# Calculateur de la fonction de Carmichael λ(n)

Calcule la fonction de Carmichael λ(n) — l'exposant du groupe multiplicatif (Z/nZ)*, c'est-à-dire le plus petit k tel que a^k ≡ 1 (mod n) pour tout a premier avec n. Construite depuis la factorisation (λ(2)=1, λ(4)=2, λ(2^k)=2^(k−2) pour k ≥ 3, λ(p^k)=φ(p^k) pour les puissances impaires, puis PPCM), avec φ(n) en regard, l'existence d'une racine primitive et le critère de Korselt pour repérer les nombres de Carmichael. Classiques : λ(561) = 80 (561 est le plus petit nombre de Carmichael) et λ(8) = 2 < φ(8) = 4.

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- **Catégorie:** Math & Numbers

- **Mots-clés:** fonction de carmichael, exposant du groupe, groupe multiplicatif, nombre de carmichael, critère de korselt, racine primitive, théorie des nombres

## Présentation

Ce calculateur détermine la fonction de Carmichael λ(n), représentant l'exposant minimal du groupe multiplicatif (Z/nZ)* tel que a^λ(n) ≡ 1 (mod n) pour tout entier a premier avec n. L'outil détaille la décomposition en facteurs premiers, compare la valeur obtenue avec l'indicatrice d'Euler φ(n), vérifie l'existence d'une racine primitive et applique le critère de Korselt pour identifier les nombres de Carmichael jusqu'à 10¹².

## Entrées

- **Nombre n** (text): Positive integer, 1 ≤ n ≤ 10¹² (trial-division factorization bound).
- **Niveau de détail** (select)

## Quand l'utiliser

- Analyser la structure d'un groupe multiplicatif modulo n et calculer son exposant minimal.
- Déterminer la période d'exponentiation modulaire pour optimiser des clés en cryptographie asymétrique (comme RSA).
- Tester si un entier composé est un nombre de Carmichael via le critère de divisibilité de Korselt.

## Fonctionnement

- Saisissez un entier positif n compris entre 1 et 10¹² et choisissez le niveau de détail souhaité.
- L'algorithme décompose n en puissances de facteurs premiers et calcule λ(p^k) pour chaque composante (en appliquant la règle 2^(k−2) pour 2^k avec k ≥ 3).
- Le calculateur prend le PPCM de ces résultats pour obtenir λ(n), compare cette valeur à φ(n) et vérifie si λ(n) divise n − 1 dans le cas d'un nombre composé.

## Cas d'usage

- Cryptographie : calibrer la clé privée d'un chiffrement RSA en utilisant λ(n) = PPCM(p−1, q−1) au lieu de φ(n).
- Enseignement : illustrer l'absence de racines primitives sur les anneaux Z/nZ et l'ordre des éléments modulo une puissance de deux.
- Recherche mathématique : tester rapidement des candidats pseudos-premiers absolus via la divisibilité de n − 1 par λ(n).

## Questions fréquentes

### Quelle est la différence entre la fonction de Carmichael λ(n) et l'indicatrice d'Euler φ(n) ?

φ(n) mesure le cardinal total du groupe des inversibles mod n, tandis que λ(n) est le plus petit exposant commun vérifiant a^λ(n) ≡ 1 (mod n) pour tout élément inversible.

### Comment λ(n) est-elle calculée pour les puissances de 2 ?

λ(2) vaut 1, λ(4) vaut 2, et pour tout k ≥ 3, λ(2^k) est égal à 2^(k−2), ce qui est strictement inférieur à φ(2^k) = 2^(k−1).

### Comment savoir si n admet une racine primitive ?

Un entier n possède une racine primitive si et seulement si λ(n) = φ(n), ce qui correspond aux cas n = 1, 2, 4, p^k ou 2p^k (avec p premier impair).

### Qu'est-ce qu'un nombre de Carmichael dans ce contexte ?

C'est un entier composé sans facteur carré tel que pour chaque diviseur premier p, (p − 1) divise (n − 1), ce qui équivaut à la condition λ(n) | (n − 1).

### Quelle est la borne maximale acceptée pour n ?

L'outil accepte les entiers positifs n compris entre 1 et 10¹² pour une factorisation instantanée par divisions successives.

## Outils associés

- [Théorème des restes chinois (système de congruences)](https://elysiatools.com/fr/tools/chinese-remainder-theorem): Résout le système x ≡ rᵢ (mod mᵢ) (2 à 20 congruences) par le théorème des restes chinois généralisé avec fusion par paires : modules premiers entre eux → module combiné égal au produit ; non premiers entre eux mais compatibles → PPCM ; système incompatible → absence de solution signalée clairement. Chaque congruence est vérifiée contre la solution finale. Classique : x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), x ≡ 2 (mod 7) → x = 23 (mod 105).
- [Générateur de permutations / combinaisons / sous-ensembles (avec répétitions)](https://elysiatools.com/fr/tools/combinatorial-generation): Génère permutations, combinaisons et sous-ensembles d'un multiensemble avec dédoublonnage automatique en ordre lexicographique : les permutations suivent next_permutation avec comptage exact n!/Π(mᵢ!) ; les combinaisons donnent les k-sous-multiensembles distincts, comptés comme coefficient de x^k dans Π(1+x+…+x^mᵢ) (C(n,k) si tous les éléments sont distincts) ; les sous-ensembles énumèrent chaque sous-multiensemble avec comptage Π(mᵢ+1) (2ⁿ si tous distincts), ensemble vide inclus. Jusqu'à 12 éléments, affichage plafonné à 200 entrées mais comptage toujours exact ; le mode combinaisons exige 1 ≤ k ≤ n. Classiques : permutations de \[A, A, B\] → 3!/2! = 3 (AAB, ABA, BAA) ; sous-ensembles de \[A, A, B\] → (2+1)(1+1) = 6.
- [Calculateur de l'indicatrice d'Euler φ(n)](https://elysiatools.com/fr/tools/euler-totient-function): Calcule l'indicatrice d'Euler φ(n) — le nombre d'entiers de \[1, n\] premiers avec n. Factorise n par divisions d'essai puis évalue exactement φ(n) = n · Π(1 − 1/p) (n ≤ 10¹²), avec option pour lister les 60 premiers nombres premiers avec n et le rappel du théorème d'Euler a^φ(n) ≡ 1 (mod n). Classiques : φ(36) = 12 (36 = 2² × 3²) ; si n est premier, φ(n) = n − 1, p. ex. φ(97) = 96.
- [Convertisseur Fraction Décimal](https://elysiatools.com/fr/tools/fraction-decimal-converter): Convertir entre fractions et décimales avec support pour les nombres mixtes, fractions impropres et divers formats décimaux
- [Solveur de jeux à somme nulle (point selle / programmation linéaire)](https://elysiatools.com/fr/tools/game-theory-zero-sum): Résout les jeux à somme nulle 2–6 × 2–6 (la matrice appartient au joueur ligne, le maximisateur ; le joueur colonne paie) : d'abord le test de point selle (si le maximin des minima de lignes égale le minimax des maxima de colonnes, l'équilibre en stratégies pures existe et toutes les cellules selles sont listées) ; sinon la matrice est décalée pour que chaque entrée soit ≥ 1 et un simplexe monophasique (base d'écarts, règle de Bland) résout max Σz s.t. Bz ≤ 1 : le primal donne la stratégie mixte q du colonne et les prix duaux d'ombre sont exactement la solution y du joueur ligne ; la valeur est décalée en retour et x, q, v sont vérifiés numériquement (xᵀA ≥ v, Aq ≤ v) ainsi que l'égalité minimax. Classique : pile ou face \[\[1,-1\],\[-1,1\]\] → valeur 0 avec mélanges 0.5/0.5.
- [Calculateur de transformée de Laplace inverse (fractions partielles)](https://elysiatools.com/fr/tools/inverse-laplace-calculator): Calcule la transformée de Laplace inverse de F(s) = N(s)/D(s) (fraction propre, dénominateur de degré ≤ 6) : racines du dénominateur regroupées par multiplicité et paires conjuguées, décomposition en fractions partielles par résolution d'un système linéaire sur les coefficients polynomiaux, puis inversion terme à terme avec les paires standard (A/(s−r)→Ae^(rt), A/(s−r)^j→At^(j−1)e^(rt)/(j−1)!, (Bs+C)/((s−α)²+β²)→e^(αt)\[Bcos(βt)+…sin(βt)\]). Classiques : 1/(s²+3s+2) → e^(−t)−e^(−2t) ; (3s+5)/(s²+4) → 3cos(2t)+2,5sin(2t).
- [Calculateur de transformée de Laplace (table des paires)](https://elysiatools.com/fr/tools/laplace-transform-calculator): Obtient par table la transformée de Laplace F(s) = ∫₀^∞ e^(−st)f(t)dt : 14 paires standard (1, t, tⁿ, e^(at), tⁿe^(at), sin/cos(kt) et leurs décalages exponentiels, sinh/cosh, t·sin/t·cos, δ(t)), avec substitution des paramètres, région de convergence (p. ex. s > a), note de dérivation et évaluation numérique facultative en un point s (avec contrôle de convergence). Exemple : L{e^t} = 1/(s−1), s>1, F(2) = 1.
- [Ordre multiplicatif modulo n (ordre d'un élément)](https://elysiatools.com/fr/tools/order-of-element-mod-n): Calcule l'ordre multiplicatif ord\_n(a) — le plus petit k ≥ 1 tel que a^k ≡ 1 (mod n) (exige gcd(a, n) = 1). L'algorithme part de φ(n) et retire les facteurs premiers en testant a^(ord/p) ; la sortie comprend la table des puissances de a, la preuve de minimalité (a^(k/p) ≢ 1 pour chaque premier p | k), le sous-groupe cyclique engendré , et signale si a est une racine primitive (ord = φ(n)) ou atteint l'ordre maximal (ord = λ(n)). Classiques : ord\_7(3) = 6 = φ(7), 3 est une racine primitive modulo 7 ; ord\_15(2) = 4 < φ(15) = 8.

## Exemples

- [Exemples de Traitement d'Images Web Python](https://elysiatools.com/fr/samples/web-image-processing-python): Exemples de traitement d'images Web Python utilisant PIL/Pillow incluant la lecture, l'enregistrement, le redimensionnement et la conversion de format
- [Exemples de Traitement d'Images Android Java](https://elysiatools.com/fr/samples/android-image-processing-java): Exemples de traitement d'images Android Java incluant lecture/écriture, mise à l'échelle et conversion de format
- [Exemples de Traitement d'Images Android Kotlin](https://elysiatools.com/fr/samples/android-image-processing-kotlin): Exemples de traitement d'images Android Kotlin incluant lecture/écriture, mise à l'échelle et conversion de format
- [Exemples de Traitement d'Images Web Rust](https://elysiatools.com/fr/samples/web-image-processing-rust): Exemples de traitement d'images Web Rust incluant lecture/écriture, redimensionnement et conversion de format