# Solver numérico Runge-Kutta de 4º orden (RK4) Resuelve dy/dx = f(x,y), y(x₀)=y₀ con el Runge-Kutta clásico de cuarto orden: cada paso calcula las cuatro pendientes k1–k4 y actualiza y_{n+1} = y_n + h/6·(k1+2k2+2k3+k4), con error global O(h⁴): al dividir h entre 2 el error se reduce unas 16 veces. Devuelve la tabla por pasos, el detalle de k1–k4 de los primeros pasos y la estimación final; la solución exacta y(x) es opcional y añade columna de error. Ejemplo: dy/dx = y, y(0)=1, h=0,1 → y(1) ≈ 2,718282, casi exactamente e. > Página canónica: https://elysiatools.com/es/tools/runge-kutta-rk4-solver - **Categoría:** Math & Numbers - **Palabras clave:** runge kutta, rk4, runge-kutta de cuarto orden, edo numérica, integración numérica, problema de valor inicial, tamaño de paso, cálculo ## Descripción general El solver numérico Runge-Kutta de 4º orden (RK4) permite resolver problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) de primer orden de la forma dy/dx = f(x, y) con condición inicial y(x₀) = y₀. Al ponderar cuatro pendientes intermedias (k1, k2, k3 y k4) en cada iteración, el método alcanza un orden de convergencia global O(h⁴), produciendo una tabla paso a paso detallada, el desglose de pendientes de las etapas iniciales y la estimación numérica final, con la posibilidad de comparar el resultado contra una solución exacta analítica. ## Entradas - **f(x, y) en dy/dx = f(x, y)** (text): Right-hand side in terms of x and y (functions: sin, cos, exp, ln, sqrt, …). Write products with *, e.g. x*y. - **x₀ (x inicial)** (number): e.g. 0 - **y₀ = y(x₀)** (number): e.g. 1 - **x objetivo** (number): Must be greater than x₀. - **Número de pasos n** (number): h = (target x − x₀)/n. More steps → smaller error, O(h⁴) globally. - **Solución exacta y(x) (opcional)** (text): Exact solution in x, used to add an error column. Leave empty to skip. - **Decimales** (number) ## Cuándo usarlo - Al resolver numéricamente ecuaciones diferenciales ordinarias dy/dx = f(x, y) que no poseen una solución analítica directa o elemental. - Cuando se requiere alta precisión numérica con orden de error O(h⁴) en simulaciones de valor inicial utilizando un menor número de pasos que con el método de Euler. - Para validar ejercicios de métodos numéricos y verificar los valores intermedios de las pendientes k1, k2, k3 y k4 frente a soluciones analíticas conocidas. ## Cómo funciona - Introduce la función f(x, y), los valores de la condición inicial (x₀, y₀), el valor final de x objetivo y el número de pasos n para definir el paso h = (xEnd − x₀) / n. - En cada intervalo, el algoritmo evalúa las cuatro pendientes intermedias: k1 en el extremo inicial, k2 y k3 en el punto medio proyectado, y k4 en el extremo final. - Se actualiza el valor de la variable dependiente mediante la fórmula ponderada y_{n+1} = y_n + (h / 6) · (k1 + 2·k2 + 2·k3 + k4) de forma sucesiva hasta alcanzar el valor objetivo. - Si se ingresa una solución analítica opcional y(x), el solver calcula el valor exacto y agrega una columna con el error absoluto para cada paso del cálculo. ## Casos de uso - Cálculo numérico de modelos de enfriamiento, calentamiento térmico o cinéticas químicas formuladas mediante dy/dx = f(x, y). - Estudio y validación paso a paso de tareas académicas de cálculo numérico analizando las pendientes k1, k2, k3 y k4. - Aproximación de trayectorias y respuestas transitorias en sistemas dinámicos simples modelados por EDOs de primer orden. ## Preguntas frecuentes ### ¿Por qué RK4 es más preciso que el método de Euler? RK4 evalúa cuatro pendientes intermedias por paso logrando un error global O(h⁴), mientras que Euler solo usa una pendiente inicial con error global O(h). ### ¿Cómo se calcula el tamaño de paso h? El tamaño de paso se calcula dividiendo la amplitud del intervalo entre el número de pasos: h = (x objetivo − x₀) / n. ### ¿Cómo se deben escribir las funciones matemáticas en f(x, y)? Utiliza operadores estándar con multiplicación explícita (*) y funciones comunes como sin, cos, exp, ln o sqrt (por ejemplo, -2*x*y o sin(x)*y). ### ¿Es obligatorio proporcionar la solución exacta y(x)? No, es opcional; solo se utiliza para calcular y mostrar la columna de error absoluto respecto a la solución analítica. ### ¿Cuántos pasos como máximo se pueden configurar? El solver permite configurar entre 1 y un máximo de 10 000 pasos de integración numérica. ## Herramientas relacionadas - [Solver de EDO de primer orden (variables separables)](https://elysiatools.com/es/tools/first-order-ode-solver): Resuelve dy/dx = g(x)·h(y) por separación de variables: se separa, se integra término a término para obtener H(y) = G(x) + C y, cuando es posible, se despeja y = f(x). Admite h(y) de un término (y, y^n, e^(ky), ky+m) y polinomios cuadráticos descomponibles por fracciones parciales (como la logística y(1−y)); con la condición inicial y(x₀)=y₀ calcula C y detecta soluciones de equilibrio. Ejemplo: dy/dx = 2x·y → y = e^(x²+C). - [Calculadora de raíces por Newton-Raphson](https://elysiatools.com/es/tools/newton-raphson-root-finder): Resuelve f(x) = 0 con la iteración de Newton-Raphson x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f'(x_k): la derivada puede darse analíticamente (si se deja vacía se usa una diferencia central numérica), y se muestran la tabla de iteraciones (x_k y f(x_k)), el criterio de parada (|f| < tolerancia o |Δx| < tolerancia·max(1,|x|)), el número de iteraciones y el |f(raíz)| final. Clásicos: x²−2 desde x₀=1 converge en 4 pasos a √2 ≈ 1.4142135624; cos(x)−x converge al número de Dottie 0.7390851332. Derivada nula, pasos divergentes o exceder el límite de iteraciones se informan explícitamente. - [Integrador por regla de Simpson (∫f(x)dx)](https://elysiatools.com/es/tools/numerical-integration-simpson): Calcula ∫ₐᵇ f(x)dx con la regla de Simpson 1/3 compuesta (n par): S = h/3·(f(a) + 4Σnodos impares + 2Σnodos pares interiores + f(b)), con error O(h⁴) y exacta para polinomios de grado ≤ 3. Tabla por nodos, estimación y comparación opcional con el valor exacto. Ejemplos: ∫₀¹x²dx con n=4 da 0,333333 (¡exacta!); ∫₀¹e^(−x²)dx (sin primitiva elemental) con n=10 da 0,746825. - [Integrador por regla del trapecio (∫f(x)dx)](https://elysiatools.com/es/tools/numerical-integration-trapezoid): Calcula ∫ₐᵇ f(x)dx con la regla del trapecio compuesta: T = h/2·(f(a) + 2Σf(xᵢ) + f(b)), con tabla por nodos, estimación de la integral y comparación opcional con el valor exacto y el error absoluto; el error es O(h²) (exacta para funciones lineales). Ejemplo: ∫₀¹x²dx con n=4 da 0,34375 frente al exacto 1/3, error 0,010417. - [Analizador de convergencia de series (razón/raíz/integral/comparación)](https://elysiatools.com/es/tools/series-convergence-tester): Analiza la convergencia de la serie Σ aₙ (aₙ como expresión de n): ejecuta en orden el criterio del término (¿aₙ → 0?), el criterio de la razón L = |aₙ₊₁/aₙ|, el criterio de la raíz ρ = |aₙ|^(1/n), la comparación con series p (p = −ln|a(N)|/ln N) y el criterio integral (Simpson numérico + comparación de crecimiento por década); las series alternantes se detectan automáticamente y se clasifican con el criterio de Leibniz, y para las convergentes se estima la suma (suma parcial + cola geométrica o de ley de potencias). Clásicos: Σ1/n² converge (p≈2, suma≈1.6449); Σ1/n diverge (armónica); Σ0.5ⁿ converge; Σcos(πn)/n converge condicionalmente (suma≈−ln2). - [Analizador de Asimetría](https://elysiatools.com/es/tools/skewness-analyzer): Analizar la asimetría de los datos para medir la asimetría de la distribución de probabilidad e identificar patrones de datos - [Calculadora de integral de convolución (numérica)](https://elysiatools.com/es/tools/convolution-integral-calculator): Calcula numéricamente la convolución de dos señales (f*g)(t) = ∫ f(τ)g(t−τ)dτ: modo causal (ambas señales son cero para t<0, integral en \[max(τmin,0), min(τmax,t)\], ideal para productos del dominio de Laplace) y modo de ventana directa (integral en todo \[τmin, τmax\], ideal para señales bilaterales como las gaussianas), mediante la regla compuesta de Simpson (2000 intervalos por defecto). Clásicos: e^(−t)*e^(−2t) = e^(−t)−e^(−2t), 0.2325 en t=1; dos gaussianas se convolucionan en √(π/2)·e^(−t²/2). - [Solver numérico por método de Euler (EDO de primer orden)](https://elysiatools.com/es/tools/euler-method-solver): Resuelve el problema de valor inicial dy/dx = f(x,y), y(x₀)=y₀ con el método de Euler explícito: y_{n+1} = y_n + h·f(x_n, y_n), con tabla por pasos y estimación final. La solución exacta y(x) es opcional y añade una columna de error que muestra el error global O(h) del método de primer orden. Ejemplo: dy/dx = y, y(0)=1, h=0,1 → y(1) ≈ 1,1¹⁰ = 2,593742 frente a e = 2,718282 (error 0,124539). ## Ejemplos - [Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Web Python](https://elysiatools.com/es/samples/web-image-processing-python): Ejemplos de procesamiento de imágenes Web Python usando PIL/Pillow incluyendo lectura, guardado, redimensionamiento y conversión de formato - [Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Android Java](https://elysiatools.com/es/samples/android-image-processing-java): Ejemplos de procesamiento de imágenes Android Java incluyendo lectura/escritura, escalado y conversión de formato - [Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Android Kotlin](https://elysiatools.com/es/samples/android-image-processing-kotlin): Ejemplos de procesamiento de imágenes Android Kotlin incluyendo lectura/escritura, escalado y conversión de formato - [Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Web Rust](https://elysiatools.com/es/samples/web-image-processing-rust): Ejemplos de procesamiento de imágenes Web Rust incluyendo lectura/escritura, escalado y conversión de formato ## Contenido relacionado - [Herramientas de codificacion y conversion de audio](https://elysiatools.com/es/hubs/audio-convert): Compara conversion de formatos de audio, cambios de bitrate, conversion de frecuencia de muestreo, cambio de codec y exportacion en un solo hub. - [Herramientas de conversion de formatos de imagen y exportacion animada](https://elysiatools.com/es/hubs/image-convert): Compara convertidores de imagen para JPG, PNG, GIF, AVIF, WebP, TIFF, ICO, base64 y salidas pensadas para animacion en un solo hub. - [Herramientas de intercambio JSON y traduccion de formatos](https://elysiatools.com/es/hubs/json-convert): Compara herramientas de conversion JSON para CSV, YAML, TOML, GraphQL, XML, Markdown, Excel, BSON, EDN y otros formatos estructurados en un solo hub. - [Herramientas de conversion de espacios de color para web e impresion](https://elysiatools.com/es/hubs/design-convert): Herramientas reunidas para conversion de espacios de color entre web e impresion en un solo hub.