# Intégrateur par règle de Simpson (∫f(x)dx)

Calcule ∫ₐᵇ f(x)dx par la règle de Simpson 1/3 composée (n pair) : S = h/3·(f(a) + 4Σnœuds impairs + 2Σnœuds pairs intérieurs + f(b)), erreur en O(h⁴), exacte pour les polynômes de degré ≤ 3. Tableau des nœuds, estimation et comparaison facultative avec la valeur exacte. Exemples : ∫₀¹x²dx avec n=4 donne 0,333333 (exacte !) ; ∫₀¹e^(−x²)dx (sans primitive élémentaire) avec n=10 donne 0,746825.

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- **Catégorie:** Math & Numbers

- **Mots-clés:** règle de simpson, intégration numérique, intégrale définie, calculateur d'intégrale, quadrature, méthodes numériques, calcul

## Présentation

Cet outil calcule l'intégrale définie d'une fonction à l'aide de la méthode de Simpson 1/3 composite. Il génère un tableau détaillé des nœuds avec leurs coefficients respectifs, fournit l'approximation numérique avec une précision d'ordre O(h⁴) et permet de comparer le résultat à une primitive exacte si elle est renseignée.

## Entrées

- **f(x) à intégrer** (text): Integrand in x (functions: sin, cos, exp, ln, sqrt, …).
- **Borne inférieur a** (number): e.g. 0
- **Borne supérieur b** (number): May be less than a (the integral flips sign, as in calculus).
- **Sous-intervalles n (pair)** (number): Must be even. h = (b − a)/n; global error is O(h⁴) — halving h divides the error by ~16.
- **Primitive exacte F(x) (facultatif)** (text): Exact antiderivative in x; the tool reports F(b) − F(a) and the absolute error. Leave empty to skip.
- **Décimales** (number)

## Quand l'utiliser

- Vous devez évaluer numériquement une intégrale définie pour une fonction sans primitive analytique simple, comme exp(-x²).
- Vous souhaitez vérifier vos calculs d'analyse numérique ou de quadrature lors d'exercices académiques ou de travaux pratiques.
- Vous voulez comparer la précision d'une approximation par Simpson 1/3 à la valeur analytique exacte d'une fonction connue.

## Fonctionnement

- Saisissez l'expression mathématique de la fonction f(x), les bornes d'intégration a et b, ainsi qu'un nombre pair de sous-intervalles n.
- L'outil calcule le pas h = (b - a) / n et évalue f(x) à chaque nœud d'abscisse x_i.
- Il applique la pondération de Simpson 1/3 (poids 1 aux extrémités, 4 aux nœuds impairs, 2 aux nœuds pairs intérieurs) pour calculer la somme pondérée S = (h/3) · (f(a) + 4Σf(x_impair) + 2Σf(x_pair) + f(b)).
- Le résultat affiche la valeur approchée arrondie au nombre de décimales choisi, accompagnée du tableau des nœuds et de l'erreur absolue si une primitive F(x) est fournie.

## Cas d'usage

- Approximation de fonctions gaussiennes et d'intégrales non élémentaires en physique ou en statistiques.
- Vérification d'exercices de mathématiques appliquées et d'analyse numérique portant sur les formules de quadrature.
- Évaluation rapide d'aires sous des courbes définies par des formules analytiques complexes.

## Questions fréquentes

### Pourquoi le nombre de sous-intervalles n doit-il être pair ?

La méthode de Simpson 1/3 regroupe les sous-intervalles deux par deux pour ajuster des arcs paraboliques, ce qui nécessite obligatoirement un nombre pair d'intervalles.

### Quelles fonctions mathématiques sont reconnues dans l'intégrande ?

Vous pouvez utiliser les fonctions et opérateurs usuels tels que sin, cos, exp, ln, sqrt ainsi que les puissances (^).

### Quelle est la précision théorique de la règle de Simpson 1/3 ?

L'erreur globale est d'ordre O(h⁴). La méthode est exacte pour tous les polynômes de degré inférieur ou égal à 3.

### Que se passe-t-il si la borne inférieure a est supérieure à la borne b ?

Le calcul respecte les conventions mathématiques du calcul intégral : le pas h devient négatif et le signe de l'intégrale est inversé.

### Le champ pour la primitive exacte F(x) est-il obligatoire ?

Non, ce champ est optionnel. S'il est vide, l'outil calcule uniquement l'estimation numérique sans calcul d'erreur analytique.

## Outils associés

- [Solveur d'EDO du premier ordre (séparation des variables)](https://elysiatools.com/fr/tools/first-order-ode-solver): Résout dy/dx = g(x)·h(y) par séparation des variables : séparation, intégration terme à terme pour obtenir H(y) = G(x) + C puis, quand c'est possible, y = f(x). Accepte les h(y) à un terme (y, y^n, e^(ky), ky+m) et les polynômes du second degré décomposables en fractions simples (comme le logistique y(1−y)) ; avec la condition initiale y(x₀)=y₀, calcule C et détecte les solutions d'équilibre. Exemple : dy/dx = 2x·y → y = e^(x²+C).
- [Calculateur de racines par Newton-Raphson](https://elysiatools.com/fr/tools/newton-raphson-root-finder): Résout f(x) = 0 par l'itération de Newton-Raphson x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f'(x_k) : la dérivée peut être fournie analytiquement (sinon une différence centrale numérique est utilisée) ; sont affichés la table des itérations (x_k et f(x_k)), le critère d'arrêt (|f| < tolérance ou |Δx| < tolérance·max(1,|x|)), le nombre d'itérations et le |f(racine)| final. Classiques : x²−2 depuis x₀=1 converge en 4 itérations vers √2 ≈ 1.4142135624 ; cos(x)−x converge vers le nombre de Dottie 0.7390851332. Dérivée nulle, pas divergents ou dépassement du nombre d'itérations sont signalés explicitement.
- [Intégrateur par règle du trapèze (∫f(x)dx)](https://elysiatools.com/fr/tools/numerical-integration-trapezoid): Calcule ∫ₐᵇ f(x)dx par la règle du trapèze composée : T = h/2·(f(a) + 2Σf(xᵢ) + f(b)), avec tableau des nœuds, estimation de l'intégrale et comparaison facultative avec la valeur exacte et l'erreur absolue ; erreur en O(h²) (exacte pour les fonctions linéaires). Exemple : ∫₀¹x²dx avec n=4 donne 0,34375 contre 1/3 exactement, erreur 0,010417.
- [Solveur numérique Runge-Kutta d'ordre 4 (RK4)](https://elysiatools.com/fr/tools/runge-kutta-rk4-solver): Résout dy/dx = f(x,y), y(x₀)=y₀ par le Runge-Kutta classique d'ordre 4 : chaque pas calcule les quatre pentes k1–k4 et met à jour y_{n+1} = y_n + h/6·(k1+2k2+2k3+k4), avec une erreur globale en O(h⁴) — diviser h par 2 réduit l'erreur d'un facteur ~16. Fournit le tableau des itérations, le détail des k1–k4 des premiers pas et l'estimation finale ; la solution exacte y(x), optionnelle, ajoute une colonne d'erreur. Exemple : dy/dx = y, y(0)=1, h=0,1 → y(1) ≈ 2,718282, quasiment e.
- [Analyseur de convergence des séries (ratio/racine/intégrale/comparaison)](https://elysiatools.com/fr/tools/series-convergence-tester): Analyse la convergence de la série Σ aₙ (aₙ comme expression de n) : applique dans l'ordre le critère du terme (aₙ → 0 ?), le critère du rapport L = |aₙ₊₁/aₙ|, le critère de la racine ρ = |aₙ|^(1/n), la comparaison aux séries de Riemann (p = −ln|a(N)|/ln N) et le critère intégral (Simpson numérique + comparaison de croissance par décade) ; les séries alternées sont détectées automatiquement et classées par le critère de Leibniz, et la somme des séries convergentes est estimée (somme partielle + queue géométrique ou en loi de puissance). Classiques : Σ1/n² converge (p≈2, somme≈1.6449) ; Σ1/n diverge (harmonique) ; Σ0.5ⁿ converge ; Σcos(πn)/n converge conditionnellement (somme≈−ln2).
- [Calculateur d'intégrale de convolution (numérique)](https://elysiatools.com/fr/tools/convolution-integral-calculator): Calcule numériquement la convolution de deux signaux (f*g)(t) = ∫ f(τ)g(t−τ)dτ : mode causal (les deux signaux sont nuls pour t<0, intégrale sur \[max(τmin,0), min(τmax,t)\], adapté aux produits du domaine de Laplace) et mode fenêtre directe (intégrale sur tout \[τmin, τmax\], adapté aux signaux bilatéraux comme les gaussiennes), par la règle de Simpson composée (2000 intervalles par défaut). Classiques : e^(−t)*e^(−2t) = e^(−t)−e^(−2t), soit 0.2325 en t=1 ; deux gaussiennes se convoluent en √(π/2)·e^(−t²/2).
- [Solveur numérique par méthode d'Euler (EDO premier ordre)](https://elysiatools.com/fr/tools/euler-method-solver): Résout le problème de Cauchy dy/dx = f(x,y), y(x₀)=y₀ par la méthode d'Euler explicite : y_{n+1} = y_n + h·f(x_n, y_n), avec tableau des itérations et estimation finale. La solution exacte y(x), optionnelle, ajoute une colonne d'erreur qui illustre l'erreur globale en O(h) de la méthode d'ordre 1. Exemple : dy/dx = y, y(0)=1, h=0,1 → y(1) ≈ 1,1¹⁰ = 2,593742 contre e = 2,718282 (erreur 0,124539).
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## Exemples

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