# Solucionador de juegos de suma cero (punto de silla / programación lineal) Resuelve juegos de suma cero de 2–6 × 2–6 (la matriz de pagos es del jugador fila, el maximizador; el jugador columna paga): primero la prueba de punto de silla (si el máximín de los mínimos de fila iguala el mínimax de los máximos de columna hay equilibrio en estrategias puras y se listan las celdas de silla); si no, se desplaza la matriz para que todas las entradas sean ≥ 1 y se resuelve max Σz s.t. Bz ≤ 1 con un simplex de una fase (base de holguras, regla de Bland): el primal da la estrategia mixta q del columnista y los precios sombra duales son exactamente la solución y del jugador fila; el valor se desplaza de vuelta y se reportan x, q y v, verificando numéricamente ambas garantías (xᵀA ≥ v, Aq ≤ v) y la igualdad minimax. Clásico: piedra-papel… pares [[1,-1],[-1,1]] → valor 0 con mezclas 0.5/0.5. > Página canónica: https://elysiatools.com/es/tools/game-theory-zero-sum - **Categoría:** Math & Numbers - **Palabras clave:** teoría de juegos, juego de suma cero, punto de silla, estrategia mixta, minimax, equilibrio de nash, programación lineal, precio sombra, matriz de pagos, investigación de operaciones ## Descripción general El solucionador de juegos de suma cero analiza matrices de pagos de 2×2 a 6×6 para calcular el valor del juego y las estrategias óptimas de ambos jugadores mediante pruebas de punto de silla y programación lineal por método simplex. ## Entradas - **Matriz de pagos (ganancia del jugador fila, una por línea)** (textarea): Payoffs to the row player (positive = row wins). 2–6 rows × 2–6 columns; the column player minimizes. - **Decimales** (number) ## Cuándo usarlo - Cuando necesitas comprobar si una matriz de juego entre dos participantes tiene un punto de silla en estrategias puras. - Cuando un juego competitivo no tiene solución pura y requiere determinar las probabilidades exactas de estrategias mixtas y el valor esperado. - Cuando resuelves ejercicios de teoría de juegos o investigación de operaciones que involucran dualidad en programación lineal y garantías de seguridad minimax. ## Cómo funciona - Ingresa la matriz de pagos fila por fila con valores separados por comas o espacios, donde los valores positivos representan ganancias para el jugador fila. - El algoritmo calcula los mínimos por fila (maximin) y los máximos por columna (minimax) para identificar si existen equilibrios en puntos de silla. - Si no existe punto de silla, desplaza la matriz y ejecuta un algoritmo simplex primal-dual de una fase para obtener la distribución de probabilidad óptima (estrategia mixta) de ambos jugadores. - Muestra el valor final del juego compensado, las estrategias óptimas (x para filas, q para columnas) y la verificación numérica de los niveles de seguridad. ## Casos de uso - Análisis de juegos clásicos de suma cero como Matching Pennies o Piedra, Papel o Tijera para encontrar la distribución de equilibrio de Nash. - Modelado de decisiones tácticas entre competidores en ciberseguridad o auditoría donde los objetivos de ataque y defensa son estrictamente opuestos. - Verificación académica de tablas simplex primal-dual y precios sombra en cursos de investigación operativa y optimización matemática. ## Preguntas frecuentes ### ¿Qué tamaño de matriz de pagos admite el solucionador? Admite matrices rectangulares y cuadradas desde 2×2 hasta 6×6 elementos. ### ¿Qué representa un valor positivo en la matriz de pagos? Indica una ganancia neta para el jugador fila y una pérdida equivalente para el jugador columna. ### ¿Cómo detecta la herramienta un equilibrio en estrategias puras? Comprueba si el valor maximin de las filas es igual al valor minimax de las columnas; si coinciden, reporta la celda como punto de silla. ### ¿Cómo se obtienen las estrategias mixtas si no hay punto de silla? Se formula un problema de programación lineal resuelto con el método simplex, donde la solución primal entrega la estrategia del columnista y los precios sombra duales la del jugador fila. ### ¿Puedo ajustar la precisión decimal de los resultados? Sí, puedes configurar el campo de decimales entre 0 y 8 dígitos de precisión según tus necesidades de redondeo. ## Herramientas relacionadas - [Generador de permutaciones / combinaciones / subconjuntos (con repeticiones)](https://elysiatools.com/es/tools/combinatorial-generation): Genera permutaciones, combinaciones y subconjuntos de un multiconjunto, deduplicando y ordenando lexicográficamente: las permutaciones usan next_permutation con conteo exacto n!/Π(mᵢ!); las combinaciones generan las k-submultisecciones distintas, contadas como el coeficiente de x^k en Π(1+x+…+x^mᵢ) (C(n,k) si todos los elementos son distintos); los subconjuntos enumeran cada submultisección con conteo Π(mᵢ+1) (2ⁿ si todos distintos), incluido el vacío. Hasta 12 elementos, la muestra se limita a 200 entradas pero el conteo siempre es exacto; el modo combinaciones exige 1 ≤ k ≤ n. Clásicos: permutaciones de \[A, A, B\] → 3!/2! = 3 (AAB, ABA, BAA); subconjuntos de \[A, A, B\] → (2+1)(1+1) = 6. - [Calculadora de transformada inversa de Laplace (fracciones parciales)](https://elysiatools.com/es/tools/inverse-laplace-calculator): Calcula la transformada inversa de Laplace de F(s) = N(s)/D(s) (fracción propia, denominador de grado ≤ 6): obtiene las raíces del denominador agrupadas por multiplicidad y pares conjugados, resuelve el sistema lineal de coeficientes para la descomposición en fracciones parciales y aplica las parejas estándar término a término (A/(s−r)→Ae^(rt), A/(s−r)^j→At^(j−1)e^(rt)/(j−1)!, (Bs+C)/((s−α)²+β²)→e^(αt)\[Bcos(βt)+…sin(βt)\]). Clásicos: 1/(s²+3s+2) → e^(−t)−e^(−2t); (3s+5)/(s²+4) → 3cos(2t)+2,5sin(2t). - [Calculadora de transformada de Laplace (tabla de pares)](https://elysiatools.com/es/tools/laplace-transform-calculator): Obtiene por tabla la transformada de Laplace F(s) = ∫₀^∞ e^(−st)f(t)dt: 14 pares estándar (1, t, tⁿ, e^(at), tⁿe^(at), sin/cos(kt) y sus desplazamientos exponenciales, sinh/cosh, t·sin/t·cos, δ(t)), con sustitución de parámetros, región de convergencia (p. ej. s > a), nota de derivación y evaluación numérica opcional en un punto s (con verificación de convergencia). Ejemplo: L{e^t} = 1/(s−1), s>1, F(2) = 1. - [Calculadora de descomposición en fracciones parciales (funciones racionales)](https://elysiatools.com/es/tools/partial-fraction-decomposer): Descompone en fracciones parciales F(x) = N(x)/D(x) (denominador de grado ≤ 6, numerador ≤ 8; las fracciones impropias se dividen primero por división polinómica): raíces del denominador por Durand-Kerner agrupadas por multiplicidad y pares conjugados, sistema lineal exacto de coeficientes para obtener términos A/(x−r)^j y (Bx+C)/((x−α)²+β²), y verificación numérica del residuo en puntos algebraicos de prueba. Clásicos: (3x+5)/(x²+3x+2) = 2/(x+1) + 1/(x+2); (x³+2x)/(x²+1) = x + x/(x²+1); 1/(x(x+1)²) = 1/x − 1/(x+1) − 1/(x+1)². - [Analizador de redes PERT (duración esperada/varianza)](https://elysiatools.com/es/tools/pert-network-analyzer): Análisis PERT con estimaciones de tres puntos para 2–20 actividades (una por línea: nombre, optimista a, más probable m, pesimista b, predecesoras): te = (a+4m+b)/6, σ² = ((b−a)/6)²; el CPM sobre los te da la ruta crítica, la duración esperada TE del proyecto y la varianza del proyecto (suma de σ² en la ruta crítica); con un tiempo objetivo T se calculan Z = (T−TE)/σ y la probabilidad de finalización Φ(Z) bajo la aproximación normal. Violaciones de a≤m≤b y ciclos se rechazan; redes deterministas (σ≈0) se tratan como tales. Clásico: A(2,4,6), B(3,5,7), C(2,3,10), D(4,6,8, B C) → TE = 15, σ² = 1.3333, P(T=16) ≈ 80.7%. - [Calculadora de colas M/M/c multiservidor](https://elysiatools.com/es/tools/queuing-theory-mmc): Calcula las métricas en régimen estacionario de la cola M/M/c (llegadas de Poisson a tasa λ, c servidores exponenciales idénticos de tasa μ, una cola FCFS compartida): reporta el tráfico ofrecido a = λ/μ, la utilización por servidor ρ, la probabilidad de sistema vacío P0, la probabilidad de espera Erlang-C Pw, los esperados Lq, L, W y Wq, con verificación cruzada por la ley de Little y la relación Pw→Lq. Exige λ < cμ (si no, se rechaza por inestable); con c = 1 las fórmulas colapsan en M/M/1. Clásico: λ = 6/h, μ = 3/h, c = 3 → P0 = 0.1111, Pw = 0.4444, Lq = 0.8889, L = 2.8889. - [Solver de EDO lineal de segundo orden (ecuación característica)](https://elysiatools.com/es/tools/second-order-ode-solver): Resuelve a·y'' + b·y' + c·y = f(x): resuelve la ecuación característica ar² + br + c = 0, clasifica la solución homogénea por el discriminante (raíces reales distintas / doble / complejas conjugadas) y obtiene la solución particular por coeficientes indeterminados con resonancia (si k es raíz, la prueba se multiplica por x^m). Admite constantes, polinomios, A·e^(kx) y A·sin(kx)+B·cos(kx); con y(x₀) e y'(x₀) un sistema 2×2 fija C1 y C2. Ejemplo clásico: y''−3y'+2y=0, y(0)=1, y'(0)=0 → y = −e^(2x)+2e^x. - [Calculadora de transformada Z (sistemas discretos)](https://elysiatools.com/es/tools/z-transform-calculator): Obtiene por tabla la transformada Z unilateral X(z) = Σₙ₌₀^∞ x\[n\]·z^(−n): 11 pares estándar (δ\[n\], u\[n\], aⁿ, n, n², n·aⁿ, sin/cos(ω₀n), aⁿ·sin/aⁿ·cos, (−1)ⁿ), con sustitución de parámetros, región de convergencia |z| > R, nota de derivación y evaluación numérica opcional en un punto z (con verificación de convergencia). Ejemplo: Z{0.5ⁿ} = z/(z−0.5), |z| > 0.5, X(2) = 4/3. ## Ejemplos - [Ejemplos de Bevy Game Engine](https://elysiatools.com/es/samples/bevy-samples): Ejemplos del motor de juego Bevy Rust con ECS, gráficos 2D/3D, audio y mecánicas de juego - [Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Web Python](https://elysiatools.com/es/samples/web-image-processing-python): Ejemplos de procesamiento de imágenes Web Python usando PIL/Pillow incluyendo lectura, guardado, redimensionamiento y conversión de formato - [Muestras de Arquitectura Zero Trust](https://elysiatools.com/es/samples/zero-trust-samples): Muestras comprensivas de arquitectura Zero Trust cubriend autenticación, segmentación de red y control de acceso seguro - [Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Android Java](https://elysiatools.com/es/samples/android-image-processing-java): Ejemplos de procesamiento de imágenes Android Java incluyendo lectura/escritura, escalado y conversión de formato ## Contenido relacionado - [Herramientas de codificacion y conversion de audio](https://elysiatools.com/es/hubs/audio-convert): Compara conversion de formatos de audio, cambios de bitrate, conversion de frecuencia de muestreo, cambio de codec y exportacion en un solo hub. - [Herramientas de conversion de formatos de imagen y exportacion animada](https://elysiatools.com/es/hubs/image-convert): Compara convertidores de imagen para JPG, PNG, GIF, AVIF, WebP, TIFF, ICO, base64 y salidas pensadas para animacion en un solo hub. - [Herramientas de intercambio JSON y traduccion de formatos](https://elysiatools.com/es/hubs/json-convert): Compara herramientas de conversion JSON para CSV, YAML, TOML, GraphQL, XML, Markdown, Excel, BSON, EDN y otros formatos estructurados en un solo hub. - [Herramientas de conversion de espacios de color para web e impresion](https://elysiatools.com/es/hubs/design-convert): Herramientas reunidas para conversion de espacios de color entre web e impresion en un solo hub.