# Buscador de raíces primitivas módulo n

Busca raíces primitivas módulo n: comprueba si n ∈ {2, 4, p^k, 2p^k} (grupo multiplicativo cíclico), encuentra la raíz primitiva mínima con su certificado g^(φ/q) ≠ 1 para cada primo q | φ(n), cuenta las raíces como φ(φ(n)), lista hasta 50 de ellas o verifica si el orden de un candidato g es φ(n). Hasta 10¹².

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- **Categoría:** Math & Numbers

- **Palabras clave:** raíz primitiva, grupo multiplicativo, grupo cíclico, función φ de euler, teoría de números, logaritmo discreto

## Descripción general

El buscador de raíces primitivas módulo n determina si el grupo multiplicativo de enteros módulo n es cíclico, calcula la raíz primitiva mínima con su certificado algebraico, enumera las raíces existentes y permite comprobar si un valor candidato específico es un generador válido para números de hasta 10¹².

## Entradas

- **Módulo n** (text): 2 ≤ n ≤ 10¹² (trial-division factorization bound).
- **Modo de salida** (select)
- **Candidato g (modo de verificación)** (text): Required when verifying; reduced modulo n automatically.

## Cuándo usarlo

- Al verificar si un módulo n admite raíces primitivas según la forma n ∈ {2, 4, p^k, 2p^k}.
- Al seleccionar generadores para esquemas de criptografía basados en logaritmo discreto como Diffie-Hellman.
- Al comprobar si un entero específico g tiene orden multiplicativo maximal φ(n) o encontrar la lista de generadores del grupo.

## Cómo funciona

- Factoriza el módulo n y comprueba si la estructura de (ℤ/nℤ)× es cíclica calculando la función φ de Euler y la función λ de Carmichael.
- Obtiene los factores primos q de φ(n) y prueba sucesivamente candidatos g coprimos con n mediante la condición g^(φ(n)/q) ≢ 1 (mod n).
- Genera el certificado de primalidad modular del generador hallado, calcula el total de raíces mediante φ(φ(n)) y, según el modo seleccionado, lista hasta 50 raíces o verifica el orden del candidato g.

## Casos de uso

- Cálculo de generadores mínimos para ejercicios teóricos y tareas de teoría de números o álgebra abstracta.
- Selección de parámetros base g y módulos primos p en la implementación de protocolos criptográficos y pruebas de concepto.
- Diagnóstico rápido de fallos en raíces candidatas para identificar el divisor primo q que anula la condición de orden completo.

## Preguntas frecuentes

### ¿Qué módulos n admiten raíces primitivas?

Únicamente los enteros de la forma 2, 4, p^k y 2p^k, donde p es un número primo impar y k ≥ 1.

### ¿Cómo se verifica que g es una raíz primitiva?

Se comprueba que mcd(g, n) = 1 y que g^(φ(n)/q) ≢ 1 (mód n) para cada factor primo q de φ(n).

### ¿Cuántas raíces primitivas existen para un módulo n válido?

Si el grupo multiplicativo es cíclico, existen exactamente φ(φ(n)) raíces primitivas módulo n.

### ¿Cuál es el límite del valor n admitido por la herramienta?

Admite módulos n comprendidos entre 2 y 10¹² mediante algoritmos de factorización y exponenciación modular rápida.

### ¿Qué ocurre si se introduce un módulo no cíclico como n = 15?

La herramienta indica que el grupo no es cíclico, ya que λ(n) < φ(n), y certifica que no existen raíces primitivas para ese módulo.

## Herramientas relacionadas

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- [Calculadora de cifras significativas](https://elysiatools.com/es/tools/sig-fig-calculator): Cuenta las cifras significativas y redondea numeros al numero objetivo de digitos significativos

## Ejemplos

- [Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Web Python](https://elysiatools.com/es/samples/web-image-processing-python): Ejemplos de procesamiento de imágenes Web Python usando PIL/Pillow incluyendo lectura, guardado, redimensionamiento y conversión de formato
- [Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Android Java](https://elysiatools.com/es/samples/android-image-processing-java): Ejemplos de procesamiento de imágenes Android Java incluyendo lectura/escritura, escalado y conversión de formato
- [Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Android Kotlin](https://elysiatools.com/es/samples/android-image-processing-kotlin): Ejemplos de procesamiento de imágenes Android Kotlin incluyendo lectura/escritura, escalado y conversión de formato
- [Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Web Rust](https://elysiatools.com/es/samples/web-image-processing-rust): Ejemplos de procesamiento de imágenes Web Rust incluyendo lectura/escritura, escalado y conversión de formato