# Simulateur de Dynamique Prédateur-Proie de Lotka–Volterra

Résout et visualise le système classique prédateur-proie de Lotka–Volterra : dN/dt = rN − aNP, dP/dt = bNP − mP. Intégration RK4 (6000 pas, avec suivi de la dérive de la quantité conservée V = bN − m·ln N + aP − r·ln P), courbes d'oscillations en opposition de phase des proies et prédateurs et plan de phase aux orbites fermées, avec l'équilibre de coexistence N*=m/b, P*=r/a et la période linéarisée T ≈ 2π/√(rm). Détecte le nombre de cycles, la période mesurée et l'amplitude, et explique l'instabilité structurelle des oscillations neutres : l'amplitude est fixée par les conditions initiales, tandis que les systèmes réels s'amortissent (dépendance de la densité) ou s'auto-excintent (paradoxe de l'enrichissement).

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- **Catégorie:** Health

- **Mots-clés:** lotka volterra, prédateur proie, lynx lièvre, cycles de populations, dynamique des populations, plan de phase, cycle limite, équilibre de coexistence, simulateur écologique, modèle de prédation, oscillation, rk4

## Présentation

Le simulateur intègre par RK4 le système classique de Lotka–Volterra dN/dt = rN − aNP, dP/dt = bNP − mP. Il affiche les oscillations en opposition de phase, le plan de phase à orbites fermées, l'équilibre de coexistence N*=m/b et P*=r/a, la période linéarisée T ≈ 2π/√(rm), le nombre de cycles, la période mesurée, l'amplitude et la dérive de la quantité conservée V.

## Entrées

- **Taux de croissance des proies r (par unité de temps)** (number): Per-capita prey growth with no predators present.
- **Taux de prédation a (par prédateur)** (number): Removal of prey per encounter — multiplies N·P.
- **Efficacité de conversion b (proie → prédateur)** (number): New predators produced per prey consumed — sets the prey level needed to sustain predators (N* = m/b).
- **Mortalité du prédateur m (par unité de temps)** (number): Per-capita predator death rate with no prey.
- **Population initiale de proies N₀** (number): Starting prey population — sets the orbit amplitude together with P₀.
- **Population initiale de prédateurs P₀** (number): Starting predator population.
- **Durée de simulation (unités de temps)** (number): How long to integrate — a few cycle periods (T ≈ 2π/√(r·m)) make the orbit readable.

## Quand l'utiliser

- Pour visualiser les cycles de populations prédateur-proie (lynx-lièvre) et le décalage d'un quart de période.
- Lorsque vous voulez relier l'équilibre N*=m/b, P*=r/a à la période linéarisée et à l'amplitude fixée par N₀ et P₀.
- Pour contrôler la conservation numérique de V et illustrer l'instabilité structurelle des oscillations neutres.

## Fonctionnement

- Saisissez les taux r, a, b et m, les populations initiales N₀ et P₀, puis la durée tMax.
- L'intégrateur RK4 avance sur 6000 pas tout en suivant la dérive de V = bN − m·ln N + aP − r·ln P.
- Le résultat HTML montre les courbes temporelles, le plan de phase, l'équilibre, le nombre de cycles, la période mesurée et les extrema des populations.
- Un commentaire rappelle que l'amplitude est imposée par les conditions initiales, contrairement aux systèmes réels amortis ou auto-excités.

## Cas d'usage

- Cours d'écologie ou d'équations différentielles sur les cycles lynx-lièvre.
- Comparaison de l'effet d'une prédation plus rapide sur l'amplitude et la période.
- Démonstration que l'amplitude des oscillations de Lotka–Volterra dépend des conditions initiales, pas d'un cycle limite attractif.

## Questions fréquentes

### Quels paramètres dois-je entrer ?

Les quatre taux r, a, b et m, les populations de départ N₀ et P₀, et la durée de simulation tMax.

### Comment sont calculés N* et P* ?

L'équilibre de coexistence est N* = m/b et P* = r/a.

### Quelle période le simulateur affiche-t-il ?

La période linéarisée T ≈ 2π/√(r m) et la période mesurée sur les cycles détectés.

### Pourquoi les orbites du plan de phase sont-elles fermées ?

Le modèle est conservatif : V reste constant (dérive typiquement de l'ordre de 10⁻¹²).

### L'amplitude s'amortit-elle avec le temps ?

Non : les oscillations sont neutres et leur amplitude est entièrement fixée par N₀ et P₀.

## Outils associés

- [Tuteur d’échecs : FEN / PGN et rating Elo](https://elysiatools.com/fr/tools/chess-fen-pgn-elo-rating-tutor): Analyse et valide FEN, parties PGN/SAN ; calcule le nouveau rating Elo à partir de victoires/nulles/défaites et ratings adverses ; bandes Lichess/Chess.com
- [Calculateur d'eGFR (CKD-EPI 2021 sans race)](https://elysiatools.com/fr/tools/egfr-ckd-epi): Équation CKD-EPI 2021 sans race (créatinine) : eGFR = 142×min(SCr/κ,1)^α×max(SCr/κ,1)^−1,200×0,9938^âge×1,012 (femme). κ=0,7 (femme)/0,9 (homme), α=−0,241 (femme)/−0,302 (homme). La version 2021 supprime le multiplicateur racial de l'équation 2009 et remplace le coefficient 141 par 142. Résultat en mL/min/1,73 m² (indexé surface corporelle) pour le staging CKD ; pour la posologie utilisez Cockcroft-Gault. Non un avis médical.
- [Calculateur d'eGFR (MDRD simplifié)](https://elysiatools.com/fr/tools/egfr-mdrd): eGFR par l'équation MDRD simplifiée (4 variables) : eGFR = 175×SCr^−1,154×âge^−0,203×0,742 (femme). La version historique inclut le coefficient racial 1,212, supprimé dans CKD-EPI 2021 ; désactivé par défaut ici, activable uniquement pour comparaison historique. Résultat en mL/min/1,73 m² (indexé surface corporelle) pour le staging CKD ; pour la posologie utilisez Cockcroft-Gault. Non un avis médical.
- [Calculateur de Dose de Dialyse Kt/V (Daugirdas 2e gén.)](https://elysiatools.com/fr/tools/kt-v-dialysis-dose): Formule de Daugirdas de 2e génération pour estimer le Kt/V monocompartimental : Kt/V = −ln(R − 0,008·t) + (4 − 3,5·R)·UF/W, où R = BUN post/BUN pré, t = durée (h), UF = ultrafiltration (kg), W = poids post-dialyse (kg). Le premier terme reflète l'élimination et la génération d'urée ; le second corrige la contraction volémique. Cible KDOQI : spKt/V ≥1,2 par séance d'hémodialyse conventionnelle trihebdomadaire ; dose minimale délivrée 1,2, cible ~1,4. BUN post prélevé en débit lent. Non pour dialyse péritonéale ou EERC. Non un avis médical.
- [Score NIHSS ( AVC )](https://elysiatools.com/fr/tools/nihss-score): Le score NIHSS quantifie le déficit neurologique d'un AVC aigu : 1a niveau de conscience (0-3), 1b questions (mois/âge, 0-2), 1c commandes (yeux/poigne, 0-2), 2 regard (0-2), 3 champs visuels (0-3), 4 paralysie faciale (0-3), 5a/5b moteur bras (g/d, 0-4), 6a/6b moteur jambe (0-4), 7 ataxie (0-2), 8 sensibilité (0-2), 9 langage (0-3), 10 dysarthrie (0-2), 11 extinction/inattention (0-2) ; le côté le plus atteint entre dans le total ; 0-42. 0 sans symptôme, 1-4 mineur, 5-15 modéré, 16-20 modéré à sévère, 21-42 sévère. Sources : Brott 1989 Stroke, NINDS, MDCalc. Fiabilité faible sans formation ; à réaliser par du personnel formé. Non un avis médical.
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## Exemples

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