# Calculadora de descomposición en fracciones parciales (funciones racionales) Descompone en fracciones parciales F(x) = N(x)/D(x) (denominador de grado ≤ 6, numerador ≤ 8; las fracciones impropias se dividen primero por división polinómica): raíces del denominador por Durand-Kerner agrupadas por multiplicidad y pares conjugados, sistema lineal exacto de coeficientes para obtener términos A/(x−r)^j y (Bx+C)/((x−α)²+β²), y verificación numérica del residuo en puntos algebraicos de prueba. Clásicos: (3x+5)/(x²+3x+2) = 2/(x+1) + 1/(x+2); (x³+2x)/(x²+1) = x + x/(x²+1); 1/(x(x+1)²) = 1/x − 1/(x+1) − 1/(x+1)². > Página canónica: https://elysiatools.com/es/tools/partial-fraction-decomposer - **Categoría:** Math & Numbers - **Palabras clave:** fracciones parciales, descomposición en fracciones parciales, función racional, división polinómica, raíces complejas, raíces repetidas, pares conjugados, álgebra, cálculo integral ## Descripción general Esta calculadora realiza la descomposición en fracciones parciales de funciones racionales F(x) = N(x)/D(x) de forma automática. Procesa polinomios con denominadores de grado hasta 6 y numeradores de grado hasta 8, aplicando división polinómica para fracciones impropias, calculando raíces reales y complejas conjugadas mediante el método de Durand-Kerner, resolviendo el sistema lineal de coeficientes y verificando el residuo numérico en puntos de prueba. ## Entradas - **Coeficientes del numerador N(x) (constante primero)** (text): Comma-separated numerator coefficients, constant term first, degree ≤ 8, e.g. 5,3 → 3x + 5. - **Coeficientes del denominador D(x) (constante primero)** (text): Comma-separated denominator coefficients, constant term first, degree 1–6, e.g. 2,3,1 → x² + 3x + 2. - **Decimales** (number) ## Cuándo usarlo - Al resolver integrales de funciones racionales complejas que requieren descomponerse en sumas de términos simples o cuadráticos irreducibles. - Al calcular la transformada inversa de Laplace o resolver ecuaciones diferenciales lineales en ingeniería y física. - Al simplificar cocientes polinómicos impropios que necesitan división larga previa y separación de factores lineales o repetidos. ## Cómo funciona - Si el grado del numerador es mayor o igual al del denominador, la herramienta aplica división polinómica para extraer el cociente polinómico Q(x) y el resto R(x). - Calcula las raíces del polinomio denominador D(x) usando el algoritmo de Durand-Kerner y las clasifica en raíces reales simples, repetidas y pares conjugados complejos. - Plantea y resuelve el sistema de ecuaciones algebraicas para hallar los coeficientes constantes de los numeradores parciales A/(x−r)^j y (Bx+C)/((x−α)²+β²). - Realiza una comprobación numérica evaluando la función original frente a la forma descompuesta en puntos algebraicos de prueba para confirmar la precisión del residuo. ## Casos de uso - Integración simbólica de funciones racionales en cursos de cálculo integral avanzado. - Cálculo de funciones de transferencia y expansión en fracciones simples para sistemas de control y circuitos RLC. - Comprobación paso a paso de ejercicios de álgebra sobre factorización de polinomios y sistemas lineales asociados. ## Preguntas frecuentes ### ¿En qué orden se deben introducir los coeficientes de los polinomios? Se deben ingresar separados por comas comenzando siempre por el término independiente (constante), por ejemplo '5,3' para el polinomio 3x + 5. ### ¿Qué límites de grado soportan el numerador y el denominador? Admite numeradores con grado menor o igual a 8 y denominadores con grado comprendido entre 1 y 6. ### ¿Cómo maneja la herramienta las fracciones impropias? Efectúa automáticamente una división polinómica previa, mostrando el cociente entero y descomponiendo únicamente la fracción propia resultante del resto. ### ¿Cómo se representan los factores cuadráticos con raíces complejas? Se agrupan en pares conjugados para generar términos cuadráticos reales irreducibles de la forma (Bx + C)/((x − α)² + β²). ### ¿Qué indica la verificación de residuo al final del cálculo? Muestra la diferencia numérica entre la expresión original y la descompuesta en puntos de prueba para garantizar la validez matemática del resultado. ## Herramientas relacionadas - [Convertidor de Fracciones Decimales](https://elysiatools.com/es/tools/fraction-decimal-converter): Convierte entre fracciones y decimales con soporte para números mixtos, fracciones impropias y varios formatos decimales - [Calculadora de transformada inversa de Laplace (fracciones parciales)](https://elysiatools.com/es/tools/inverse-laplace-calculator): Calcula la transformada inversa de Laplace de F(s) = N(s)/D(s) (fracción propia, denominador de grado ≤ 6): obtiene las raíces del denominador agrupadas por multiplicidad y pares conjugados, resuelve el sistema lineal de coeficientes para la descomposición en fracciones parciales y aplica las parejas estándar término a término (A/(s−r)→Ae^(rt), A/(s−r)^j→At^(j−1)e^(rt)/(j−1)!, (Bs+C)/((s−α)²+β²)→e^(αt)\[Bcos(βt)+…sin(βt)\]). Clásicos: 1/(s²+3s+2) → e^(−t)−e^(−2t); (3s+5)/(s²+4) → 3cos(2t)+2,5sin(2t). - [Calculadora de transformada de Laplace (tabla de pares)](https://elysiatools.com/es/tools/laplace-transform-calculator): Obtiene por tabla la transformada de Laplace F(s) = ∫₀^∞ e^(−st)f(t)dt: 14 pares estándar (1, t, tⁿ, e^(at), tⁿe^(at), sin/cos(kt) y sus desplazamientos exponenciales, sinh/cosh, t·sin/t·cos, δ(t)), con sustitución de parámetros, región de convergencia (p. ej. s > a), nota de derivación y evaluación numérica opcional en un punto s (con verificación de convergencia). Ejemplo: L{e^t} = 1/(s−1), s>1, F(2) = 1. - [Solver de EDO lineal de segundo orden (ecuación característica)](https://elysiatools.com/es/tools/second-order-ode-solver): Resuelve a·y'' + b·y' + c·y = f(x): resuelve la ecuación característica ar² + br + c = 0, clasifica la solución homogénea por el discriminante (raíces reales distintas / doble / complejas conjugadas) y obtiene la solución particular por coeficientes indeterminados con resonancia (si k es raíz, la prueba se multiplica por x^m). Admite constantes, polinomios, A·e^(kx) y A·sin(kx)+B·cos(kx); con y(x₀) e y'(x₀) un sistema 2×2 fija C1 y C2. Ejemplo clásico: y''−3y'+2y=0, y(0)=1, y'(0)=0 → y = −e^(2x)+2e^x. - [Calculadora de transformada Z (sistemas discretos)](https://elysiatools.com/es/tools/z-transform-calculator): Obtiene por tabla la transformada Z unilateral X(z) = Σₙ₌₀^∞ x\[n\]·z^(−n): 11 pares estándar (δ\[n\], u\[n\], aⁿ, n, n², n·aⁿ, sin/cos(ω₀n), aⁿ·sin/aⁿ·cos, (−1)ⁿ), con sustitución de parámetros, región de convergencia |z| > R, nota de derivación y evaluación numérica opcional en un punto z (con verificación de convergencia). Ejemplo: Z{0.5ⁿ} = z/(z−0.5), |z| > 0.5, X(2) = 4/3. - [Calculadora de Renovaciones de Aire ACH (n = Q/V)](https://elysiatools.com/es/tools/air-changes-per-hour): Calcula las renovaciones de aire n=Q/V (1/h) a partir del caudal de aire exterior Q y el volumen V. Tres modos: n (Q,V), caudal (n,V) o volumen (n,Q). Caudal en m³/s/m³/h/CFM, volumen en m³/ft³/L. Informa el tiempo para alcanzar el objetivo de purga (fracción residual, por defecto 1%) según el modelo de mezcla completa: t=−ln(ε)/n. - [Calculadora de Vida Útil L10 de Rodamiento](https://elysiatools.com/es/tools/bearing-life-l10): Calcula la vida útil nominal L10 = (C/P)^p de un rodamiento. Bolas p=3, rodillos p=10/3. Con la velocidad se obtiene L10h en horas. - [Calculadora de Par y Fuerza de Perno](https://elysiatools.com/es/tools/bolt-torque-clamp-force): Convierte entre el par de apriete y la fuerza de agarre axial de un perno. T = K·F·d, K es el factor de tuerca (≈0.20 acero seco). Par por fuerza o fuerza por par. ## Ejemplos - [Ejemplos Netlify Edge Functions](https://elysiatools.com/es/samples/netlify-edge-functions-samples): Ejemplos completos de Netlify Edge Functions cubriendo middleware, autenticación, A/B testing, geolocalización y patrones avanzados de edge computing - [Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Web Python](https://elysiatools.com/es/samples/web-image-processing-python): Ejemplos de procesamiento de imágenes Web Python usando PIL/Pillow incluyendo lectura, guardado, redimensionamiento y conversión de formato - [Ejemplos de Azure Functions](https://elysiatools.com/es/samples/azure-functions): Ejemplos de Azure Functions serverless computing con disparadores HTTP, temporizadores e integraciones - [Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Android Java](https://elysiatools.com/es/samples/android-image-processing-java): Ejemplos de procesamiento de imágenes Android Java incluyendo lectura/escritura, escalado y conversión de formato ## Contenido relacionado - [Herramientas de codificacion y conversion de audio](https://elysiatools.com/es/hubs/audio-convert): Compara conversion de formatos de audio, cambios de bitrate, conversion de frecuencia de muestreo, cambio de codec y exportacion en un solo hub. - [Herramientas de conversion de formatos de imagen y exportacion animada](https://elysiatools.com/es/hubs/image-convert): Compara convertidores de imagen para JPG, PNG, GIF, AVIF, WebP, TIFF, ICO, base64 y salidas pensadas para animacion en un solo hub. - [Herramientas de intercambio JSON y traduccion de formatos](https://elysiatools.com/es/hubs/json-convert): Compara herramientas de conversion JSON para CSV, YAML, TOML, GraphQL, XML, Markdown, Excel, BSON, EDN y otros formatos estructurados en un solo hub. - [Herramientas de conversion de espacios de color para web e impresion](https://elysiatools.com/es/hubs/design-convert): Herramientas reunidas para conversion de espacios de color entre web e impresion en un solo hub.