# Calculateur d'intégrale de convolution (numérique)

Calcule numériquement la convolution de deux signaux (f*g)(t) = ∫ f(τ)g(t−τ)dτ : mode causal (les deux signaux sont nuls pour t<0, intégrale sur [max(τmin,0), min(τmax,t)], adapté aux produits du domaine de Laplace) et mode fenêtre directe (intégrale sur tout [τmin, τmax], adapté aux signaux bilatéraux comme les gaussiennes), par la règle de Simpson composée (2000 intervalles par défaut). Classiques : e^(−t)*e^(−2t) = e^(−t)−e^(−2t), soit 0.2325 en t=1 ; deux gaussiennes se convoluent en √(π/2)·e^(−t²/2).

> Page canonique: https://elysiatools.com/fr/tools/convolution-integral-calculator

- **Catégorie:** Math & Numbers

- **Mots-clés:** convolution, intégrale de convolution, traitement du signal, systèmes lti, réponse impulsionnelle, règle de simpson, intégration numérique, produit de laplace, convolution gaussienne, calcul

## Présentation

Ce calculateur d'intégrale de convolution évalue numériquement le produit de convolution (f*g)(t) = ∫ f(τ)g(t−τ)dτ à l'aide de la règle de Simpson composée. Il prend en charge les signaux causaux pour l'analyse des systèmes LTI et des transformées de Laplace, ainsi que le mode fenêtre directe pour les signaux bilatéraux continus tels que les fonctions gaussiennes.

## Entrées

- **Expression de f(τ) (variable x)** (text): First signal, written in the variable x. Supports + - * / ^, parentheses, and functions like exp, sin, cos, sqrt, ln.
- **Expression de g(τ) (variable x)** (text): Second signal, written in the variable x (it is evaluated at t − τ inside the integral).
- **Mode** (select)
- **Début de fenêtre τmin** (number): Lower integration bound.
- **Fin de fenêtre τmax** (number): Upper integration bound.
- **Valeurs t en sortie (séparées par des virgules)** (text): 1–8 evaluation points t at which (f*g)(t) is reported.
- **Intervalles de Simpson** (number): Number of Simpson subintervals per integral (even, 100–20000).
- **Décimales** (number)

## Quand l'utiliser

- Déterminer la réponse temporelle d'un système linéaire invariant (LTI) à partir de sa réponse impulsionnelle.
- Vérifier numériquement le résultat analytique d'un produit de convolution ou d'un produit de Laplace.
- Calculer la superposition et le lissage de signaux bilatéraux non nuls pour t < 0, comme les gaussiennes.

## Fonctionnement

- Saisissez les expressions mathématiques de f(x) et g(x) en utilisant la variable x et les fonctions supportées (exp, sin, cos, sqrt, ln).
- Choisissez le mode causal (signaux nuls pour t < 0) ou fenêtre directe (intégration sur l'intervalle complet \[τmin, τmax\]).
- Renseignez les valeurs de sortie t cibles ainsi que le nombre d'intervalles de Simpson pour lancer l'intégration numérique.

## Cas d'usage

- Calcul de la réponse indicielle ou impulsionnelle de circuits électroniques modélisés par des exponentielles.
- Évaluation du produit de convolution de deux distributions gaussiennes en statistique et traitement d'image.
- Validation numérique d'exercices universitaires de traitement du signal et de calcul intégral.

## Questions fréquentes

### Quelle variable utiliser pour définir les fonctions f et g ?

Utilisez la variable x dans les champs d'expression ; l'outil substitue automatiquement x par τ et t − τ lors du calcul de l'intégrale.

### Quelle est la différence entre le mode causal et le mode fenêtre directe ?

Le mode causal restreint l'intégration à l'intervalle [max(τmin, 0), min(τmax, t)], tandis que le mode fenêtre directe intègre sur l'ensemble de [τmin, τmax].

### Combien de points temporels t peut-on évaluer à la fois ?

Vous pouvez saisir entre 1 et 8 valeurs de t distinctes, séparées par des virgules.

### Comment augmenter la précision du calcul numérique ?

Augmentez le nombre d'intervalles de Simpson (jusqu'à 20 000) et ajustez le nombre de décimales affichées.

### Quelles fonctions mathématiques sont reconnues par le parseur ?

Le calculateur accepte les opérateurs usuels (+, -, *, /, ^) et les fonctions exp, sin, cos, sqrt et ln.

## Outils associés

- [Solveur numérique par méthode d'Euler (EDO premier ordre)](https://elysiatools.com/fr/tools/euler-method-solver): Résout le problème de Cauchy dy/dx = f(x,y), y(x₀)=y₀ par la méthode d'Euler explicite : y_{n+1} = y_n + h·f(x_n, y_n), avec tableau des itérations et estimation finale. La solution exacte y(x), optionnelle, ajoute une colonne d'erreur qui illustre l'erreur globale en O(h) de la méthode d'ordre 1. Exemple : dy/dx = y, y(0)=1, h=0,1 → y(1) ≈ 1,1¹⁰ = 2,593742 contre e = 2,718282 (erreur 0,124539).
- [Calculateur de dérivation numérique (différences avant/arrière/centrée)](https://elysiatools.com/fr/tools/numerical-differentiation): Approche f′(x₀) par trois différences finies : avant (f(x₀+h)−f(x₀))/h, arrière (f(x₀)−f(x₀−h))/h et centrée (f(x₀+h)−f(x₀−h))/(2h), plus la dérivée seconde centrée. La dérivée exacte, optionnelle, ajoute l'erreur absolue de chaque méthode et illustre le contraste O(h) contre O(h²). Exemple : f=x², x₀=1, h=0,1 → avant 2,1 ; arrière 1,9 ; centrée exactement 2,0.
- [Calculateur d ecart interquartile](https://elysiatools.com/fr/tools/interquartile-range-calculator): Calcule Q1, Q3, IQR et bornes optionnelles 1.5 x IQR
- [Calculateur de quartiles](https://elysiatools.com/fr/tools/quartile-calculator): Calcule Q1, mediane, Q3, ecart interquartile et bornes optionnelles d anomalies
- [Solveur d'EDO du premier ordre (séparation des variables)](https://elysiatools.com/fr/tools/first-order-ode-solver): Résout dy/dx = g(x)·h(y) par séparation des variables : séparation, intégration terme à terme pour obtenir H(y) = G(x) + C puis, quand c'est possible, y = f(x). Accepte les h(y) à un terme (y, y^n, e^(ky), ky+m) et les polynômes du second degré décomposables en fractions simples (comme le logistique y(1−y)) ; avec la condition initiale y(x₀)=y₀, calcule C et détecte les solutions d'équilibre. Exemple : dy/dx = 2x·y → y = e^(x²+C).
- [Constructeur de Simulation Monte Carlo](https://elysiatools.com/fr/tools/monte-carlo-simulation-builder): Définissez des distributions d'entrée (normale/uniforme/lognormale/triangulaire), écrivez une formule, lancez des milliers d'essais et obtenez l'histogramme avec intervalles de confiance.
- [Calculateur de racines par Newton-Raphson](https://elysiatools.com/fr/tools/newton-raphson-root-finder): Résout f(x) = 0 par l'itération de Newton-Raphson x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f'(x_k) : la dérivée peut être fournie analytiquement (sinon une différence centrale numérique est utilisée) ; sont affichés la table des itérations (x_k et f(x_k)), le critère d'arrêt (|f| < tolérance ou |Δx| < tolérance·max(1,|x|)), le nombre d'itérations et le |f(racine)| final. Classiques : x²−2 depuis x₀=1 converge en 4 itérations vers √2 ≈ 1.4142135624 ; cos(x)−x converge vers le nombre de Dottie 0.7390851332. Dérivée nulle, pas divergents ou dépassement du nombre d'itérations sont signalés explicitement.
- [Intégrateur par règle de Simpson (∫f(x)dx)](https://elysiatools.com/fr/tools/numerical-integration-simpson): Calcule ∫ₐᵇ f(x)dx par la règle de Simpson 1/3 composée (n pair) : S = h/3·(f(a) + 4Σnœuds impairs + 2Σnœuds pairs intérieurs + f(b)), erreur en O(h⁴), exacte pour les polynômes de degré ≤ 3. Tableau des nœuds, estimation et comparaison facultative avec la valeur exacte. Exemples : ∫₀¹x²dx avec n=4 donne 0,333333 (exacte !) ; ∫₀¹e^(−x²)dx (sans primitive élémentaire) avec n=10 donne 0,746825.

## Exemples

- [Exemples de Traitement d'Images Android Java](https://elysiatools.com/fr/samples/android-image-processing-java): Exemples de traitement d'images Android Java incluant lecture/écriture, mise à l'échelle et conversion de format
- [Exemples de Traitement d'Images Android Kotlin](https://elysiatools.com/fr/samples/android-image-processing-kotlin): Exemples de traitement d'images Android Kotlin incluant lecture/écriture, mise à l'échelle et conversion de format
- [Exemples de Traitement d'Images Web Python](https://elysiatools.com/fr/samples/web-image-processing-python): Exemples de traitement d'images Web Python utilisant PIL/Pillow incluant la lecture, l'enregistrement, le redimensionnement et la conversion de format
- [Exemples de Traitement d'Images Web Rust](https://elysiatools.com/fr/samples/web-image-processing-rust): Exemples de traitement d'images Web Rust incluant lecture/écriture, redimensionnement et conversion de format