# Calculadora de sistemas de colas M/M/1 Calcula las métricas en régimen estacionario de la cola M/M/1: llegadas de Poisson (tasa λ), servicio exponencial (tasa μ), FCFS. Exige λ < μ; si no, el sistema es inestable y se rechaza la entrada. Reporta la utilización ρ, la probabilidad de sistema vacío P0, los esperados L (en sistema), Lq (en cola), los tiempos W y Wq, la probabilidad de esperar ρ y las probabilidades de estado P(n) = (1−ρ)ρⁿ (n = 0…5), con verificación cruzada por la ley de Little L = λW, Lq = λWq. Clásico: λ = 4/h, μ = 6/h → ρ = 0.6667, L = 2, Lq = 1.3333, W = 0.5, Wq = 0.3333. > Página canónica: https://elysiatools.com/es/tools/queuing-theory-mm1 - **Categoría:** Math & Numbers - **Palabras clave:** teoría de colas, mm1, m/m/1, cola, línea de espera, ley de little, utilización, llegadas poisson, servicio exponencial, investigación de operaciones ## Descripción general La calculadora de sistemas de colas M/M/1 evalúa el comportamiento en régimen estacionario de un canal de atención único bajo llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales. Obtén al instante la utilización del servidor, la longitud media de la cola, los tiempos de espera y las probabilidades de estado, verificados automáticamente mediante la ley de Little. ## Entradas - **Tasa de llegada λ (por unidad de tiempo)** (number): Average arrivals per time unit (Poisson process). Must be below the service rate μ. - **Tasa de servicio μ (por unidad de tiempo)** (number): Average services per time unit (exponential distribution). Must exceed the arrival rate λ. - **Decimales** (number) ## Cuándo usarlo - Al dimensionar la capacidad de atención en ventanillas o mostradores atendidos por un único servidor. - Al estimar tiempos de espera y acumulación de solicitudes en sistemas de procesamiento secuencial. - Al resolver problemas de teoría de colas e investigación de operaciones verificando el cumplimiento de la condición de estabilidad. ## Cómo funciona - Ingresa la tasa media de llegada (λ) y la tasa media de servicio (μ) expresadas en la misma unidad temporal. - El sistema valida que λ < μ para garantizar la estabilidad del modelo y evitar colas de crecimiento infinito. - Se calculan métricas clave: utilización (ρ), probabilidad de inactividad (P0), número esperado de elementos (L, Lq) y tiempos de espera (W, Wq). - Se generan las probabilidades de estado P(n) para n = 0…5 y se realiza la comprobación cruzada mediante las fórmulas de Little. ## Casos de uso - Optimización de tiempos de espera en cajas de cobro o taquillas individuales con flujo de clientes aleatorio. - Análisis de rendimiento en colas de trabajos o peticiones procesadas por un servidor de hilo único. - Evaluación de estaciones de inspección o mantenimiento unitario en líneas de producción continua. ## Preguntas frecuentes ### ¿Por qué la tasa de llegada λ debe ser menor que la tasa de servicio μ? Si λ es mayor o igual a μ, el servidor no da abasto, la fila crece indefinidamente y no existe un estado estacionario calculable. ### ¿Qué diferencia existe entre L y Lq? L representa el número medio de clientes en todo el sistema (en cola y en servicio), mientras que Lq incluye únicamente a quienes están esperando. ### ¿Cómo se interpretan los tiempos W y Wq? W es el tiempo total promedio que pasa un usuario en el sistema, mientras que Wq es exclusivamente el tiempo que pasa esperando antes de ser atendido. ### ¿Es obligatorio que λ y μ usen la misma unidad de tiempo? Sí, ambas tasas deben expresarse en la misma escala (por ejemplo, clientes por hora o peticiones por segundo) para obtener resultados correctos. ### ¿Qué representa la probabilidad P0? Indica la fracción de tiempo o probabilidad de que el sistema esté completamente vacío y el servidor desocupado. ## Herramientas relacionadas - [Verificador de números perfectos](https://elysiatools.com/es/tools/perfect-number-checker): Comprueba si n es un número perfecto (igual a la suma de sus divisores propios, σ(n) = 2n). Factoriza n (≤ 10¹²) por división de prueba, calcula σ(n) y la suma de divisores propios con la fórmula por potencias primas, clasifica n como deficiente/perfecto/abundante y da el índice de abundancia σ(n)/n; para los perfectos recupera la forma de Euclides–Euler 2^(p−1)·(2^p − 1) y lista los siete números perfectos pares hasta 10¹². Puede listar los divisores propios cuando son ≤ 200. - [Verificador de Números Primos](https://elysiatools.com/es/tools/prime-number-checker): Verifica si un número es primo (un número natural mayor que 1 que no tiene divisores positivos aparte de 1 y sí mismo) - [Calculadora de colas M/M/c multiservidor](https://elysiatools.com/es/tools/queuing-theory-mmc): Calcula las métricas en régimen estacionario de la cola M/M/c (llegadas de Poisson a tasa λ, c servidores exponenciales idénticos de tasa μ, una cola FCFS compartida): reporta el tráfico ofrecido a = λ/μ, la utilización por servidor ρ, la probabilidad de sistema vacío P0, la probabilidad de espera Erlang-C Pw, los esperados Lq, L, W y Wq, con verificación cruzada por la ley de Little y la relación Pw→Lq. Exige λ < cμ (si no, se rechaza por inestable); con c = 1 las fórmulas colapsan en M/M/1. Clásico: λ = 6/h, μ = 3/h, c = 3 → P0 = 0.1111, Pw = 0.4444, Lq = 0.8889, L = 2.8889. - [Verificador de primalidad por el teorema de Wilson](https://elysiatools.com/es/tools/wilson-theorem-checker): Prueba de primalidad por el teorema de Wilson: (n−1)! ≡ −1 (mód n) si y solo si n es primo. Acumula (n−1)! mod n término a término (n ≤ 10⁷), lo contrasta con un Miller–Rabin determinista y, para n compuesto, comprueba la ley factorial (para n > 4, (n−1)! ≡ 0 (mód n), con n = 4 como única excepción). Puede mostrar la sucesión de productos parciales k! mod n (n ≤ 200). - [Tutor de Análisis Dimensional y Cancelación de Unidades](https://elysiatools.com/es/tools/dimensional-analysis-unit-cancellation-tutor): Descompone conversiones en cancelación factor-label paso a paso: muestra cómo se anulan unidades en numerador/denominador, detecta factores invertidos y da feedback didáctico ante inconsistencias o respuestas incorrectas. - [Calculadora de multiplicacion de matrices](https://elysiatools.com/es/tools/matrix-multiplication-calculator): Multiplica dos matrices y devuelve el producto con validacion de dimensiones y pasos opcionales - [Calculadora de Factor de Fricción de Tubería (Colebrook-White / Haaland / Laminar)](https://elysiatools.com/es/tools/pipe-friction-factor): Calcula el factor de fricción de Darcy: para Re<2000 usa la fórmula laminar f=64/Re; en turbulento resuelve iterativamente la ecuación de Colebrook-White y también entrega la aproximación explícita de Haaland como verificación cruzada. ε en m/mm/µm, D en m/cm/mm; el resultado incluye la rugosidad relativa ε/D, el número de iteraciones y el régimen. - [Calculadora de divisibilidad](https://elysiatools.com/es/tools/divisibility-calculator): Comprueba si un entero es divisible por otro y muestra el cociente, el resto y una pista opcional de divisibilidad ## Ejemplos - [Ejemplos de RocketMQ Message Queue](https://elysiatools.com/es/samples/rocketmq-samples): Ejemplos de Apache RocketMQ incluyendo productores, consumidores, mensajes ordenados, mensajes retrasados, consumo de difusión y mensajes transaccionales para mensajería de alto rendimiento - [Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Android Java](https://elysiatools.com/es/samples/android-image-processing-java): Ejemplos de procesamiento de imágenes Android Java incluyendo lectura/escritura, escalado y conversión de formato - [Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Android Kotlin](https://elysiatools.com/es/samples/android-image-processing-kotlin): Ejemplos de procesamiento de imágenes Android Kotlin incluyendo lectura/escritura, escalado y conversión de formato - [Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Web Python](https://elysiatools.com/es/samples/web-image-processing-python): Ejemplos de procesamiento de imágenes Web Python usando PIL/Pillow incluyendo lectura, guardado, redimensionamiento y conversión de formato