# Calculateur d'inverse modulaire (Euclide étendu) Calcule a⁻¹ mod m par l'algorithme d'Euclide étendu : fournit les coefficients de Bézout a·x + m·y = gcd(a, m), la table complète des coefficients progressifs (chaque ligne vérifie r = a·s + m·t) et la vérification a × a⁻¹ ≡ 1 (mod m). Accepte des nombres de taille RSA (jusqu'à 10⁵¹²) et signale clairement quand gcd(a, m) ≠ 1 rend l'inverse inexistant. Classique : en RSA, 17⁻¹ mod 3120 = 2753. > Page canonique: https://elysiatools.com/fr/tools/modular-inverse-calculator - **Catégorie:** Math & Numbers - **Mots-clés:** inverse modulaire, euclide étendu, identité de bézout, coefficients de bézout, rsa, arithmétique modulaire, théorie des nombres, inverse multiplicatif ## Présentation Ce calculateur d'inverse modulaire applique l'algorithme d'Euclide étendu pour trouver a⁻¹ mod m, identifie l'identité de Bézout correspondante et fournit une vérification complète du résultat. Il prend en charge des entiers de très grande taille (jusqu'à l'échelle RSA) et affiche le détail pas à pas des coefficients. ## Entrées - **Valeur a** (text): The value to invert; negative values are reduced mod m first. - **Module m** (text): Modulus, m ≥ 2. Inputs up to 10⁵¹² are accepted (RSA-sized). - **Style de sortie** (select) ## Quand l'utiliser - Pour calculer l'exposant privé d dans la génération de clés de chiffrement RSA. - Pour trouver l'inverse d'une clé de déchiffrement dans un chiffre affine ou d'autres chiffrements classiques. - Pour résoudre des équations diophantiennes linéaires et des congruences en théorie des nombres. ## Fonctionnement - Saisissez la valeur de l'entier a à inverser et la valeur du module m (m ≥ 2). - Sélectionnez le style d'affichage : résultat simple avec vérification ou étapes détaillées de l'algorithme d'Euclide étendu. - L'outil calcule le PGCD et les coefficients de Bézout, vérifie si gcd(a, m) = 1, puis retourne la valeur normalisée de a⁻¹ mod m. ## Cas d'usage - Vérification manuelle d'exercices d'arithmétique modulaire et d'algorithmes de cryptographie. - Calcul précis de clés de déchiffrement pour la cryptographie asymétrique ou classique. - Obtention rapide des coefficients de Bézout pour résoudre a·x + m·y = 1. ## Questions fréquentes ### Quand un inverse modulaire existe-t-il ? L'inverse a⁻¹ mod m existe si et seulement si a et m sont premiers entre eux, c'est-à-dire gcd(a, m) = 1. ### Que se passe-t-il si la valeur a est négative ? La valeur négative est automatiquement réduite modulo m avant d'exécuter l'algorithme d'Euclide étendu. ### L'outil gère-t-il de très grands nombres ? Oui, le calculateur prend en charge de grands entiers jusqu'à des tailles d'ordres de grandeur RSA (10⁵¹²). ### Que représente la table des étapes affichée ? Elle montre chaque division euclidienne avec les coefficients s et t vérifiant la relation r = a·s + m·t à chaque ligne. ### Comment est vérifié le résultat final ? Le résultat est vérifié en effectuant le produit a × a⁻¹ mod m afin de confirmer qu'il est bien congru à 1 modulo m. ## Outils associés - [Simplificateur d'expressions booléennes (table de Karnaugh)](https://elysiatools.com/fr/tools/boolean-algebra-simplifier): Simplifie les fonctions booléennes en SOM minimale : entrez une expression (A–D, + OU, · ET, ' NON, ≤ 4 variables) ou la liste des minterms Σm ; l'algorithme de Quine-McCluskey extrait les impliquants premiers, retient les essentiels et complète une couverture minimale exacte ; affiche la SOM minimale, la table de Karnaugh en code Gray (2–4 variables), la forme canonique Σm et une vérification sur toutes les affectations. Classiques : AB + A'B → B ; Σm(0,1,2,4,5,6) (3 variables) → B' + C'. - [Convertisseur de Ratio de Dilution (1:X ↔ 1/X ↔ %)](https://elysiatools.com/fr/tools/dilution-ratio-converter): Convertit entre les notations de dilution de laboratoire : proportion 1:X, fraction 1/X et pourcentage, avec le facteur de dilution et les parties soluté/diluant. Gère les deux conventions de 1:X (X = parties totales, ou 1 partie de soluté + X de diluant) ; avec le volume final, calcule les volumes à mélanger. Exemple classique : 1:5 = 1/5 = 20 % ; pour 100 mL, mélanger 20 mL de concentré + 80 mL de diluant. - [Algorithme d'Euclide étendu (ax + by = PGCD(a, b))](https://elysiatools.com/fr/tools/extended-euclidean-algorithm): Résout l'identité de Bézout a·x + b·y = PGCD(a, b) pour des entiers de signe quelconque : table complète des étapes de division (chaque ligne vérifie r = a·s + b·t), PGCD et PPCM. Avec le membre droit optionnel c, l'outil devient un solveur d'équations diophantiennes : si PGCD | c, solution particulière et générale x = x₀ + (b/g)t ; sinon, absence de solution entière clairement signalée. Classique : 240 × (−9) + 46 × 47 = 2. - [Calculateur d'arithmétique modulaire (addition / soustraction / produit / inverse / puissance)](https://elysiatools.com/fr/tools/modulo-arithmetic-converter): Effectue addition, soustraction, produit, inverse et exponentiation rapide modulo m en BigInt exact (jusqu'à 10¹⁸). Les opérations de base détaillent la réduction et renvoient le représentant canonique dans \[0, m−1\] ; l'inverse passe par l'algorithme d'Euclide étendu et signale explicitement gcd(a, m) ≠ 1 ; la puissance rapide affiche la table élever-au-carré-et-multiplier bit par bit de l'exposant. Exemples : 17⁵ mod 13 = 10 ; 5⁻¹ mod 18 = 11. - [Générateur de tables de vérité](https://elysiatools.com/fr/tools/truth-table-generator): Génère la table de vérité complète d'une expression booléenne (jusqu'à 6 variables, 64 lignes) : prend en charge + OU, ^ XOR, ·/*/& ou juxtaposition ET, !/~/' NON et parenthèses ; les variables sont listées alphabétiquement, chaque ligne donne l'affectation et la valeur F, avec les formes canoniques Σm (minterms) et ΠM (maxterms). Classiques : AB + A'C a pour Σm(1,3,6,7) ; A ^ B ^ C est la fonction de parité impaire Σm(1,2,4,7). - [Convertisseur de Vitesse Angulaire (rad/s / rpm / deg/s / Hz)](https://elysiatools.com/fr/tools/angular-velocity-converter): Conversion de vitesse angulaire : rad/s (base SI) ↔ tr/min (1=2π/60 rad/s) ↔ deg/s (1=π/180 rad/s) ↔ Hz (1 tour/s=2π rad/s). Ici Hz = tour par seconde. Conversion via rad/s avec les quatre équivalents. Réf. : vinyle 33⅓ tr/min≈3,49 rad/s, ralenti moteur ~800 tr/min≈83,8 rad/s. - [Calculateur de Dimensionnement de Conduit (débit et vitesse)](https://elysiatools.com/fr/tools/duct-size-calculator): Dimensionne un conduit à partir du débit Q et de la vitesse de projet v : section A=Q/v. Circulaire : diamètre D=√(4A/π). Rectangulaire de rapport r=a/b : b=√(A/r), a=r·b, diamètre équivalent ASHRAE D_éq=1,30·(a·b)^0,625/(a+b)^0,25. Débit en m³/s/m³/h/CFM ; résultats en mm et pouces. - [Calculateur de Limite de Fatigue (Goodman/Gerber/Soderberg)](https://elysiatools.com/fr/tools/fatigue-limit-calculator): Coefficient de sécurité en fatigue avec correction de contrainte moyenne. À partir de σ_a, σ_m et σ_uts, σ_-1, σ_y : trois critères classiques — Goodman modifié (linéaire, conservateur), Gerber (parabolique, meilleur pour les ductiles), Soderberg (via σ_y, le plus conservateur). Le minimum est le valeur gouvernante ; indique si le point est à l'intérieur de la ligne de Goodman. ## Exemples - [Exemples de Traitement d'Images Web Python](https://elysiatools.com/fr/samples/web-image-processing-python): Exemples de traitement d'images Web Python utilisant PIL/Pillow incluant la lecture, l'enregistrement, le redimensionnement et la conversion de format - [Exemples de Traitement d'Images Android Java](https://elysiatools.com/fr/samples/android-image-processing-java): Exemples de traitement d'images Android Java incluant lecture/écriture, mise à l'échelle et conversion de format - [Exemples de Traitement d'Images Android Kotlin](https://elysiatools.com/fr/samples/android-image-processing-kotlin): Exemples de traitement d'images Android Kotlin incluant lecture/écriture, mise à l'échelle et conversion de format - [Exemples de Traitement d'Images Web Rust](https://elysiatools.com/fr/samples/web-image-processing-rust): Exemples de traitement d'images Web Rust incluant lecture/écriture, redimensionnement et conversion de format