# Verificador de números perfectos

Comprueba si n es un número perfecto (igual a la suma de sus divisores propios, σ(n) = 2n). Factoriza n (≤ 10¹²) por división de prueba, calcula σ(n) y la suma de divisores propios con la fórmula por potencias primas, clasifica n como deficiente/perfecto/abundante y da el índice de abundancia σ(n)/n; para los perfectos recupera la forma de Euclides–Euler 2^(p−1)·(2^p − 1) y lista los siete números perfectos pares hasta 10¹². Puede listar los divisores propios cuando son ≤ 200.

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- **Categoría:** Math & Numbers

- **Palabras clave:** número perfecto, suma alícuota, número abundante, número deficiente, índice de abundancia, divisores, primo de mersenne, teoría de números

## Descripción general

El Verificador de números perfectos analiza enteros positivos de hasta 10¹² mediante factorización por división de prueba para determinar si son perfectos, deficientes o abundantes. Calcula la función divisor σ(n), la suma de divisores propios y el índice de abundancia, además de reconstruir la forma de Euclides–Euler para los números perfectos identificados.

## Entradas

- **Número n** (text): 1 ≤ n ≤ 10¹² (trial-division factorization bound).
- **Nivel de detalle** (select)

## Cuándo usarlo

- Comprobar si un número entero positivo es perfecto calculando la suma exacta de sus divisores propios.
- Clasificar números en deficientes, perfectos o abundantes según su índice de abundancia σ(n)/n.
- Obtener la descomposición en factores primos y la representación de Euclides–Euler ligada a primos de Mersenne para valores ≤ 10¹².

## Cómo funciona

- Factoriza el número n en factores primos mediante división de prueba hasta la raíz cuadrada de n.
- Calcula la suma total de divisores σ(n) y la suma alícuota mediante las fórmulas analíticas de potencias de primos.
- Compara la suma de divisores propios con n y calcula el índice de abundancia σ(n)/n para determinar la clasificación.
- Reconstruye la forma de Euclides–Euler 2^(p−1)·(2^p − 1) en números perfectos y, opcionalmente, lista los divisores propios si no superan los 200.

## Casos de uso

- Validación de ejercicios de teoría de números y propiedades de divisibilidad en entornos académicos.
- Demostración pedagógica del teorema de Euclides–Euler y su vínculo con los números primos de Mersenne.
- Evaluación rápida de la clasificación alícuota y el índice de abundancia de enteros grandes en investigación matemática.

## Preguntas frecuentes

### ¿Qué es un número perfecto?

Es un entero positivo que equivale exactamente a la suma de sus divisores propios positivos, cumpliendo la condición σ(n) = 2n.

### ¿Cuál es el límite del valor n admitido por la herramienta?

Admite cualquier número entero positivo en el rango de 1 hasta 10¹² (un billón).

### ¿Cuál es la diferencia entre un número deficiente y uno abundante?

Un número es deficiente si la suma de sus divisores propios es menor que n, y abundante si dicha suma es mayor que n.

### ¿Qué representa la forma de Euclides–Euler?

Es la expresión matemática 2^(p−1)·(2^p − 1) que genera todo número perfecto par a partir de un primo de Mersenne 2^p − 1.

### ¿Cuándo se muestra la lista completa de divisores propios?

Se genera cuando se selecciona dicha opción en el nivel de detalle y la cantidad total de divisores propios es menor o igual a 200.

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