# Solver de EDO lineal de segundo orden (ecuación característica)

Resuelve a·y'' + b·y' + c·y = f(x): resuelve la ecuación característica ar² + br + c = 0, clasifica la solución homogénea por el discriminante (raíces reales distintas / doble / complejas conjugadas) y obtiene la solución particular por coeficientes indeterminados con resonancia (si k es raíz, la prueba se multiplica por x^m). Admite constantes, polinomios, A·e^(kx) y A·sin(kx)+B·cos(kx); con y(x₀) e y'(x₀) un sistema 2×2 fija C1 y C2. Ejemplo clásico: y''−3y'+2y=0, y(0)=1, y'(0)=0 → y = −e^(2x)+2e^x.

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- **Categoría:** Math & Numbers

- **Palabras clave:** edo de segundo orden, ecuación característica, coeficientes indeterminados, solución homogénea, resonancia, oscilador amortiguado, problema de valor inicial, ecuaciones diferenciales, cálculo

## Descripción general

Este solucionador de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) lineales de segundo orden con coeficientes constantes resuelve ecuaciones de la forma a·y'' + b·y' + c·y = f(x). La herramienta calcula las raíces de la ecuación característica auxiliar, clasifica la solución homogénea según el discriminante, determina la solución particular mediante el método de coeficientes indeterminados con ajuste por resonancia y halla las constantes C1 y C2 a partir de condiciones iniciales.

## Entradas

- **Coeficiente a (y'')** (number): Coefficient of y'' (must be nonzero).
- **Coeficiente b (y')** (number): Coefficient of y'.
- **Coeficiente c (y)** (number): Coefficient of y.
- **Término f(x)** (select)
- **F (término constante)** (number): Used when forcing = Constant.
- **Coeficientes del polinomio (constante primero)** (text): Comma-separated coefficients, constant term first (degree ≤ 5). Used when forcing = Polynomial.
- **A (amplitud)** (number): Used when forcing = Exponential.
- **k (tasa)** (number): Used when forcing = Exponential.
- **A (amplitud del seno)** (number): Used when forcing = Sine/cosine.
- **B (amplitud del coseno)** (number): Used when forcing = Sine/cosine.
- **k (frecuencia angular)** (number): Used when forcing = Sine/cosine.
- **x₀ (x inicial)** (number): Initial point (used with y₀ and y'₀).
- **y₀ = y(x₀)** (number): Provide together with y'₀ to pin down C1, C2.
- **y'₀ = y'(x₀)** (number): Initial derivative (both or neither of y₀, y'₀).

## Cuándo usarlo

- Cuando necesites resolver problemas de valor inicial (PVI) de segundo orden con condiciones dadas para y(x₀) e y'(x₀).
- Al analizar sistemas dinámicos, circuitos RLC o modelos de osciladores armónicos amortiguados y forzados.
- Para verificar soluciones analíticas paso a paso en cursos de cálculo avanzado y ecuaciones diferenciales ordinarias.

## Cómo funciona

- Introduce los coeficientes numéricos a, b y c de la ecuación homogénea asociada a·y'' + b·y' + c·y = 0.
- Selecciona el tipo de término no homogéneo f(x) (constante, polinomio, exponencial o sinusoidal) e ingresa sus parámetros correspondientes.
- Opcionalmente, especifica el punto inicial x₀ junto con los valores de y(x₀) e y'(x₀) para determinar las constantes arbitrarias C1 y C2.
- El algoritmo evalúa el discriminante de la ecuación característica, aplica el método de coeficientes indeterminados con corrección por resonancia si la función excitadora coincide con una raíz característica, y genera la solución general o particular.

## Casos de uso

- Modelado y cálculo de la respuesta transitoria y estacionaria de osciladores mecánicos amortiguados con excitación periódica.
- Resolución de circuitos eléctricos RLC serie o paralelo sometidos a fuentes de tensión continua, exponencial o alterna sinusoidal.
- Comprobación de ejercicios académicos de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes indeterminados y resonancia pura.

## Preguntas frecuentes

### ¿Cómo se clasifican las soluciones de la parte homogénea?

Se calcula el discriminante Δ = b² − 4ac: si Δ > 0 genera dos raíces reales distintas, si Δ = 0 produce una raíz real doble multiplicada por x, y si Δ < 0 genera raíces complejas conjugadas expresadas con funciones trigonométricas sen(βx) y cos(βx).

### ¿Cómo gestiona la herramienta el fenómeno de resonancia?

Si el término forzador f(x) comparte frecuencia o tasa con una raíz de la ecuación característica, la función de prueba se multiplica automáticamente por x o x² para obtener la solución particular correcta.

### ¿Qué tipos de funciones excitadoras f(x) están disponibles?

Permite resolver ecuaciones homogéneas f(x) = 0, términos constantes F, polinomios de grado hasta 5, exponenciales A·e^(kx) y combinaciones sinusoidales A·sen(kx) + B·cos(kx).

### ¿Es obligatorio ingresar condiciones iniciales?

No. Si se omiten y₀ e y'₀, el solucionador entrega la solución general parametrizada en función de las constantes arbitrarias C1 y C2.

### ¿Qué restricción tiene el coeficiente a?

El coeficiente principal a no puede ser igual a cero, ya que la ecuación debe ser estrictamente de segundo orden.

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