# Algoritmo de Euclides extendido (ax + by = gcd(a, b))

Resuelve la identidad de Bézout a·x + b·y = gcd(a, b) para enteros con cualquier signo: entrega la tabla completa de pasos de división (cada fila cumple r = a·s + b·t), el gcd y el lcm. Con el lado derecho opcional c se convierte en solucionador de ecuaciones diofánticas: si gcd | c da la solución particular y la general x = x₀ + (b/g)t; si no, informa claramente de que no hay solución entera. Clásico: 240 × (−9) + 46 × 47 = 2.

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- **Categoría:** Math & Numbers

- **Palabras clave:** euclides extendido, identidad de bézout, coeficientes de bézout, mcd, ecuación diofántica, diofántica lineal, teoría de números

## Descripción general

Calcula el máximo común divisor (mcd), el mínimo común múltiplo (mcm) y los coeficientes de la identidad de Bézout mediante el algoritmo de Euclides extendido. La herramienta permite visualizar el paso a paso de las divisiones sucesivas y resolver ecuaciones diofánticas lineales de la forma ax + by = c, proporcionando soluciones particulares y la parametrización general.

## Entradas

- **Valor a** (text): First integer; negative values are supported.
- **Valor b** (text): Second integer; negative values are supported.
- **Lado derecho c (opcional, resuelve ax + by = c)** (text): Optional target: solves ax + by = c when gcd(a, b) divides c.
- **Estilo de salida** (select)

## Cuándo usarlo

- Cuando necesitas hallar los coeficientes enteros x e y que satisfacen la identidad de Bézout ax + by = mcd(a, b).
- Al resolver ecuaciones diofánticas lineales ax + by = c y verificar si admiten soluciones en los números enteros.
- Para estudiar, enseñar o auditar la secuencia paso a paso de divisiones y combinaciones lineales de restos.

## Cómo funciona

- Introduce los números enteros a y b, admitiendo valores positivos, negativos o cero.
- Indica opcionalmente el término objetivo c si deseas resolver la ecuación diofántica ax + by = c.
- Selecciona el estilo de salida entre la vista resumida de resultados o el desglose detallado con cada paso de división.
- El algoritmo procesa las iteraciones hacia adelante, extrae el mcd, calcula el mcm y genera la solución paramétrica general si c es múltiplo del mcd.

## Casos de uso

- Cálculo de inversos modulares y coeficientes de Bézout para problemas de criptografía y aritmética modular.
- Resolución analítica de problemas de optimización entera y ecuaciones diofánticas lineales en álgebra.
- Generación de pautas de corrección y material didáctico con la tabla detallada de divisiones euclidianas.

## Preguntas frecuentes

### ¿Qué ocurre si el término c no es divisible por el mcd(a, b)?

La herramienta indicará explícitamente que la ecuación diofántica no admite soluciones en los números enteros.

### ¿Es posible ingresar números negativos?

Sí, el algoritmo acepta coeficientes enteros positivos y negativos, ajustando los signos correspondientes en cada paso.

### ¿Qué diferencia hay entre el estilo 'Resultado' y 'Mostrar los pasos de división'?

El modo de pasos muestra la tabla completa de divisiones sucesivas r = a·s + b·t, mientras que el de resultado ofrece directamente la identidad y las soluciones.

### ¿Cómo se calcula el mínimo común múltiplo (mcm)?

Se calcula mediante la relación matemática estándar lcm(a, b) = |a · b| / mcd(a, b).

### ¿Qué representa la variable t en la solución general?

Representa cualquier número entero (t ∈ ℤ), permitiendo generar el conjunto infinito de pares solución (x, y).

## Herramientas relacionadas

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## Ejemplos

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