# Calculadora de colas M/M/c multiservidor Calcula las métricas en régimen estacionario de la cola M/M/c (llegadas de Poisson a tasa λ, c servidores exponenciales idénticos de tasa μ, una cola FCFS compartida): reporta el tráfico ofrecido a = λ/μ, la utilización por servidor ρ, la probabilidad de sistema vacío P0, la probabilidad de espera Erlang-C Pw, los esperados Lq, L, W y Wq, con verificación cruzada por la ley de Little y la relación Pw→Lq. Exige λ < cμ (si no, se rechaza por inestable); con c = 1 las fórmulas colapsan en M/M/1. Clásico: λ = 6/h, μ = 3/h, c = 3 → P0 = 0.1111, Pw = 0.4444, Lq = 0.8889, L = 2.8889. > Página canónica: https://elysiatools.com/es/tools/queuing-theory-mmc - **Categoría:** Math & Numbers - **Palabras clave:** teoría de colas, mmc, m/m/c, cola multiservidor, erlang c, probabilidad de espera, ley de little, dotación de call center, llegadas poisson, investigación de operaciones ## Descripción general Esta calculadora evalúa el rendimiento en estado estacionario de un sistema de colas M/M/c con llegadas de Poisson, tiempos de servicio exponenciales y múltiples servidores idénticos en paralelo. Permite obtener con precisión la utilización por servidor, la probabilidad de espera según la fórmula de Erlang-C, las longitudes promedio de cola y los tiempos de permanencia en el sistema. ## Entradas - **Tasa de llegada λ (por unidad de tiempo)** (number): Average arrivals per time unit (Poisson process). Must be below c·μ. - **Tasa de servicio μ (por servidor, por unidad de tiempo)** (number): Average services per time unit for each of the c servers. - **Servidores (c)** (number): Number of parallel identical servers (1–20). c = 1 reproduces the M/M/1 formulas. - **Decimales** (number) ## Cuándo usarlo - Al dimensionar la cantidad óptima de puestos de atención o agentes en centros de soporte para evitar sobrecargas. - Al evaluar el impacto de variaciones en la tasa de llegada de clientes frente a la capacidad instalada de servicio. - Al diseñar sistemas de procesamiento paralelo o cajas de cobro compartidas que requieran cumplir acuerdos de nivel de servicio (SLA). ## Cómo funciona - Se introducen la tasa de llegada de clientes (λ), la tasa de servicio unitaria (μ), el número de servidores paralelos (c) y la precisión decimal deseada. - El sistema valida la condición de estabilidad obligatoria (λ < c·μ) y calcula la carga de tráfico ofrecida a = λ/μ y la utilización por servidor ρ = a/c. - Se calculan la probabilidad de sistema desocupado P0 y la probabilidad de espera de Erlang-C Pw para derivar la longitud de cola Lq y el total en sistema L. - Se aplican las relaciones de la ley de Little para obtener el tiempo promedio de espera en cola Wq y el tiempo total de permanencia W. ## Casos de uso - Planificación de personal en turnos bancarios o ventanillas de trámites con cola única. - Dimensionamiento de instancias de servidores web o trabajadores de colas de mensajería para microservicios. - Estimación de tiempos de espera de pacientes en áreas de triaje o consultorios médicos compartidos. ## Preguntas frecuentes ### ¿Qué ocurre si la tasa de llegada supera la capacidad conjunta de los servidores (λ ≥ c·μ)? El sistema se vuelve inestable, la cola crecería indefinidamente y la calculadora rechaza el cálculo por no existir estado estacionario. ### ¿Cómo se comporta el cálculo si se define un solo servidor (c = 1)? Las fórmulas matemáticas colapsan de manera exacta en el modelo clásico de cola simple M/M/1. ### ¿Qué representa la probabilidad Erlang-C (Pw)? Indica la probabilidad exacta de que un cliente que llega al sistema encuentre todos los servidores ocupados y deba esperar en la cola. ### ¿En qué unidades deben introducirse las tasas de llegada y servicio? Deben ingresarse en la misma base temporal (por ejemplo, clientes por hora o solicitudes por minuto). ### ¿Cómo se relacionan las métricas Lq y Wq mediante la ley de Little? La relación se cumple de forma estricta como Lq = λ · Wq y para el sistema total como L = λ · W. ## Herramientas relacionadas - [Tutor de Análisis Dimensional y Cancelación de Unidades](https://elysiatools.com/es/tools/dimensional-analysis-unit-cancellation-tutor): Descompone conversiones en cancelación factor-label paso a paso: muestra cómo se anulan unidades en numerador/denominador, detecta factores invertidos y da feedback didáctico ante inconsistencias o respuestas incorrectas. - [Generador de permutaciones / combinaciones / subconjuntos (con repeticiones)](https://elysiatools.com/es/tools/combinatorial-generation): Genera permutaciones, combinaciones y subconjuntos de un multiconjunto, deduplicando y ordenando lexicográficamente: las permutaciones usan next_permutation con conteo exacto n!/Π(mᵢ!); las combinaciones generan las k-submultisecciones distintas, contadas como el coeficiente de x^k en Π(1+x+…+x^mᵢ) (C(n,k) si todos los elementos son distintos); los subconjuntos enumeran cada submultisección con conteo Π(mᵢ+1) (2ⁿ si todos distintos), incluido el vacío. Hasta 12 elementos, la muestra se limita a 200 entradas pero el conteo siempre es exacto; el modo combinaciones exige 1 ≤ k ≤ n. Clásicos: permutaciones de \[A, A, B\] → 3!/2! = 3 (AAB, ABA, BAA); subconjuntos de \[A, A, B\] → (2+1)(1+1) = 6. - [Solucionador de juegos de suma cero (punto de silla / programación lineal)](https://elysiatools.com/es/tools/game-theory-zero-sum): Resuelve juegos de suma cero de 2–6 × 2–6 (la matriz de pagos es del jugador fila, el maximizador; el jugador columna paga): primero la prueba de punto de silla (si el máximín de los mínimos de fila iguala el mínimax de los máximos de columna hay equilibrio en estrategias puras y se listan las celdas de silla); si no, se desplaza la matriz para que todas las entradas sean ≥ 1 y se resuelve max Σz s.t. Bz ≤ 1 con un simplex de una fase (base de holguras, regla de Bland): el primal da la estrategia mixta q del columnista y los precios sombra duales son exactamente la solución y del jugador fila; el valor se desplaza de vuelta y se reportan x, q y v, verificando numéricamente ambas garantías (xᵀA ≥ v, Aq ≤ v) y la igualdad minimax. Clásico: piedra-papel… pares \[\[1,-1\],\[-1,1\]\] → valor 0 con mezclas 0.5/0.5. - [Calculadora de transformada inversa de Laplace (fracciones parciales)](https://elysiatools.com/es/tools/inverse-laplace-calculator): Calcula la transformada inversa de Laplace de F(s) = N(s)/D(s) (fracción propia, denominador de grado ≤ 6): obtiene las raíces del denominador agrupadas por multiplicidad y pares conjugados, resuelve el sistema lineal de coeficientes para la descomposición en fracciones parciales y aplica las parejas estándar término a término (A/(s−r)→Ae^(rt), A/(s−r)^j→At^(j−1)e^(rt)/(j−1)!, (Bs+C)/((s−α)²+β²)→e^(αt)\[Bcos(βt)+…sin(βt)\]). Clásicos: 1/(s²+3s+2) → e^(−t)−e^(−2t); (3s+5)/(s²+4) → 3cos(2t)+2,5sin(2t). - [Calculadora de transformada de Laplace (tabla de pares)](https://elysiatools.com/es/tools/laplace-transform-calculator): Obtiene por tabla la transformada de Laplace F(s) = ∫₀^∞ e^(−st)f(t)dt: 14 pares estándar (1, t, tⁿ, e^(at), tⁿe^(at), sin/cos(kt) y sus desplazamientos exponenciales, sinh/cosh, t·sin/t·cos, δ(t)), con sustitución de parámetros, región de convergencia (p. ej. s > a), nota de derivación y evaluación numérica opcional en un punto s (con verificación de convergencia). Ejemplo: L{e^t} = 1/(s−1), s>1, F(2) = 1. - [Calculadora de descomposición en fracciones parciales (funciones racionales)](https://elysiatools.com/es/tools/partial-fraction-decomposer): Descompone en fracciones parciales F(x) = N(x)/D(x) (denominador de grado ≤ 6, numerador ≤ 8; las fracciones impropias se dividen primero por división polinómica): raíces del denominador por Durand-Kerner agrupadas por multiplicidad y pares conjugados, sistema lineal exacto de coeficientes para obtener términos A/(x−r)^j y (Bx+C)/((x−α)²+β²), y verificación numérica del residuo en puntos algebraicos de prueba. Clásicos: (3x+5)/(x²+3x+2) = 2/(x+1) + 1/(x+2); (x³+2x)/(x²+1) = x + x/(x²+1); 1/(x(x+1)²) = 1/x − 1/(x+1) − 1/(x+1)². - [Analizador de redes PERT (duración esperada/varianza)](https://elysiatools.com/es/tools/pert-network-analyzer): Análisis PERT con estimaciones de tres puntos para 2–20 actividades (una por línea: nombre, optimista a, más probable m, pesimista b, predecesoras): te = (a+4m+b)/6, σ² = ((b−a)/6)²; el CPM sobre los te da la ruta crítica, la duración esperada TE del proyecto y la varianza del proyecto (suma de σ² en la ruta crítica); con un tiempo objetivo T se calculan Z = (T−TE)/σ y la probabilidad de finalización Φ(Z) bajo la aproximación normal. Violaciones de a≤m≤b y ciclos se rechazan; redes deterministas (σ≈0) se tratan como tales. Clásico: A(2,4,6), B(3,5,7), C(2,3,10), D(4,6,8, B C) → TE = 15, σ² = 1.3333, P(T=16) ≈ 80.7%. - [Verificador de Números Primos](https://elysiatools.com/es/tools/prime-number-checker): Verifica si un número es primo (un número natural mayor que 1 que no tiene divisores positivos aparte de 1 y sí mismo) ## Ejemplos - [Ejemplos de RocketMQ Message Queue](https://elysiatools.com/es/samples/rocketmq-samples): Ejemplos de Apache RocketMQ incluyendo productores, consumidores, mensajes ordenados, mensajes retrasados, consumo de difusión y mensajes transaccionales para mensajería de alto rendimiento - [Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Web Python](https://elysiatools.com/es/samples/web-image-processing-python): Ejemplos de procesamiento de imágenes Web Python usando PIL/Pillow incluyendo lectura, guardado, redimensionamiento y conversión de formato - [Muestras de Arquitectura Multi-Inquilino](https://elysiatools.com/es/samples/multi-tenant): Patrones completos de arquitectura multi-inquilino cubriendo aislamiento de datos, gestión de inquilinos, cuotas de recursos y soluciones de marca blanca - [Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Android Java](https://elysiatools.com/es/samples/android-image-processing-java): Ejemplos de procesamiento de imágenes Android Java incluyendo lectura/escritura, escalado y conversión de formato ## Contenido relacionado - [Herramientas de codificacion y conversion de audio](https://elysiatools.com/es/hubs/audio-convert): Compara conversion de formatos de audio, cambios de bitrate, conversion de frecuencia de muestreo, cambio de codec y exportacion en un solo hub. - [Herramientas de conversion de formatos de imagen y exportacion animada](https://elysiatools.com/es/hubs/image-convert): Compara convertidores de imagen para JPG, PNG, GIF, AVIF, WebP, TIFF, ICO, base64 y salidas pensadas para animacion en un solo hub. - [Herramientas de intercambio JSON y traduccion de formatos](https://elysiatools.com/es/hubs/json-convert): Compara herramientas de conversion JSON para CSV, YAML, TOML, GraphQL, XML, Markdown, Excel, BSON, EDN y otros formatos estructurados en un solo hub. - [Herramientas de conversion de espacios de color para web e impresion](https://elysiatools.com/es/hubs/design-convert): Herramientas reunidas para conversion de espacios de color entre web e impresion en un solo hub.