# Solveur de jeux à somme nulle (point selle / programmation linéaire) Résout les jeux à somme nulle 2–6 × 2–6 (la matrice appartient au joueur ligne, le maximisateur ; le joueur colonne paie) : d'abord le test de point selle (si le maximin des minima de lignes égale le minimax des maxima de colonnes, l'équilibre en stratégies pures existe et toutes les cellules selles sont listées) ; sinon la matrice est décalée pour que chaque entrée soit ≥ 1 et un simplexe monophasique (base d'écarts, règle de Bland) résout max Σz s.t. Bz ≤ 1 : le primal donne la stratégie mixte q du colonne et les prix duaux d'ombre sont exactement la solution y du joueur ligne ; la valeur est décalée en retour et x, q, v sont vérifiés numériquement (xᵀA ≥ v, Aq ≤ v) ainsi que l'égalité minimax. Classique : pile ou face [[1,-1],[-1,1]] → valeur 0 avec mélanges 0.5/0.5. > Page canonique: https://elysiatools.com/fr/tools/game-theory-zero-sum - **Catégorie:** Math & Numbers - **Mots-clés:** théorie des jeux, jeu à somme nulle, point selle, stratégie mixte, minimax, équilibre de nash, programmation linéaire, prix dual, matrice des gains, recherche opérationnelle ## Présentation Ce solveur de jeux à somme nulle analyse vos matrices de gains de 2×2 à 6×6 pour identifier les équilibres en stratégies pures ou mixtes. Il effectue un test de point selle en comparant le maximin et le minimax, puis recourt à l'algorithme du simplexe en programmation linéaire pour calculer la valeur du jeu et les probabilités optimales pour chaque joueur. ## Entrées - **Matrice des gains (gain du joueur ligne, une par ligne)** (textarea): Payoffs to the row player (positive = row wins). 2–6 rows × 2–6 columns; the column player minimizes. - **Décimales** (number) ## Quand l'utiliser - Vérifier l'existence d'un point selle en stratégies pures dans une matrice de gains. - Calculer les probabilités optimales de stratégies mixtes pour le joueur ligne et le joueur colonne. - Déterminer la valeur minimax théorique et vérifier numériquement les niveaux de sécurité d'un jeu à deux joueurs. ## Fonctionnement - Saisissez la matrice des gains (2 à 6 lignes et colonnes) où les valeurs positives représentent les gains du joueur ligne payés par le joueur colonne. - L'outil évalue les minima de chaque ligne et les maxima de chaque colonne pour détecter d'éventuels points selles d'équilibre. - En l'absence de point selle, la matrice est translatée pour appliquer l'algorithme du simplexe monophasique avec la règle de Bland, résolvant le problème primal et dual. - Le solveur affiche la valeur globale du jeu ainsi que les vecteurs de probabilités des stratégies optimales pour les deux joueurs. ## Cas d'usage - Résolution d'exercices académiques en théorie des jeux et recherche opérationnelle. - Modélisation de confrontations stratégiques binaires où le gain de l'un compense exactement la perte de l'autre. - Optimisation de décisions concurrentielles nécessitant la randomisation de tactiques (ex. jeux de poker simplifiés, duels d'enchères). ## Questions fréquentes ### Quelles dimensions de matrice sont acceptées par le solveur ? L'outil prend en charge des matrices rectangulaires ou carrées allant de 2×2 jusqu'à 6×6. ### Comment sont interprétées les valeurs de la matrice ? Les valeurs correspondent aux gains du joueur ligne (maximisateur) payés par le joueur colonne (minimisateur). ### Que se passe-t-il si un point selle est détecté ? Le solveur identifie l'équilibre en stratégies pures, renvoie la cellule selle correspondante et affiche la valeur exacte du jeu. ### Comment sont calculées les stratégies mixtes sans point selle ? La matrice est décalée positivement pour être résolue par un simplexe monophasique, extrayant les probabilités primales et duales. ### Peut-on ajuster la précision des résultats numériques ? Oui, vous pouvez configurer le nombre de décimales affichées entre 0 et 8. ## Outils associés - [Générateur de permutations / combinaisons / sous-ensembles (avec répétitions)](https://elysiatools.com/fr/tools/combinatorial-generation): Génère permutations, combinaisons et sous-ensembles d'un multiensemble avec dédoublonnage automatique en ordre lexicographique : les permutations suivent next_permutation avec comptage exact n!/Π(mᵢ!) ; les combinaisons donnent les k-sous-multiensembles distincts, comptés comme coefficient de x^k dans Π(1+x+…+x^mᵢ) (C(n,k) si tous les éléments sont distincts) ; les sous-ensembles énumèrent chaque sous-multiensemble avec comptage Π(mᵢ+1) (2ⁿ si tous distincts), ensemble vide inclus. Jusqu'à 12 éléments, affichage plafonné à 200 entrées mais comptage toujours exact ; le mode combinaisons exige 1 ≤ k ≤ n. Classiques : permutations de \[A, A, B\] → 3!/2! = 3 (AAB, ABA, BAA) ; sous-ensembles de \[A, A, B\] → (2+1)(1+1) = 6. - [Calculateur de transformée de Laplace inverse (fractions partielles)](https://elysiatools.com/fr/tools/inverse-laplace-calculator): Calcule la transformée de Laplace inverse de F(s) = N(s)/D(s) (fraction propre, dénominateur de degré ≤ 6) : racines du dénominateur regroupées par multiplicité et paires conjuguées, décomposition en fractions partielles par résolution d'un système linéaire sur les coefficients polynomiaux, puis inversion terme à terme avec les paires standard (A/(s−r)→Ae^(rt), A/(s−r)^j→At^(j−1)e^(rt)/(j−1)!, (Bs+C)/((s−α)²+β²)→e^(αt)\[Bcos(βt)+…sin(βt)\]). Classiques : 1/(s²+3s+2) → e^(−t)−e^(−2t) ; (3s+5)/(s²+4) → 3cos(2t)+2,5sin(2t). - [Calculateur de transformée de Laplace (table des paires)](https://elysiatools.com/fr/tools/laplace-transform-calculator): Obtient par table la transformée de Laplace F(s) = ∫₀^∞ e^(−st)f(t)dt : 14 paires standard (1, t, tⁿ, e^(at), tⁿe^(at), sin/cos(kt) et leurs décalages exponentiels, sinh/cosh, t·sin/t·cos, δ(t)), avec substitution des paramètres, région de convergence (p. ex. s > a), note de dérivation et évaluation numérique facultative en un point s (avec contrôle de convergence). Exemple : L{e^t} = 1/(s−1), s>1, F(2) = 1. - [Calculateur de décomposition en fractions partielles (fonctions rationnelles)](https://elysiatools.com/fr/tools/partial-fraction-decomposer): Décompose en fractions partielles F(x) = N(x)/D(x) (dénominateur de degré ≤ 6, numérateur ≤ 8 ; les fractions impropres sont d'abord divisées par division polynomiale) : racines du dénominateur par Durand–Kerner regroupées par multiplicité et paires conjuguées, système linéaire exact sur les coefficients donnant les termes A/(x−r)^j et (Bx+C)/((x−α)²+β²), puis vérification numérique du résidu en des points algébriques de test. Classiques : (3x+5)/(x²+3x+2) = 2/(x+1) + 1/(x+2) ; (x³+2x)/(x²+1) = x + x/(x²+1) ; 1/(x(x+1)²) = 1/x − 1/(x+1) − 1/(x+1)². - [Analyseur de réseau PERT (durée attendue/variance)](https://elysiatools.com/fr/tools/pert-network-analyzer): Analyse PERT à trois points pour 2–20 activités (une par ligne : nom, optimiste a, plus probable m, pessimiste b, prédécesseurs) : te = (a+4m+b)/6, σ² = ((b−a)/6)² ; le CPM sur les te donne le chemin critique, la durée attendue TE et la variance du projet (somme des σ² sur le chemin critique) ; avec un délai cible T, l'outil calcule Z = (T−TE)/σ et la probabilité d'achèvement Φ(Z) par approximation normale. Les violations de a≤m≤b et les cycles sont rejetés ; les réseaux déterministes (σ≈0) sont traités sans division par zéro. Classique : A(2,4,6), B(3,5,7), C(2,3,10), D(4,6,8, B C) → TE = 15, σ² = 1.3333, P(T=16) ≈ 80,7 %. - [Calculateur de file M/M/c multi-serveurs](https://elysiatools.com/fr/tools/queuing-theory-mmc): Calcule les métriques en régime permanent de la file M/M/c (arrivées de Poisson de taux λ, c serveurs exponentiels identiques de taux μ, file FCFS unique) : trafic offert a = λ/μ, taux d'occupation par serveur ρ, probabilité P0 de système vide, probabilité d'attente d'Erlang-C Pw, nombres moyens Lq et L, temps moyens W et Wq, avec vérification croisée par la loi de Little et la relation Pw→Lq. Exige λ < cμ (sinon rejet pour instabilité) ; avec c = 1 les formules retombent sur M/M/1. Classique : λ = 6/h, μ = 3/h, c = 3 → P0 = 0.1111, Pw = 0.4444, Lq = 0.8889, L = 2.8889. - [Solveur d'EDO linéaire du second ordre (équation caractéristique)](https://elysiatools.com/fr/tools/second-order-ode-solver): Résout a·y'' + b·y' + c·y = f(x) : racines de l'équation caractéristique ar² + br + c = 0, solution homogène classée selon le discriminant (racines réelles distinctes / double / complexes conjuguées) et solution particulière par coefficients indéterminés avec résonance (si k est racine, l'essai est multiplié par x^m). Constantes, polynômes, A·e^(kx) et A·sin(kx)+B·cos(kx) acceptés ; avec y(x₀) et y'(x₀), un système 2×2 fixe C1 et C2. Exemple classique : y''−3y'+2y=0, y(0)=1, y'(0)=0 → y = −e^(2x)+2e^x. - [Calculateur de transformée en Z (systèmes discrets)](https://elysiatools.com/fr/tools/z-transform-calculator): Obtient par table la transformée en Z unilatérale X(z) = Σₙ₌₀^∞ x\[n\]·z^(−n) : 11 paires standard (δ\[n\], u\[n\], aⁿ, n, n², n·aⁿ, sin/cos(ω₀n), aⁿ·sin/aⁿ·cos, (−1)ⁿ), avec substitution des paramètres, région de convergence |z| > R, note de dérivation et évaluation numérique facultative en un point z (avec contrôle de convergence). Exemple : Z{0.5ⁿ} = z/(z−0.5), |z| > 0.5, X(2) = 4/3. ## Exemples - [Exemples Bevy Game Engine](https://elysiatools.com/fr/samples/bevy-samples): Exemples du moteur de jeu Bevy Rust avec ECS, graphiques 2D/3D, audio et mécaniques de jeu - [Exemples de Traitement d'Images Web Python](https://elysiatools.com/fr/samples/web-image-processing-python): Exemples de traitement d'images Web Python utilisant PIL/Pillow incluant la lecture, l'enregistrement, le redimensionnement et la conversion de format - [Exemples d'Architecture Zero Trust](https://elysiatools.com/fr/samples/zero-trust-samples): Exemples complets d'architecture Zero Trust avec authentification, segmentation de réseau et contrôle d'accès - [Exemples de Traitement d'Images Android Java](https://elysiatools.com/fr/samples/android-image-processing-java): Exemples de traitement d'images Android Java incluant lecture/écriture, mise à l'échelle et conversion de format ## Contenu associé - [Outils d encodage et de conversion audio](https://elysiatools.com/fr/hubs/audio-convert): Comparez la conversion de formats audio, les changements de debit, la conversion de frequence d echantillonnage, les changements de codec et les exports dans un meme hub. - [Outils de conversion de formats d image et d export anime](https://elysiatools.com/fr/hubs/image-convert): Comparez les convertisseurs d image pour JPG, PNG, GIF, AVIF, WebP, TIFF, ICO, base64 et les exports orientes animation dans un meme hub. - [Outils d interchange JSON et de traduction de formats](https://elysiatools.com/fr/hubs/json-convert): Comparez les outils de conversion JSON pour CSV, YAML, TOML, GraphQL, XML, Markdown, Excel, BSON, EDN et d autres formats structures dans un meme hub. - [Outils de conversion d'espaces colorimetriques pour web et impression](https://elysiatools.com/fr/hubs/design-convert): Des outils reunis pour conversion d'espaces colorimetriques entre web et impression dans un seul hub.