# Solveur d’Orbite de Kepler

Résout numériquement l’équation de Kepler E − e·sin(E) = M pour l’anomalie excentrique E, l’anomalie vraie ν, le rayon orbital et la vitesse relative, avec les méthodes de Newton/bissection/point fixe, l’historique de convergence et un diagramme SVG

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- **Catégorie:** Astronomy

- **Mots-clés:** kepler, orbite, anomalie, mécanique céleste

## Présentation

À partir de l’anomalie moyenne M (degrés), de l’excentricité e et du demi-grand axe optionnel a (UA), l’outil résout l’équation transcendante

    M = E − e · sin(E)

pour l’anomalie excentrique E. Il en déduit :

- Anomalie vraie ν : tan(ν/2) = √((1+e)/(1−e)) · tan(E/2)
- Rayon orbital : r = a · (1 − e·cos E)
- Vitesse relative (vis-viva) : v/v_circ = √(2 − r/a)

Trois méthodes :
- Newton-Raphson (recommandé) : dérivée analytique f′(E) = 1 − e·cos E, convergence quadratique. Pour e élevé (>0.8), départ à E = π.
- Bissection : robuste, encadré dans [M−e, M+e], convergence linéaire.
- Point fixe E ← M + e·sin E : le plus simple, mais diverge quand e → 1.

Le rapport affiche l’orbite en SVG (ellipse centrée sur le foyer, avec périhélie, aphélie, foyer et position courante avec son rayon vecteur), les grandeurs, la classification de l’orbite (circulaire/elliptique/parabolique/hyperbolique) et l’historique complet des itérations avec résidus.

## Entrées

- **Anomalie moyenne (M, degrés)** (number): e.g. 45
- **Excentricité (e)** (number): 0.0 (circle) to 1.0 (parabola); e.g. 0.3
- **Demi-grand axe (a, UA)** (number): e.g. 1.0 (Earth); leave 0 to express r in units of a
- **Méthode de résolution** (select)
- **Itérations max.** (number)
- **Tolérance** (select)

## Quand l'utiliser

- Lors de la modélisation de trajectoires orbitales pour calculer la position exacte d'un satellite ou d'une planète à un instant donné.
- Pour comparer la vitesse de convergence et la précision des méthodes de Newton-Raphson, de bissection et du point fixe sur différentes excentricités.
- Pour générer un schéma SVG d'une orbite elliptique avec la position courante du corps céleste par rapport au foyer.

## Fonctionnement

- Saisissez l'anomalie moyenne (M) en degrés, l'excentricité (e) de l'orbite et le demi-grand axe (a) en unités astronomiques.
- Sélectionnez la méthode de résolution numérique (Newton-Raphson, bissection ou itération à point fixe) ainsi que la tolérance de précision souhaitée.
- L'outil résout l'équation de Kepler pour trouver l'anomalie excentrique (E), puis calcule l'anomalie vraie, le rayon orbital et la vitesse relative.
- Les résultats s'affichent sous forme de rapport détaillé avec un diagramme SVG de l'orbite et l'historique complet des itérations de calcul.

## Cas d'usage

- Enseignement de la mécanique céleste pour visualiser la relation entre l'anomalie moyenne et la position physique sur une orbite.
- Calcul rapide des paramètres orbitaux d'un astéroïde ou d'une comète à partir de ses éléments képlériens.
- Analyse de la convergence des algorithmes numériques appliqués aux équations transcendantes en astronomie.

## Questions fréquentes

### Quelle méthode de résolution est recommandée pour les fortes excentricités ?

La méthode de Newton-Raphson est recommandée car elle offre une convergence quadratique rapide, en démarrant à E = π pour les excentricités supérieures à 0,8.

### Pourquoi la méthode du point fixe échoue-t-elle parfois ?

L'itération à point fixe diverge lorsque l'excentricité (e) approche de 1, ce qui la rend inadaptée pour les orbites très elliptiques.

### Comment le rayon orbital est-il calculé si le demi-grand axe (a) n'est pas fourni ?

Si le demi-grand axe est laissé à 0, le rayon orbital est exprimé en unités relatives du demi-grand axe (r/a).

### Qu'est-ce que l'anomalie vraie affichée dans les résultats ?

L'anomalie vraie (ν) est l'angle entre la direction du périhélie et la position actuelle du corps céleste, mesuré depuis le foyer de l'orbite.

### L'outil prend-il en charge les orbites paraboliques ou hyperboliques ?

L'outil résout l'équation classique de Kepler pour les orbites elliptiques (e < 1) et classe le type d'orbite selon l'excentricité saisie.

## Outils associés

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## Exemples

- [Exemples SVG](https://elysiatools.com/fr/samples/svg-samples): Exemples de graphiques vectoriels évolutifs (SVG) démontrant diverses fonctionnalités et techniques SVG
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## Contenu associé

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