# Criba de Eratóstenes (generador de primos)

Genera todos los primos hasta n (≤ 10⁷) con el criba de Eratóstenes, opcionalmente limitados al rango [m, n]. La salida explica la mecánica: primos base (p² ≤ n), número de operaciones de tachado y comuestos reales, con lista de hasta 200 primos pero conteos exactos. Clásico: con n = 100, los primos base 2, 3, 5, 7 tachan 74 compuestos y dejan 25 primos; π(1000) = 168.

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- **Categoría:** Math & Numbers

- **Palabras clave:** criba de eratóstenes, números primos, lista de primos, generador de primos, conteo de primos, compuestos, teoría de números

## Descripción general

La herramienta Criba de Eratóstenes permite generar y contabilizar números primos hasta un límite superior n (≤ 10⁷) o dentro de un intervalo cerrado [m, n]. Ofrece un desglose detallado del proceso algorítmico clásico, identificando los primos base requeridos, las operaciones de tachado de múltiplos y el recuento exacto de primos resultantes.

## Entradas

- **Límite superior n** (text): Sieve bound, 2 ≤ n ≤ 10⁷ (byte-sieve limit).
- **Límite inferior m (opcional)** (text): Only list primes ≥ m; leave empty to enumerate from 2.

## Cuándo usarlo

- Necesitas enumerar todos los números primos hasta un número n específico (hasta 10.000.000).
- Deseas aislar y consultar únicamente los primos contenidos en un intervalo numérico \[m, n\].
- Buscas analizar la eficiencia y mecánica de la Criba de Eratóstenes mediante los primos base (p² ≤ n) y operaciones de tachado.

## Cómo funciona

- Ingresa el límite superior n deseado (2 ≤ n ≤ 10⁷) y, de forma opcional, el límite inferior m para restringir la lista.
- El algoritmo identifica los primos base que cumplen p² ≤ n y elimina iterativamente sus múltiplos compuestos.
- Se calculan los totales de operaciones de tachado y el valor exacto de la función de conteo de primos π(n).
- El resultado presenta el resumen analítico, el mayor primo encontrado y la lista de primos supervivientes (con visualización de hasta 200 elementos).

## Casos de uso

- Generación de listas de números primos para ejercicios de matemáticas y teoría de números.
- Análisis didáctico del número de operaciones de marcado necesarias para cribar conjuntos de enteros.
- Verificación rápida de primalidad y conteo de primos en intervalos numéricos específicos para programación y criptografía básica.

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es el valor máximo permitido para el límite superior n?

El límite superior n admite valores enteros desde 2 hasta 10⁷ (10.000.000).

### ¿Cómo funciona el límite inferior opcional m?

Permite listar exclusivamente los primos mayores o iguales a m, calculando la criba completa hasta n pero filtrando la visualización al intervalo [m, n].

### ¿La herramienta muestra todos los primos generados?

La lista de salida visualiza hasta 200 primos representativos, mientras que los conteos totales π(n) y el mayor primo siempre son exactos.

### ¿Qué son los primos base mostrados en la salida?

Son los primos cuyos cuadrados no superan a n (p² ≤ n), los cuales bastan para tachar todos los números compuestos del rango.

### ¿Qué indica el valor π(n)?

Representa la función de conteo de números primos, es decir, la cantidad exacta de primos menores o iguales a n.

## Herramientas relacionadas

- [Generador de permutaciones / combinaciones / subconjuntos (con repeticiones)](https://elysiatools.com/es/tools/combinatorial-generation): Genera permutaciones, combinaciones y subconjuntos de un multiconjunto, deduplicando y ordenando lexicográficamente: las permutaciones usan next_permutation con conteo exacto n!/Π(mᵢ!); las combinaciones generan las k-submultisecciones distintas, contadas como el coeficiente de x^k en Π(1+x+…+x^mᵢ) (C(n,k) si todos los elementos son distintos); los subconjuntos enumeran cada submultisección con conteo Π(mᵢ+1) (2ⁿ si todos distintos), incluido el vacío. Hasta 12 elementos, la muestra se limita a 200 entradas pero el conteo siempre es exacto; el modo combinaciones exige 1 ≤ k ≤ n. Clásicos: permutaciones de \[A, A, B\] → 3!/2! = 3 (AAB, ABA, BAA); subconjuntos de \[A, A, B\] → (2+1)(1+1) = 6.
- [Calculadora de Corriente de Cortocircuito (IEC 60909)](https://elysiatools.com/es/tools/short-circuit-current-calculator): Estima la corriente de cortocircuito trifásico simétrico (IEC 60909, falta lejana): I"_k = c·U_n/(√3·|Z|), i_p = κ·√2·I"_k. La impedancia suma transformador y línea; κ = 1,02 + 0,98·e^(−3R/X).
- [Calculadora de la función de Carmichael λ(n)](https://elysiatools.com/es/tools/carmichael-function): Calcula la función de Carmichael λ(n) — el exponente del grupo multiplicativo (Z/nZ)*, es decir, el menor k con a^k ≡ 1 (mod n) para todo a coprimo con n. Se obtiene desde la factorización prima con λ(2)=1, λ(4)=2, λ(2^k)=2^(k−2) (k ≥ 3), λ(p^k)=φ(p^k) en potencias impares y lcm entre componentes, junto con φ(n), la existencia de raíz primitiva y el criterio de Korselt para detectar números de Carmichael. Clásicos: λ(561) = 80 (561 es el menor número de Carmichael) y λ(8) = 2 < φ(8) = 4.
- [Teorema chino del resto (sistema de congruencias)](https://elysiatools.com/es/tools/chinese-remainder-theorem): Resuelve el sistema x ≡ rᵢ (mod mᵢ) (2–20 ecuaciones) mediante el teorema chino del resto generalizado con fusión por pares: con módulos coprimos el módulo combinado es el producto; si no son coprimos pero el sistema es compatible, es el mínimo común múltiple; si es incompatible, se informa claramente de que no hay solución. Cada congruencia se verifica contra la solución final. Clásico: x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), x ≡ 2 (mod 7) → x = 23 (mod 105).
- [Calculadora de la función φ de Euler](https://elysiatools.com/es/tools/euler-totient-function): Calcula la función φ de Euler — cuántos enteros en \[1, n\] son coprimos con n. Factoriza n por división de prueba y evalúa exactamente φ(n) = n · Π(1 − 1/p) (n ≤ 10¹²), con opción de listar los primeros 60 coprimos y el recordatorio del teorema de Euler a^φ(n) ≡ 1 (mod n). Clásicos: φ(36) = 12 (36 = 2² × 3²); si n es primo, φ(n) = n − 1, p. ej. φ(97) = 96.
- [Convertidor de Fracciones Decimales](https://elysiatools.com/es/tools/fraction-decimal-converter): Convierte entre fracciones y decimales con soporte para números mixtos, fracciones impropias y varios formatos decimales
- [Solucionador de juegos de suma cero (punto de silla / programación lineal)](https://elysiatools.com/es/tools/game-theory-zero-sum): Resuelve juegos de suma cero de 2–6 × 2–6 (la matriz de pagos es del jugador fila, el maximizador; el jugador columna paga): primero la prueba de punto de silla (si el máximín de los mínimos de fila iguala el mínimax de los máximos de columna hay equilibrio en estrategias puras y se listan las celdas de silla); si no, se desplaza la matriz para que todas las entradas sean ≥ 1 y se resuelve max Σz s.t. Bz ≤ 1 con un simplex de una fase (base de holguras, regla de Bland): el primal da la estrategia mixta q del columnista y los precios sombra duales son exactamente la solución y del jugador fila; el valor se desplaza de vuelta y se reportan x, q y v, verificando numéricamente ambas garantías (xᵀA ≥ v, Aq ≤ v) y la igualdad minimax. Clásico: piedra-papel… pares \[\[1,-1\],\[-1,1\]\] → valor 0 con mezclas 0.5/0.5.
- [Calculadora de transformada inversa de Laplace (fracciones parciales)](https://elysiatools.com/es/tools/inverse-laplace-calculator): Calcula la transformada inversa de Laplace de F(s) = N(s)/D(s) (fracción propia, denominador de grado ≤ 6): obtiene las raíces del denominador agrupadas por multiplicidad y pares conjugados, resuelve el sistema lineal de coeficientes para la descomposición en fracciones parciales y aplica las parejas estándar término a término (A/(s−r)→Ae^(rt), A/(s−r)^j→At^(j−1)e^(rt)/(j−1)!, (Bs+C)/((s−α)²+β²)→e^(αt)\[Bcos(βt)+…sin(βt)\]). Clásicos: 1/(s²+3s+2) → e^(−t)−e^(−2t); (3s+5)/(s²+4) → 3cos(2t)+2,5sin(2t).

## Ejemplos

- [Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Web Python](https://elysiatools.com/es/samples/web-image-processing-python): Ejemplos de procesamiento de imágenes Web Python usando PIL/Pillow incluyendo lectura, guardado, redimensionamiento y conversión de formato
- [Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Android Java](https://elysiatools.com/es/samples/android-image-processing-java): Ejemplos de procesamiento de imágenes Android Java incluyendo lectura/escritura, escalado y conversión de formato
- [Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Android Kotlin](https://elysiatools.com/es/samples/android-image-processing-kotlin): Ejemplos de procesamiento de imágenes Android Kotlin incluyendo lectura/escritura, escalado y conversión de formato
- [Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Web Rust](https://elysiatools.com/es/samples/web-image-processing-rust): Ejemplos de procesamiento de imágenes Web Rust incluyendo lectura/escritura, escalado y conversión de formato