# Comprobador de residuo cuadrático (símbolos de Legendre/Jacobi)

Calcula el símbolo de Jacobi (a/n) (n impar hasta 10¹⁸; Legendre si n es primo): con módulo primo, a^((n−1)/2) ≡ 1 implica residuo cuadrático y Tonelli–Shanks (o la fórmula directa si p ≡ 3 (mod 4)) entrega las raíces ±√a; el símbolo −1 certifica que a NO es residuo. Con módulo compuesto el símbolo solo es condición necesaria: −1 prueba no-residuo y +1 es inconcluso (se resuelve por fuerza bruta cuando n ≤ 10⁵). Clásico: 10 es residuo cuadrático mod 13 con raíces ±6.

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- **Categoría:** Math & Numbers

- **Palabras clave:** residuo cuadrático, símbolo de legendre, símbolo de jacobi, tonelli-shanks, raíz cuadrada modular, criterio de euler, miller-rabin, teoría de números

## Descripción general

Esta herramienta calcula el símbolo de Jacobi o Legendre para determinar si un número es un residuo cuadrático módulo n. Emplea el test determinista de Miller–Rabin para verificar la primalidad de n y, cuando el módulo es primo y existe solución, ejecuta el algoritmo de Tonelli–Shanks para hallar las raíces cuadradas modulares exactas.

## Entradas

- **Valor a** (text): The value being tested for squareness; reduced mod n first (up to 10⁵¹²).
- **Módulo n (impar)** (text): Odd modulus, 3 ≤ n ≤ 10¹⁸ (primality tested with deterministic Miller–Rabin).
- **Cuando n sea primo, resolver x² ≡ a (mod n)** (checkbox): Run Tonelli–Shanks and print the square roots when they exist.

## Cuándo usarlo

- Al resolver congruencias cuadráticas del tipo x² ≡ a (mod n) en módulos primos o compuestos.
- Al implementar o auditar primitivas criptográficas que requieren verificar la existencia de raíces cuadradas modulares.
- Al evaluar símbolos de Jacobi (a/n) para números impares grandes de hasta 10¹⁸ en ejercicios de teoría de números.

## Cómo funciona

- Reduce el valor 'a' módulo 'n' y comprueba la primalidad del módulo impar 'n' mediante Miller–Rabin determinista.
- Calcula el símbolo de Jacobi (a/n) aplicando las propiedades de reciprocidad cuadrática y el criterio de Euler si 'n' es primo.
- Si 'n' es primo y el símbolo es +1, aplica el algoritmo de Tonelli–Shanks (o la fórmula directa si n ≡ 3 mod 4) para calcular las raíces ±x.
- Si 'n' es compuesto con n ≤ 10⁵ y el símbolo es +1, ejecuta una búsqueda por fuerza bruta para confirmar si realmente existen soluciones modulares.

## Casos de uso

- Cálculo de raíces cuadradas en curvas elípticas sobre cuerpos finitos Fp para descompresión de puntos.
- Resolución de ejercicios académicos de congruencias cuadráticas y reciprocidad cuadrática en álgebra abstracta.
- Verificación rápida de no-residuos cuadráticos para generación de parámetros en criptografía de clave pública.

## Preguntas frecuentes

### ¿Qué diferencia hay entre el símbolo de Legendre y el de Jacobi?

El de Legendre se define solo para módulos primos impares, mientras que el de Jacobi extiende la definición a cualquier entero impar compuesto.

### ¿Un símbolo de Jacobi igual a +1 garantiza que 'a' es un residuo cuadrático?

Solo si n es primo. Para módulos compuestos es una condición necesaria pero no suficiente; la herramienta usa fuerza bruta en n ≤ 10⁵ para decidirlo.

### ¿Qué algoritmo se utiliza para hallar las raíces cuadradas modulares?

Utiliza el algoritmo de Tonelli–Shanks, o la fórmula directa x ≡ a^((n+1)/4) mod n cuando el primo cumple n ≡ 3 (mod 4).

### ¿Cuáles son los límites de tamaño para los valores de entrada?

El módulo impar n admite valores entre 3 y 10¹⁸, mientras que el valor a puede tener hasta 10⁵¹² dígitos antes de reducirse módulo n.

### ¿Qué indica un símbolo de Jacobi igual a −1?

Certifica de forma definitiva que 'a' no es un residuo cuadrático módulo n, tanto para módulos primos como compuestos.

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## Ejemplos

- [Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Web Python](https://elysiatools.com/es/samples/web-image-processing-python): Ejemplos de procesamiento de imágenes Web Python usando PIL/Pillow incluyendo lectura, guardado, redimensionamiento y conversión de formato
- [Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Android Java](https://elysiatools.com/es/samples/android-image-processing-java): Ejemplos de procesamiento de imágenes Android Java incluyendo lectura/escritura, escalado y conversión de formato
- [Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Android Kotlin](https://elysiatools.com/es/samples/android-image-processing-kotlin): Ejemplos de procesamiento de imágenes Android Kotlin incluyendo lectura/escritura, escalado y conversión de formato
- [Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Web Rust](https://elysiatools.com/es/samples/web-image-processing-rust): Ejemplos de procesamiento de imágenes Web Rust incluyendo lectura/escritura, escalado y conversión de formato