# Calculadora de la función φ de Euler

Calcula la función φ de Euler — cuántos enteros en [1, n] son coprimos con n. Factoriza n por división de prueba y evalúa exactamente φ(n) = n · Π(1 − 1/p) (n ≤ 10¹²), con opción de listar los primeros 60 coprimos y el recordatorio del teorema de Euler a^φ(n) ≡ 1 (mod n). Clásicos: φ(36) = 12 (36 = 2² × 3²); si n es primo, φ(n) = n − 1, p. ej. φ(97) = 96.

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- **Categoría:** Math & Numbers

- **Palabras clave:** función φ de euler, coprimo, factorización prima, teorema de euler, teoría de números

## Descripción general

La calculadora de la función φ de Euler permite determinar con exactitud cuántos enteros positivos menores o iguales a n son coprimos con n. A partir de la descomposición en factores primos por división de prueba, evalúa la fórmula del producto de Euler φ(n) = n · Π(1 − 1/p) para valores de n hasta 10¹², ofreciendo opcionalmente el listado de los primeros 60 coprimos y el enunciado formal del teorema de Euler.

## Entradas

- **Número n** (text): Positive integer, 1 ≤ n ≤ 10¹² (trial-division factorization bound).
- **Nivel de detalle** (select)

## Cuándo usarlo

- Al resolver problemas de teoría de números y álgebra modular que requieran calcular la cantidad de enteros coprimos con un módulo dado.
- Al simplificar exponentes en congruencias modulares aplicando el teorema de Euler a^φ(n) ≡ 1 (mod n) en criptografía.
- Al analizar la estructura de unidades y el orden multiplicativo de elementos en anillos de enteros módulo n.

## Cómo funciona

- Introduzca un número entero positivo n dentro del rango permitido (1 ≤ n ≤ 10¹²).
- Seleccione el nivel de detalle deseado: solo la factorización y el valor de φ(n), o incluir la enumeración de coprimos.
- La herramienta factoriza el número mediante división de prueba y aplica la fórmula totiente multiplicativa basada en sus factores primos distintos.
- Revise el desglose algebraico, el valor numérico final de φ(n), la lista de coprimos (si fue seleccionada) y la congruencia del teorema de Euler asociada.

## Casos de uso

- Estudiantes y docentes que comprueban ejercicios de aritmética modular y álgebra abstracta.
- Analistas y desarrolladores de criptografía que necesitan calcular órdenes de grupos multiplicativos para algoritmos tipo RSA.
- Participantes de programación competitiva que verifican propiedades multiplicativas y conteo de coprimos para problemas numéricos.

## Preguntas frecuentes

### ¿Qué representa la función totiente φ de Euler?

Representa el número de enteros positivos k en el rango [1, n] que son coprimos con n, es decir, cuyo máximo común divisor es mcd(k, n) = 1.

### ¿Cuánto vale φ(n) si n es un número primo?

Si p es primo, todos los enteros del 1 al p − 1 son coprimos con p, por lo que φ(p) = p − 1.

### ¿Cuál es el valor máximo de n admitido por la calculadora?

Admite números enteros positivos hasta 10¹² (un billón), factorizados mediante división de prueba.

### ¿Por qué solo se muestran hasta 60 coprimos en la lista?

Para mantener un rendimiento óptimo y una salida legible, el modo detallado limita la visualización a los primeros 60 números coprimos generados.

### ¿Cómo se aplica el teorema de Euler con el resultado de φ(n)?

Indica que para cualquier entero a coprimo con n, se cumple la congruencia a^φ(n) ≡ 1 (mod n), permitiendo reducir potencias modulares elevadas.

## Herramientas relacionadas

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## Ejemplos

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- [Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Android Java](https://elysiatools.com/es/samples/android-image-processing-java): Ejemplos de procesamiento de imágenes Android Java incluyendo lectura/escritura, escalado y conversión de formato
- [Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Android Kotlin](https://elysiatools.com/es/samples/android-image-processing-kotlin): Ejemplos de procesamiento de imágenes Android Kotlin incluyendo lectura/escritura, escalado y conversión de formato
- [Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Web Rust](https://elysiatools.com/es/samples/web-image-processing-rust): Ejemplos de procesamiento de imágenes Web Rust incluyendo lectura/escritura, escalado y conversión de formato