# Integrador por regla de Simpson (∫f(x)dx)

Calcula ∫ₐᵇ f(x)dx con la regla de Simpson 1/3 compuesta (n par): S = h/3·(f(a) + 4Σnodos impares + 2Σnodos pares interiores + f(b)), con error O(h⁴) y exacta para polinomios de grado ≤ 3. Tabla por nodos, estimación y comparación opcional con el valor exacto. Ejemplos: ∫₀¹x²dx con n=4 da 0,333333 (¡exacta!); ∫₀¹e^(−x²)dx (sin primitiva elemental) con n=10 da 0,746825.

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- **Categoría:** Math & Numbers

- **Palabras clave:** regla de simpson, integración numérica, integral definida, calculadora de integrales, cuadratura, métodos numéricos, cálculo

## Descripción general

El integrador por regla de Simpson calcula numéricamente integrales definidas ∫ₐᵇ f(x)dx mediante la regla de Simpson 1/3 compuesta para un número par de subintervalos. Genera el desglose paso a paso con la tabla de nodos, pesos asignados y la estimación numérica final, permitiendo además contrastar el resultado con una antiderivada exacta para medir el error absoluto con precisión O(h⁴).

## Entradas

- **f(x) a integrar** (text): Integrand in x (functions: sin, cos, exp, ln, sqrt, …).
- **Límite inferior a** (number): e.g. 0
- **Límite superior b** (number): May be less than a (the integral flips sign, as in calculus).
- **Subintervalos n (par)** (number): Must be even. h = (b − a)/n; global error is O(h⁴) — halving h divides the error by ~16.
- **Antiderivada exacta F(x) (opcional)** (text): Exact antiderivative in x; the tool reports F(b) − F(a) and the absolute error. Leave empty to skip.
- **Decimales** (number)

## Cuándo usarlo

- Cuando necesitas evaluar integrales definidas de funciones continuas que no poseen primitiva elemental (como e^(-x²) o sin(x)/x).
- Al resolver ejercicios de análisis numérico o cálculo donde se requiere presentar la tabla detallada de nodos, evaluaciones intermedias y ponderaciones.
- Para verificar la convergencia y comparar el error de aproximación frente al valor analítico exacto conocido.

## Cómo funciona

- Ingresa la función f(x), los límites de integración inferior (a) y superior (b), y un número par de subintervalos (n) para definir el paso h = (b − a)/n.
- El algoritmo evalúa la función en cada nodo x_i y aplica los coeficientes de la regla 1/3 compuesta: peso 1 en los extremos, 4 en nodos impares y 2 en nodos pares interiores.
- Calcula la suma ponderada multiplicada por h/3 y formatea la estimación numérica junto con la tabla de nodos.
- Si defines una antiderivada F(x), evalúa F(b) − F(a) y muestra la diferencia de error absoluto con los decimales configurados.

## Casos de uso

- Aproximación de integrales no elementales en problemas de física y estadística, como la distribución normal gaussiana.
- Verificación de tareas académicas y prácticas de laboratorio en cursos de métodos numéricos e ingeniería.
- Cálculo rápido de áreas bajo la curva y longitudes de arco a partir de expresiones funcionales explícitas.

## Preguntas frecuentes

### ¿Por qué el número de subintervalos n debe ser par?

La regla de Simpson 1/3 interpola parábolas a través de parejas de intervalos consecutivos, por lo que requiere una cantidad par de subdivisiones.

### ¿Qué funciones matemáticas están soportadas en f(x)?

Soporta operadores algebraicos habituales y funciones estándar como sin, cos, exp, ln, sqrt, potencias y polinomios.

### ¿Qué orden de error ofrece la regla de Simpson 1/3?

Tiene un orden de convergencia O(h⁴), lo que significa que reducir el paso h a la mitad reduce el error teórico aproximadamente por un factor de 16.

### ¿Es posible integrar con el límite inferior a mayor que b?

Sí, el integrador invierte el signo del resultado final respetando las propiedades del cálculo integral estándar.

### ¿Por qué la regla de Simpson es exacta para polinomios de grado ≤ 3?

Debido a la simetría de la fórmula, el término del error depende de la cuarta derivada f⁴(ξ), la cual es nula en polinomios de hasta tercer grado.

## Herramientas relacionadas

- [Solver de EDO de primer orden (variables separables)](https://elysiatools.com/es/tools/first-order-ode-solver): Resuelve dy/dx = g(x)·h(y) por separación de variables: se separa, se integra término a término para obtener H(y) = G(x) + C y, cuando es posible, se despeja y = f(x). Admite h(y) de un término (y, y^n, e^(ky), ky+m) y polinomios cuadráticos descomponibles por fracciones parciales (como la logística y(1−y)); con la condición inicial y(x₀)=y₀ calcula C y detecta soluciones de equilibrio. Ejemplo: dy/dx = 2x·y → y = e^(x²+C).
- [Calculadora de raíces por Newton-Raphson](https://elysiatools.com/es/tools/newton-raphson-root-finder): Resuelve f(x) = 0 con la iteración de Newton-Raphson x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f'(x_k): la derivada puede darse analíticamente (si se deja vacía se usa una diferencia central numérica), y se muestran la tabla de iteraciones (x_k y f(x_k)), el criterio de parada (|f| < tolerancia o |Δx| < tolerancia·max(1,|x|)), el número de iteraciones y el |f(raíz)| final. Clásicos: x²−2 desde x₀=1 converge en 4 pasos a √2 ≈ 1.4142135624; cos(x)−x converge al número de Dottie 0.7390851332. Derivada nula, pasos divergentes o exceder el límite de iteraciones se informan explícitamente.
- [Integrador por regla del trapecio (∫f(x)dx)](https://elysiatools.com/es/tools/numerical-integration-trapezoid): Calcula ∫ₐᵇ f(x)dx con la regla del trapecio compuesta: T = h/2·(f(a) + 2Σf(xᵢ) + f(b)), con tabla por nodos, estimación de la integral y comparación opcional con el valor exacto y el error absoluto; el error es O(h²) (exacta para funciones lineales). Ejemplo: ∫₀¹x²dx con n=4 da 0,34375 frente al exacto 1/3, error 0,010417.
- [Solver numérico Runge-Kutta de 4º orden (RK4)](https://elysiatools.com/es/tools/runge-kutta-rk4-solver): Resuelve dy/dx = f(x,y), y(x₀)=y₀ con el Runge-Kutta clásico de cuarto orden: cada paso calcula las cuatro pendientes k1–k4 y actualiza y_{n+1} = y_n + h/6·(k1+2k2+2k3+k4), con error global O(h⁴): al dividir h entre 2 el error se reduce unas 16 veces. Devuelve la tabla por pasos, el detalle de k1–k4 de los primeros pasos y la estimación final; la solución exacta y(x) es opcional y añade columna de error. Ejemplo: dy/dx = y, y(0)=1, h=0,1 → y(1) ≈ 2,718282, casi exactamente e.
- [Analizador de convergencia de series (razón/raíz/integral/comparación)](https://elysiatools.com/es/tools/series-convergence-tester): Analiza la convergencia de la serie Σ aₙ (aₙ como expresión de n): ejecuta en orden el criterio del término (¿aₙ → 0?), el criterio de la razón L = |aₙ₊₁/aₙ|, el criterio de la raíz ρ = |aₙ|^(1/n), la comparación con series p (p = −ln|a(N)|/ln N) y el criterio integral (Simpson numérico + comparación de crecimiento por década); las series alternantes se detectan automáticamente y se clasifican con el criterio de Leibniz, y para las convergentes se estima la suma (suma parcial + cola geométrica o de ley de potencias). Clásicos: Σ1/n² converge (p≈2, suma≈1.6449); Σ1/n diverge (armónica); Σ0.5ⁿ converge; Σcos(πn)/n converge condicionalmente (suma≈−ln2).
- [Calculadora de integral de convolución (numérica)](https://elysiatools.com/es/tools/convolution-integral-calculator): Calcula numéricamente la convolución de dos señales (f*g)(t) = ∫ f(τ)g(t−τ)dτ: modo causal (ambas señales son cero para t<0, integral en \[max(τmin,0), min(τmax,t)\], ideal para productos del dominio de Laplace) y modo de ventana directa (integral en todo \[τmin, τmax\], ideal para señales bilaterales como las gaussianas), mediante la regla compuesta de Simpson (2000 intervalos por defecto). Clásicos: e^(−t)*e^(−2t) = e^(−t)−e^(−2t), 0.2325 en t=1; dos gaussianas se convolucionan en √(π/2)·e^(−t²/2).
- [Solver numérico por método de Euler (EDO de primer orden)](https://elysiatools.com/es/tools/euler-method-solver): Resuelve el problema de valor inicial dy/dx = f(x,y), y(x₀)=y₀ con el método de Euler explícito: y_{n+1} = y_n + h·f(x_n, y_n), con tabla por pasos y estimación final. La solución exacta y(x) es opcional y añade una columna de error que muestra el error global O(h) del método de primer orden. Ejemplo: dy/dx = y, y(0)=1, h=0,1 → y(1) ≈ 1,1¹⁰ = 2,593742 frente a e = 2,718282 (error 0,124539).
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## Ejemplos

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