substitution des paramètres, région de convergence |z| > R, note de dérivation et évaluation numérique facultative en un point z (avec contrôle de convergence). Exemple : Z{0.5ⁿ} = z/(z−0.5), |z| > 0.5, X(2) = 4/3. - [Calculateur de Taux de Renouvellement ACH (n = Q/V)](https://elysiatools.com/fr/tools/air-changes-per-hour): Calcule le taux de renouvellement d'air n=Q/V (1/h) à partir du débit d'air neuf Q et du volume V. Trois modes : n (Q,V), débit (n,V) ou volume (n,Q). Débit en m³/s/m³/h/CFM, volume en m³/pi³/L. Donne le temps pour atteindre l'objectif de purge (fraction résiduelle, défaut 1%) selon le modèle parfaitement mélangé : t=−ln(ε)/n. - [Calculateur de Durée de Vie L10 du Roulement](https://elysiatools.com/fr/tools/bearing-life-l10): Calcule la durée de vie nominale L10 = (C/P)^p d'un roulement. Billes p=3, rouleaux p=10/3. Avec la vitesse, L10h en heures. - [Calculateur de Couple et Force de Vis](https://elysiatools.com/fr/tools/bolt-torque-clamp-force): Convertit entre le couple de serrage et la force axiale d'une vis. T = K·F·d, K est le facteur d'écrou (≈0.20 acier sec). Couple par force ou force par couple. ## Exemples - [Exemples Netlify Edge Functions](https://elysiatools.com/fr/samples/netlify-edge-functions-samples): Exemples complets de Netlify Edge Functions couvrant middleware, authentification, A/B testing, géolocalisation et patterns avancés d'edge computing - [Exemples de Traitement d'Images Web Python](https://elysiatools.com/fr/samples/web-image-processing-python): Exemples de traitement d'images Web Python utilisant PIL/Pillow incluant la lecture, l'enregistrement, le redimensionnement et la conversion de format - [Exemples Azure Functions](https://elysiatools.com/fr/samples/azure-functions): Exemples Azure Functions serverless computing avec déclencheurs HTTP, minuteurs et intégrations - [Exemples de Traitement d'Images Android Java](https://elysiatools.com/fr/samples/android-image-processing-java): Exemples de traitement d'images Android Java incluant lecture/écriture, mise à l'échelle et conversion de format ## Contenu associé - [Outils d encodage et de conversion audio](https://elysiatools.com/fr/hubs/audio-convert): Comparez la conversion de formats audio, les changements de debit, la conversion de frequence d echantillonnage, les changements de codec et les exports dans un meme hub. - [Outils de conversion de formats d image et d export anime](https://elysiatools.com/fr/hubs/image-convert): Comparez les convertisseurs d image pour JPG, PNG, GIF, AVIF, WebP, TIFF, ICO, base64 et les exports orientes animation dans un meme hub. - [Outils d interchange JSON et de traduction de formats](https://elysiatools.com/fr/hubs/json-convert): Comparez les outils de conversion JSON pour CSV, YAML, TOML, GraphQL, XML, Markdown, Excel, BSON, EDN et d autres formats structures dans un meme hub. - [Outils de conversion d'espaces colorimetriques pour web et impression](https://elysiatools.com/fr/hubs/design-convert): Des outils reunis pour conversion d'espaces colorimetriques entre web et impression dans un seul hub.