# Solveur d'EDO du premier ordre (séparation des variables) Résout dy/dx = g(x)·h(y) par séparation des variables : séparation, intégration terme à terme pour obtenir H(y) = G(x) + C puis, quand c'est possible, y = f(x). Accepte les h(y) à un terme (y, y^n, e^(ky), ky+m) et les polynômes du second degré décomposables en fractions simples (comme le logistique y(1−y)) ; avec la condition initiale y(x₀)=y₀, calcule C et détecte les solutions d'équilibre. Exemple : dy/dx = 2x·y → y = e^(x²+C). > Page canonique: https://elysiatools.com/fr/tools/first-order-ode-solver - **Catégorie:** Math & Numbers - **Mots-clés:** edo premier ordre, équation différentielle séparable, séparation des variables, problème de cauchy, fractions simples, équation logistique, solution implicite, calcul différentiel, intégration symbolique ## Présentation Ce solveur d'équations différentielles ordinaires (EDO) du premier ordre résout analytiquement les équations à variables séparables sous la forme dy/dx = g(x)·h(y). Il effectue l'intégration symbolique de chaque membre pour fournir la relation H(y) = G(x) + C, isole la variable dépendante sous forme explicite y = f(x) quand cela est possible, et détermine la constante C pour les problèmes de Cauchy avec conditions initiales. ## Entrées - **g(x) — facteur côté x** (text): x-dependent factor of dy/dx = g(x)·h(y). Terms: constants, x^n, (kx+m)^n, e^(kx), sin(kx+m), cos(kx+m), ln(kx+m), sqrt(kx+m). - **h(y) — facteur côté y** (text): y-dependent factor. Single terms (y, y^n, (ky+m)^n, e^(ky)) or a degree ≤ 2 polynomial with real roots, or c/D(y). - **x₀ (x initial)** (number): Only used together with y₀ to pin down the constant C. - **y₀ = y(x₀)** (number): Initial value. Leave empty for the general solution; provide with x₀ for the particular solution. ## Quand l'utiliser - Résoudre une équation différentielle séparable analytique dy/dx = g(x)·h(y) étape par étape. - Déterminer la solution particulière d'un problème de Cauchy à partir d'une condition initiale y(x₀) = y₀. - Traiter des équations différentielles nécessitant une décomposition en fractions simples, telles que le modèle logistique. ## Fonctionnement - Saisissez le facteur dépendant de x dans g(x) et le facteur dépendant de y dans h(y). - Renseignez éventuellement les conditions initiales x₀ et y₀ pour calculer la constante d'intégration C. - L'outil sépare les différentielles (1/h(y) dy = g(x) dx) et intègre chaque côté pour établir la relation H(y) = G(x) + C. - Le solveur isole y pour fournir la solution explicite ou affiche la solution implicite si l'inversion élémentaire n'est pas possible. ## Cas d'usage - Modélisation de la croissance d'une population via l'équation logistique dy/dx = r·y(1 - y/K). - Calcul de la décroissance radioactive ou du refroidissement thermique régi par une loi de taux proportionnelle. - Vérification d'exercices universitaires de calcul différentiel et d'intégration par séparation de variables. ## Questions fréquentes ### Quels types de fonctions h(y) sont pris en charge ? Le solveur accepte les monômes et puissances (y, y^n), les exponentielles e^(ky), les formes affines (ky+m)^n et les polynômes de degré 2 à racines réelles décomposables en fractions simples. ### Comment obtenir une solution particulière plutôt que générale ? Renseignez les champs x₀ et y₀ avec vos valeurs numériques initiales pour calculer la constante C exacte. ### Que se passe-t-il si y ne peut pas être isolé ? Lorsque l'inversion algébrique de H(y) n'admet pas de forme élémentaire, l'outil fournit la relation implicite exacte H(y) = G(x) + C. ### Le solveur détecte-t-il les solutions d'équilibre ? Oui, les valeurs annulant h(y) sont identifiées comme des solutions stationnaires d'équilibre de l'EDO. ### Quelles fonctions g(x) peut-on renseigner ? Vous pouvez saisir des constantes, des puissances x^n, des exponentielles e^(kx), des fonctions trigonométriques sin/cos, ln(kx+m) et des racines carrées sqrt(kx+m). ## Outils associés - [Calculateur de racines par Newton-Raphson](https://elysiatools.com/fr/tools/newton-raphson-root-finder): Résout f(x) = 0 par l'itération de Newton-Raphson x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f'(x_k) : la dérivée peut être fournie analytiquement (sinon une différence centrale numérique est utilisée) ; sont affichés la table des itérations (x_k et f(x_k)), le critère d'arrêt (|f| < tolérance ou |Δx| < tolérance·max(1,|x|)), le nombre d'itérations et le |f(racine)| final. Classiques : x²−2 depuis x₀=1 converge en 4 itérations vers √2 ≈ 1.4142135624 ; cos(x)−x converge vers le nombre de Dottie 0.7390851332. Dérivée nulle, pas divergents ou dépassement du nombre d'itérations sont signalés explicitement. - [Intégrateur par règle de Simpson (∫f(x)dx)](https://elysiatools.com/fr/tools/numerical-integration-simpson): Calcule ∫ₐᵇ f(x)dx par la règle de Simpson 1/3 composée (n pair) : S = h/3·(f(a) + 4Σnœuds impairs + 2Σnœuds pairs intérieurs + f(b)), erreur en O(h⁴), exacte pour les polynômes de degré ≤ 3. Tableau des nœuds, estimation et comparaison facultative avec la valeur exacte. Exemples : ∫₀¹x²dx avec n=4 donne 0,333333 (exacte !) ; ∫₀¹e^(−x²)dx (sans primitive élémentaire) avec n=10 donne 0,746825. - [Intégrateur par règle du trapèze (∫f(x)dx)](https://elysiatools.com/fr/tools/numerical-integration-trapezoid): Calcule ∫ₐᵇ f(x)dx par la règle du trapèze composée : T = h/2·(f(a) + 2Σf(xᵢ) + f(b)), avec tableau des nœuds, estimation de l'intégrale et comparaison facultative avec la valeur exacte et l'erreur absolue ; erreur en O(h²) (exacte pour les fonctions linéaires). Exemple : ∫₀¹x²dx avec n=4 donne 0,34375 contre 1/3 exactement, erreur 0,010417. - [Solveur numérique Runge-Kutta d'ordre 4 (RK4)](https://elysiatools.com/fr/tools/runge-kutta-rk4-solver): Résout dy/dx = f(x,y), y(x₀)=y₀ par le Runge-Kutta classique d'ordre 4 : chaque pas calcule les quatre pentes k1–k4 et met à jour y_{n+1} = y_n + h/6·(k1+2k2+2k3+k4), avec une erreur globale en O(h⁴) — diviser h par 2 réduit l'erreur d'un facteur ~16. Fournit le tableau des itérations, le détail des k1–k4 des premiers pas et l'estimation finale ; la solution exacte y(x), optionnelle, ajoute une colonne d'erreur. Exemple : dy/dx = y, y(0)=1, h=0,1 → y(1) ≈ 2,718282, quasiment e. - [Analyseur de convergence des séries (ratio/racine/intégrale/comparaison)](https://elysiatools.com/fr/tools/series-convergence-tester): Analyse la convergence de la série Σ aₙ (aₙ comme expression de n) : applique dans l'ordre le critère du terme (aₙ → 0 ?), le critère du rapport L = |aₙ₊₁/aₙ|, le critère de la racine ρ = |aₙ|^(1/n), la comparaison aux séries de Riemann (p = −ln|a(N)|/ln N) et le critère intégral (Simpson numérique + comparaison de croissance par décade) ; les séries alternées sont détectées automatiquement et classées par le critère de Leibniz, et la somme des séries convergentes est estimée (somme partielle + queue géométrique ou en loi de puissance). Classiques : Σ1/n² converge (p≈2, somme≈1.6449) ; Σ1/n diverge (harmonique) ; Σ0.5ⁿ converge ; Σcos(πn)/n converge conditionnellement (somme≈−ln2). - [Constructeur lien court + UTM + QR](https://elysiatools.com/fr/tools/short-url-utm-builder-qr-bundle): Une seule passe remplace le trio bit.ly + Campaign Builder + générateur de QR : saisissez la page de destination et les UTM (trio obligatoire GA4 validé, minuscules optionnelles) et obtenez l'URL complète tracée ; un slug base62 déterministe (hachage FNV-1a, même entrée → même slug, sans compte ni réseau) sur votre domaine court ; deux QR codes PNG (lien court et complet) ; plus les redirections nginx / vercel.json / Netlify et la ligne CSV de suivi de campagne. - [Analyseur d'Asymétrie](https://elysiatools.com/fr/tools/skewness-analyzer): Analyser l'asymétrie des données pour mesurer l'asymétrie de la distribution de probabilité et identifier les modèles de données - [Calculateur de racine carree](https://elysiatools.com/fr/tools/square-root-calculator): Calcule les racines carrees, verifie si une valeur est un carre parfait et controle le resultat au carre ## Exemples - [Exemples de Traitement d'Images Web Python](https://elysiatools.com/fr/samples/web-image-processing-python): Exemples de traitement d'images Web Python utilisant PIL/Pillow incluant la lecture, l'enregistrement, le redimensionnement et la conversion de format - [Exemples de Variables d'Environnement (.env)](https://elysiatools.com/fr/samples/env-samples): Exemples de configuration de variables d'environnement pour différents types d'applications et environnements - [Exemples de Traitement d'Images Android Java](https://elysiatools.com/fr/samples/android-image-processing-java): Exemples de traitement d'images Android Java incluant lecture/écriture, mise à l'échelle et conversion de format - [Exemples de Traitement d'Images Android Kotlin](https://elysiatools.com/fr/samples/android-image-processing-kotlin): Exemples de traitement d'images Android Kotlin incluant lecture/écriture, mise à l'échelle et conversion de format ## Contenu associé - [Outils d encodage et de conversion audio](https://elysiatools.com/fr/hubs/audio-convert): Comparez la conversion de formats audio, les changements de debit, la conversion de frequence d echantillonnage, les changements de codec et les exports dans un meme hub. - [Outils de conversion de formats d image et d export anime](https://elysiatools.com/fr/hubs/image-convert): Comparez les convertisseurs d image pour JPG, PNG, GIF, AVIF, WebP, TIFF, ICO, base64 et les exports orientes animation dans un meme hub. - [Outils d interchange JSON et de traduction de formats](https://elysiatools.com/fr/hubs/json-convert): Comparez les outils de conversion JSON pour CSV, YAML, TOML, GraphQL, XML, Markdown, Excel, BSON, EDN et d autres formats structures dans un meme hub. - [Outils de conversion d'espaces colorimetriques pour web et impression](https://elysiatools.com/fr/hubs/design-convert): Des outils reunis pour conversion d'espaces colorimetriques entre web et impression dans un seul hub.