# Solver de EDO de primer orden (variables separables) Resuelve dy/dx = g(x)·h(y) por separación de variables: se separa, se integra término a término para obtener H(y) = G(x) + C y, cuando es posible, se despeja y = f(x). Admite h(y) de un término (y, y^n, e^(ky), ky+m) y polinomios cuadráticos descomponibles por fracciones parciales (como la logística y(1−y)); con la condición inicial y(x₀)=y₀ calcula C y detecta soluciones de equilibrio. Ejemplo: dy/dx = 2x·y → y = e^(x²+C). > Página canónica: https://elysiatools.com/es/tools/first-order-ode-solver - **Categoría:** Math & Numbers - **Palabras clave:** edo de primer orden, ecuación diferencial separable, separación de variables, dy/dx, problema de valor inicial, fracciones parciales, ecuación logística, solución implícita, cálculo, integración simbólica ## Descripción general Este solver resuelve ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) de primer orden de la forma dy/dx = g(x)·h(y) mediante el método analítico de separación de variables. La herramienta descompone la ecuación, integra ambos lados simbólicamente para formar la relación H(y) = G(x) + C, e intenta despejar la solución explícita y = f(x) o presenta la relación implícita. Además, permite introducir condiciones iniciales para resolver problemas de valor inicial (PVI) calculando el valor exacto de la constante C. ## Entradas - **g(x) — factor del lado x** (text): x-dependent factor of dy/dx = g(x)·h(y). Terms: constants, x^n, (kx+m)^n, e^(kx), sin(kx+m), cos(kx+m), ln(kx+m), sqrt(kx+m). - **h(y) — factor del lado y** (text): y-dependent factor. Single terms (y, y^n, (ky+m)^n, e^(ky)) or a degree ≤ 2 polynomial with real roots, or c/D(y). - **x₀ (x inicial)** (number): Only used together with y₀ to pin down the constant C. - **y₀ = y(x₀)** (number): Initial value. Leave empty for the general solution; provide with x₀ for the particular solution. ## Cuándo usarlo - Al resolver ecuaciones diferenciales de primer orden separables donde la derivada se factoriza en dy/dx = g(x)·h(y). - Cuando se requiere hallar la solución particular de un problema de valor inicial ingresando coordenadas (x₀, y₀). - Para analizar ecuaciones con términos no lineales o logísticos que requieren descomposición en fracciones parciales. ## Cómo funciona - Introduce la función dependiente de x en el campo g(x) y la función dependiente de y en el campo h(y). - Opcionalmente, define los valores de la condición inicial x₀ y y₀ para obtener una solución particular en lugar de la general. - El solucionador separa los diferenciales a (1/h(y)) dy = g(x) dx e integra ambos miembros de forma simbólica. - Se evalúa la constante C con los valores iniciales y se despeja y explícitamente si la forma de H(y) lo permite. ## Casos de uso - Verificación de ejercicios de cálculo integral y ecuaciones diferenciales separables paso a paso. - Resolución analítica de modelos de crecimiento poblacional y curvas logísticas con condiciones iniciales. - Cálculo de trayectorias y modelos de desintegración o calentamiento gobernados por EDOs de primer orden. ## Preguntas frecuentes ### ¿Qué tipos de funciones se admiten en g(x)? Admite constantes, potencias x^n, binomios (kx+m)^n, exponenciales e^(kx), funciones trigonométricas sin(kx+m) y cos(kx+m), logaritmos ln(kx+m) y raíces sqrt(kx+m). ### ¿Qué expresiones acepta el término h(y)? Soporta términos individuales como y, y^n, (ky+m)^n, e^(ky), polinomios cuadráticos factorizables con raíces reales y expresiones de la forma c/D(y). ### ¿Qué ocurre si no ingreso los valores de x₀ e y₀? El solver genera la solución general manteniendo la constante arbitraria de integración C en la ecuación resultante. ### ¿Por qué algunas salidas devuelven una solución implícita? Cuando la integral H(y) combina términos no invertibles de manera elemental (como fracciones parciales logarítmicas), la solución se presenta como relación implícita H(y) = G(x) + C. ### ¿Cómo se calculan las ecuaciones tipo logística? Expresiones como y(1-y) se expanden e integran mediante descomposición en fracciones parciales de 1/h(y), resolviendo paso a paso los logaritmos resultantes. ## Herramientas relacionadas - [Calculadora de raíces por Newton-Raphson](https://elysiatools.com/es/tools/newton-raphson-root-finder): Resuelve f(x) = 0 con la iteración de Newton-Raphson x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f'(x_k): la derivada puede darse analíticamente (si se deja vacía se usa una diferencia central numérica), y se muestran la tabla de iteraciones (x_k y f(x_k)), el criterio de parada (|f| < tolerancia o |Δx| < tolerancia·max(1,|x|)), el número de iteraciones y el |f(raíz)| final. Clásicos: x²−2 desde x₀=1 converge en 4 pasos a √2 ≈ 1.4142135624; cos(x)−x converge al número de Dottie 0.7390851332. Derivada nula, pasos divergentes o exceder el límite de iteraciones se informan explícitamente. - [Integrador por regla de Simpson (∫f(x)dx)](https://elysiatools.com/es/tools/numerical-integration-simpson): Calcula ∫ₐᵇ f(x)dx con la regla de Simpson 1/3 compuesta (n par): S = h/3·(f(a) + 4Σnodos impares + 2Σnodos pares interiores + f(b)), con error O(h⁴) y exacta para polinomios de grado ≤ 3. Tabla por nodos, estimación y comparación opcional con el valor exacto. Ejemplos: ∫₀¹x²dx con n=4 da 0,333333 (¡exacta!); ∫₀¹e^(−x²)dx (sin primitiva elemental) con n=10 da 0,746825. - [Integrador por regla del trapecio (∫f(x)dx)](https://elysiatools.com/es/tools/numerical-integration-trapezoid): Calcula ∫ₐᵇ f(x)dx con la regla del trapecio compuesta: T = h/2·(f(a) + 2Σf(xᵢ) + f(b)), con tabla por nodos, estimación de la integral y comparación opcional con el valor exacto y el error absoluto; el error es O(h²) (exacta para funciones lineales). Ejemplo: ∫₀¹x²dx con n=4 da 0,34375 frente al exacto 1/3, error 0,010417. - [Solver numérico Runge-Kutta de 4º orden (RK4)](https://elysiatools.com/es/tools/runge-kutta-rk4-solver): Resuelve dy/dx = f(x,y), y(x₀)=y₀ con el Runge-Kutta clásico de cuarto orden: cada paso calcula las cuatro pendientes k1–k4 y actualiza y_{n+1} = y_n + h/6·(k1+2k2+2k3+k4), con error global O(h⁴): al dividir h entre 2 el error se reduce unas 16 veces. Devuelve la tabla por pasos, el detalle de k1–k4 de los primeros pasos y la estimación final; la solución exacta y(x) es opcional y añade columna de error. Ejemplo: dy/dx = y, y(0)=1, h=0,1 → y(1) ≈ 2,718282, casi exactamente e. - [Analizador de convergencia de series (razón/raíz/integral/comparación)](https://elysiatools.com/es/tools/series-convergence-tester): Analiza la convergencia de la serie Σ aₙ (aₙ como expresión de n): ejecuta en orden el criterio del término (¿aₙ → 0?), el criterio de la razón L = |aₙ₊₁/aₙ|, el criterio de la raíz ρ = |aₙ|^(1/n), la comparación con series p (p = −ln|a(N)|/ln N) y el criterio integral (Simpson numérico + comparación de crecimiento por década); las series alternantes se detectan automáticamente y se clasifican con el criterio de Leibniz, y para las convergentes se estima la suma (suma parcial + cola geométrica o de ley de potencias). Clásicos: Σ1/n² converge (p≈2, suma≈1.6449); Σ1/n diverge (armónica); Σ0.5ⁿ converge; Σcos(πn)/n converge condicionalmente (suma≈−ln2). - [Constructor integral de enlace corto + UTM + QR](https://elysiatools.com/es/tools/short-url-utm-builder-qr-bundle): Una sola pasada sustituye al trío bit.ly + Campaign Builder + generador de QR: introduces la URL de destino y los parámetros UTM (trío obligatorio de GA4 validado, normalización a minúsculas opcional) y obtienes la URL completa con seguimiento; un slug base62 determinista (hash FNV-1a, misma entrada → mismo slug, sin cuentas ni red) sobre tu dominio corto; dos códigos QR en PNG (enlace corto y completo); y listos los ajustes de redirección nginx / vercel.json / Netlify y la fila CSV de seguimiento de campañas. - [Analizador de Asimetría](https://elysiatools.com/es/tools/skewness-analyzer): Analizar la asimetría de los datos para medir la asimetría de la distribución de probabilidad e identificar patrones de datos - [Calculadora de raiz cuadrada](https://elysiatools.com/es/tools/square-root-calculator): Calcula raices cuadradas, comprueba si un valor es un cuadrado perfecto y verifica el resultado al cuadrado ## Ejemplos - [Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Web Python](https://elysiatools.com/es/samples/web-image-processing-python): Ejemplos de procesamiento de imágenes Web Python usando PIL/Pillow incluyendo lectura, guardado, redimensionamiento y conversión de formato - [Ejemplos de Variables de Entorno (.env)](https://elysiatools.com/es/samples/env-samples): Ejemplos de configuración de variables de entorno para diferentes tipos de aplicaciones y entornos - [Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Android Java](https://elysiatools.com/es/samples/android-image-processing-java): Ejemplos de procesamiento de imágenes Android Java incluyendo lectura/escritura, escalado y conversión de formato - [Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Android Kotlin](https://elysiatools.com/es/samples/android-image-processing-kotlin): Ejemplos de procesamiento de imágenes Android Kotlin incluyendo lectura/escritura, escalado y conversión de formato ## Contenido relacionado - [Herramientas de codificacion y conversion de audio](https://elysiatools.com/es/hubs/audio-convert): Compara conversion de formatos de audio, cambios de bitrate, conversion de frecuencia de muestreo, cambio de codec y exportacion en un solo hub. - [Herramientas de conversion de formatos de imagen y exportacion animada](https://elysiatools.com/es/hubs/image-convert): Compara convertidores de imagen para JPG, PNG, GIF, AVIF, WebP, TIFF, ICO, base64 y salidas pensadas para animacion en un solo hub. - [Herramientas de intercambio JSON y traduccion de formatos](https://elysiatools.com/es/hubs/json-convert): Compara herramientas de conversion JSON para CSV, YAML, TOML, GraphQL, XML, Markdown, Excel, BSON, EDN y otros formatos estructurados en un solo hub. - [Herramientas de conversion de espacios de color para web e impresion](https://elysiatools.com/es/hubs/design-convert): Herramientas reunidas para conversion de espacios de color entre web e impresion en un solo hub.