# Calculadora de derivación numérica (diferencias forward/backward/central)

Aproxima f′(x₀) con tres diferencias finitas: progresiva (f(x₀+h)−f(x₀))/h, retrograda (f(x₀)−f(x₀−h))/h y central (f(x₀+h)−f(x₀−h))/(2h), más la segunda derivada central. La derivada exacta opcional añade el error absoluto de cada método y muestra el contraste O(h) frente a O(h²). Ejemplo: f=x², x₀=1, h=0,1 → progresiva 2,1; retrograda 1,9; central exactamente 2,0.

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- **Categoría:** Math & Numbers

- **Palabras clave:** derivación numérica, diferencias finitas, diferencia progresiva, diferencia retrograda, diferencia central, calculadora de derivadas, segunda derivada, métodos numéricos, cálculo

## Descripción general

Esta calculadora de derivación numérica aproxima el valor de la primera derivada f′(x₀) mediante esquemas de diferencias finitas progresivas, retrógradas y centrales, además de calcular la segunda derivada central. Permite comparar la precisión de esquemas de orden O(h) y O(h²), con la opción de incluir la derivada analítica exacta para evaluar el error absoluto instantáneamente.

## Entradas

- **f(x)** (text): Function of x (functions: sin, cos, exp, ln, sqrt, …).
- **Punto x₀** (number): e.g. 1
- **Paso h** (number): Difference step, 0 < h ≤ 1. Central differences: truncation O(h²); too small an h amplifies round-off.
- **Derivada exacta f′(x) (opcional)** (text): Exact derivative in x; the tool reports the absolute error of each method. Leave empty to skip.
- **Decimales** (number)

## Cuándo usarlo

- Al estudiar o validar ejercicios de análisis numérico y esquemas de diferencias finitas.
- Cuando se requiere estimar la pendiente de funciones matemáticas sin calcular su derivada analítica a mano.
- Para analizar la influencia del tamaño de paso h en el error de truncamiento frente al error de redondeo.

## Cómo funciona

- Ingresa la función f(x), el punto de evaluación x₀ y el tamaño del paso h (entre 0 y 1).
- Opcionalmente, especifica la expresión de la derivada exacta f′(x) y la cantidad de decimales deseada para el resultado.
- La herramienta evalúa f(x₀), f(x₀+h) y f(x₀−h) aplicando las fórmulas progresiva (f(x₀+h)−f(x₀))/h, retrógrada (f(x₀)−f(x₀−h))/h y central (f(x₀+h)−f(x₀−h))/(2h).
- Genera un reporte detallado con las aproximaciones de primer y segundo orden junto con los errores absolutos correspondientes.

## Casos de uso

- Comprobación de tareas académicas en cursos universitarios de cálculo y métodos numéricos.
- Verificación rápida de derivadas de funciones no lineales en puntos específicos para simulaciones científicas.
- Demostración didáctica de la convergencia y orden de precisión de esquemas numéricos.

## Preguntas frecuentes

### ¿Por qué la diferencia central suele ser más precisa que la progresiva o retrógrada?

La diferencia central tiene un error de truncamiento de orden O(h²), mientras que las diferencias progresivas y retrógradas son de orden O(h), reduciendo el error mucho más rápido conforme h disminuye.

### ¿Qué funciones matemáticas estándar se pueden ingresar?

Admite funciones continuas habituales como sin, cos, exp, ln, sqrt y polinomios algebraicos utilizando la variable x.

### ¿Es obligatorio proporcionar la derivada exacta f′(x)?

No, es un campo opcional destinado exclusivamente a calcular y mostrar el error absoluto de cada aproximación.

### ¿Qué ocurre si se elige un paso h excesivamente pequeño?

Un valor de h extremadamente diminuto puede introducir errores de cancelación sustractiva y redondeo en la aritmética de punto flotante.

### ¿Cómo se calcula la segunda derivada en esta herramienta?

Se calcula mediante la fórmula de diferencia central de segundo orden: (f(x₀+h) − 2f(x₀) + f(x₀−h)) / h².

## Herramientas relacionadas

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## Ejemplos

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