# Calculateur de transformée de Laplace inverse (fractions partielles) Calcule la transformée de Laplace inverse de F(s) = N(s)/D(s) (fraction propre, dénominateur de degré ≤ 6) : racines du dénominateur regroupées par multiplicité et paires conjuguées, décomposition en fractions partielles par résolution d'un système linéaire sur les coefficients polynomiaux, puis inversion terme à terme avec les paires standard (A/(s−r)→Ae^(rt), A/(s−r)^j→At^(j−1)e^(rt)/(j−1)!, (Bs+C)/((s−α)²+β²)→e^(αt)[Bcos(βt)+…sin(βt)]). Classiques : 1/(s²+3s+2) → e^(−t)−e^(−2t) ; (3s+5)/(s²+4) → 3cos(2t)+2,5sin(2t). > Page canonique: https://elysiatools.com/fr/tools/inverse-laplace-calculator - **Catégorie:** Math & Numbers - **Mots-clés:** transformée de laplace inverse, fractions partielles, fonction rationnelle, paires de laplace, racines complexes, racines multiples, résolution d'edo, fonction de transfert, calcul ## Présentation Ce calculateur calcule la transformée de Laplace inverse f(t) d'une fonction rationnelle propre F(s) = N(s)/D(s) jusqu'au degré 6 au dénominateur. L'outil extrait les racines réelles, multiples ou complexes conjuguées de D(s), résout le système linéaire pour obtenir la décomposition en éléments simples (fractions partielles), puis applique terme à terme les formules usuelles de la transformée inverse. ## Entrées - **Coefficients du numérateur N(s) (constante d'abord)** (text): Comma-separated numerator coefficients, constant term first, e.g. 5,3 → 3s + 5. - **Coefficients du dénominateur D(s) (constante d'abord)** (text): Comma-separated denominator coefficients, constant term first, degree ≤ 6, e.g. 2,3,1 → s² + 3s + 2. - **Décimales** (number) ## Quand l'utiliser - Résoudre des équations différentielles linéaires ordinaires (EDO) après passage dans le domaine de Laplace. - Déterminer la réponse temporelle f(t) d'une fonction de transfert rationnelle en automatique ou traitement du signal. - Décomposer rapidement une fraction rationnelle en éléments simples et vérifier des calculs analytiques de mathématiques. ## Fonctionnement - Saisissez les coefficients des polynômes N(s) et D(s) sous forme de valeurs séparées par des virgules, en commençant impérativement par le terme constant (puissance 0). - Le calculateur factorise le dénominateur D(s) en identifiant les racines réelles simples, multiples ou les paires complexes conjuguées. - Un système d'équations linéaires résout les coefficients de la décomposition en fractions partielles. - Chaque fraction simple est transformée dans le domaine temporel via les paires de Laplace standard pour fournir l'expression complète de f(t). ## Cas d'usage - Étude de la réponse impulsionnelle ou indicielle d'un circuit RLC ou d'un filtre analogique. - Résolution analytique d'équations différentielles d'ordre 2 à 6 avec conditions initiales. - Vérification d'exercices universitaires sur les décompositions en éléments simples et les tables de Laplace. ## Questions fréquentes ### Dans quel ordre faut-il entrer les coefficients polynomiaux ? Les coefficients doivent être saisis par ordre de puissances croissantes de s, en commençant par le terme constant (ex. '5,3' correspond à 3s + 5). ### Le calculateur prend-il en charge les fractions rationnelles impropres ? Non, l'outil requiert une fraction propre où le degré du numérateur N(s) est strictement inférieur à celui du dénominateur D(s). ### Quelle est la limite de degré pour le polynôme dénominateur D(s) ? Le degré du dénominateur D(s) doit être inférieur ou égal à 6. ### Comment sont traitées les racines complexes conjuguées du dénominateur ? Elles sont regroupées sous forme de facteurs quadratiques irréductibles ((s - α)² + β²) et inversées en termes d'exponentielles modulées par des sinus et cosinus. ### À quoi sert le paramètre Décimales ? Il contrôle la précision de l'arrondi numérique affiché pour les coefficients réels et les termes calculés dans la décomposition. ## Outils associés - [Calculateur de transformée de Laplace (table des paires)](https://elysiatools.com/fr/tools/laplace-transform-calculator): Obtient par table la transformée de Laplace F(s) = ∫₀^∞ e^(−st)f(t)dt : 14 paires standard (1, t, tⁿ, e^(at), tⁿe^(at), sin/cos(kt) et leurs décalages exponentiels, sinh/cosh, t·sin/t·cos, δ(t)), avec substitution des paramètres, région de convergence (p. ex. s > a), note de dérivation et évaluation numérique facultative en un point s (avec contrôle de convergence). Exemple : L{e^t} = 1/(s−1), s>1, F(2) = 1. - [Calculateur de décomposition en fractions partielles (fonctions rationnelles)](https://elysiatools.com/fr/tools/partial-fraction-decomposer): Décompose en fractions partielles F(x) = N(x)/D(x) (dénominateur de degré ≤ 6, numérateur ≤ 8 ; les fractions impropres sont d'abord divisées par division polynomiale) : racines du dénominateur par Durand–Kerner regroupées par multiplicité et paires conjuguées, système linéaire exact sur les coefficients donnant les termes A/(x−r)^j et (Bx+C)/((x−α)²+β²), puis vérification numérique du résidu en des points algébriques de test. Classiques : (3x+5)/(x²+3x+2) = 2/(x+1) + 1/(x+2) ; (x³+2x)/(x²+1) = x + x/(x²+1) ; 1/(x(x+1)²) = 1/x − 1/(x+1) − 1/(x+1)². - [Solveur d'EDO linéaire du second ordre (équation caractéristique)](https://elysiatools.com/fr/tools/second-order-ode-solver): Résout a·y'' + b·y' + c·y = f(x) : racines de l'équation caractéristique ar² + br + c = 0, solution homogène classée selon le discriminant (racines réelles distinctes / double / complexes conjuguées) et solution particulière par coefficients indéterminés avec résonance (si k est racine, l'essai est multiplié par x^m). Constantes, polynômes, A·e^(kx) et A·sin(kx)+B·cos(kx) acceptés ; avec y(x₀) et y'(x₀), un système 2×2 fixe C1 et C2. Exemple classique : y''−3y'+2y=0, y(0)=1, y'(0)=0 → y = −e^(2x)+2e^x. - [Calculateur de transformée en Z (systèmes discrets)](https://elysiatools.com/fr/tools/z-transform-calculator): Obtient par table la transformée en Z unilatérale X(z) = Σₙ₌₀^∞ x\[n\]·z^(−n) : 11 paires standard (δ\[n\], u\[n\], aⁿ, n, n², n·aⁿ, sin/cos(ω₀n), aⁿ·sin/aⁿ·cos, (−1)ⁿ), avec substitution des paramètres, région de convergence |z| > R, note de dérivation et évaluation numérique facultative en un point z (avec contrôle de convergence). Exemple : Z{0.5ⁿ} = z/(z−0.5), |z| > 0.5, X(2) = 4/3. - [Calculateur de valeur absolue](https://elysiatools.com/fr/tools/absolute-value-calculator): Calcule la valeur absolue de nombres positifs, negatifs ou decimaux et explique leur distance a zero - [Calculateur de Taux de Renouvellement ACH (n = Q/V)](https://elysiatools.com/fr/tools/air-changes-per-hour): Calcule le taux de renouvellement d'air n=Q/V (1/h) à partir du débit d'air neuf Q et du volume V. Trois modes : n (Q,V), débit (n,V) ou volume (n,Q). Débit en m³/s/m³/h/CFM, volume en m³/pi³/L. Donne le temps pour atteindre l'objectif de purge (fraction résiduelle, défaut 1%) selon le modèle parfaitement mélangé : t=−ln(ε)/n. - [Calculateur de Durée de Vie L10 du Roulement](https://elysiatools.com/fr/tools/bearing-life-l10): Calcule la durée de vie nominale L10 = (C/P)^p d'un roulement. Billes p=3, rouleaux p=10/3. Avec la vitesse, L10h en heures. - [Calculateur de Couple et Force de Vis](https://elysiatools.com/fr/tools/bolt-torque-clamp-force): Convertit entre le couple de serrage et la force axiale d'une vis. T = K·F·d, K est le facteur d'écrou (≈0.20 acier sec). Couple par force ou force par couple. ## Exemples - [Exemples de Traitement d'Images Web Python](https://elysiatools.com/fr/samples/web-image-processing-python): Exemples de traitement d'images Web Python utilisant PIL/Pillow incluant la lecture, l'enregistrement, le redimensionnement et la conversion de format - [Exemples de Traitement d'Images Android Java](https://elysiatools.com/fr/samples/android-image-processing-java): Exemples de traitement d'images Android Java incluant lecture/écriture, mise à l'échelle et conversion de format - [Exemples de Traitement d'Images Android Kotlin](https://elysiatools.com/fr/samples/android-image-processing-kotlin): Exemples de traitement d'images Android Kotlin incluant lecture/écriture, mise à l'échelle et conversion de format - [Exemples de Traitement d'Images Web Rust](https://elysiatools.com/fr/samples/web-image-processing-rust): Exemples de traitement d'images Web Rust incluant lecture/écriture, redimensionnement et conversion de format ## Contenu associé - [Outils d encodage et de conversion audio](https://elysiatools.com/fr/hubs/audio-convert): Comparez la conversion de formats audio, les changements de debit, la conversion de frequence d echantillonnage, les changements de codec et les exports dans un meme hub. - [Outils de conversion de formats d image et d export anime](https://elysiatools.com/fr/hubs/image-convert): Comparez les convertisseurs d image pour JPG, PNG, GIF, AVIF, WebP, TIFF, ICO, base64 et les exports orientes animation dans un meme hub. - [Outils d interchange JSON et de traduction de formats](https://elysiatools.com/fr/hubs/json-convert): Comparez les outils de conversion JSON pour CSV, YAML, TOML, GraphQL, XML, Markdown, Excel, BSON, EDN et d autres formats structures dans un meme hub. - [Outils de conversion d'espaces colorimetriques pour web et impression](https://elysiatools.com/fr/hubs/design-convert): Des outils reunis pour conversion d'espaces colorimetriques entre web et impression dans un seul hub.