# Calculadora de la función de Carmichael λ(n)

Calcula la función de Carmichael λ(n) — el exponente del grupo multiplicativo (Z/nZ)*, es decir, el menor k con a^k ≡ 1 (mod n) para todo a coprimo con n. Se obtiene desde la factorización prima con λ(2)=1, λ(4)=2, λ(2^k)=2^(k−2) (k ≥ 3), λ(p^k)=φ(p^k) en potencias impares y lcm entre componentes, junto con φ(n), la existencia de raíz primitiva y el criterio de Korselt para detectar números de Carmichael. Clásicos: λ(561) = 80 (561 es el menor número de Carmichael) y λ(8) = 2 < φ(8) = 4.

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- **Categoría:** Math & Numbers

- **Palabras clave:** función de carmichael, exponente del grupo, grupo multiplicativo, número de carmichael, criterio de korselt, raíz primitiva, teoría de números

## Descripción general

La Calculadora de la función de Carmichael λ(n) determina el exponente del grupo multiplicativo (Z/nZ)* a partir de la descomposición en factores primos del entero n. El cálculo evalúa el mínimo común múltiplo de las funciones de Carmichael de cada potencia prima, compara el resultado con la función φ de Euler, analiza la existencia de raíces primitivas y comprueba el criterio de Korselt para identificar si el valor corresponde a un número de Carmichael.

## Entradas

- **Número n** (text): Positive integer, 1 ≤ n ≤ 10¹² (trial-division factorization bound).
- **Nivel de detalle** (select)

## Cuándo usarlo

- Al calcular el menor exponente universal k tal que a^k ≡ 1 (mod n) para todo entero a coprimo con n.
- Al verificar si un número compuesto cumple el criterio de Korselt y se comporta como un pseudoprimo absoluto (número de Carmichael).
- Al estudiar la estructura algebraica de grupos modulares (Z/nZ)* para determinar la presencia de raíces primitivas o el orden máximo de sus elementos.

## Cómo funciona

- Se descompone el entero n (hasta 10¹²) en sus factores primos componentes.
- Se calcula el valor λ(p^k) para cada potencia prima: λ(2)=1, λ(4)=2, λ(2^k)=2^(k-2) para k ≥ 3, y λ(p^k)=φ(p^k) para primos impares.
- Se calcula el mínimo común múltiplo (mcm) de todos los valores λ(p^k) para obtener λ(n), comparándolo con φ(n) y evaluando la divisibilidad λ(n) | (n - 1).
- Si se selecciona la opción de verificación, se comprueba empíricamente la congruencia a^λ(n) ≡ 1 (mod n) sobre unidades de muestra coprimas con n.

## Casos de uso

- Análisis de algoritmos criptográficos basados en congruencias modulares como RSA.
- Comprobación teórica de números de Carmichael y análisis de primalidad en cursos de teoría de números.
- Determinación del período máximo de generadores congruenciales lineales y estructuras cíclicas modulares.

## Preguntas frecuentes

### ¿En qué se diferencia la función λ(n) de Carmichael de la función φ(n) de Euler?

La función φ(n) mide el orden total del grupo multiplicativo, mientras que λ(n) es el exponente del grupo, es decir, el orden máximo posible de un elemento individual. λ(n) siempre divide a φ(n).

### ¿Cómo se determina si un entero n tiene raíz primitiva?

Existe una raíz primitiva únicamente cuando λ(n) = φ(n), lo cual solo ocurre si n es 1, 2, 4, p^k o 2p^k para primos impares p.

### ¿Qué indica el criterio de Korselt?

Establece que un entero compuesto n libre de cuadrados es un número de Carmichael si y solo si (p - 1) divide a (n - 1) para cada factor primo p de n, lo que equivale a que λ(n) divida a (n - 1).

### ¿Cuál es el límite del valor de entrada admitido?

La herramienta admite enteros positivos n en el rango de 1 hasta 10¹² mediante algoritmos de factorización por división tentativa.

### ¿Qué realiza la opción de verificación con unidades de muestra?

Toma elementos coprimos a representativos de (Z/nZ)* y evalúa la potencia modular a^λ(n) mod n para comprobar que el resultado sea congruente con 1.

## Herramientas relacionadas

- [Teorema chino del resto (sistema de congruencias)](https://elysiatools.com/es/tools/chinese-remainder-theorem): Resuelve el sistema x ≡ rᵢ (mod mᵢ) (2–20 ecuaciones) mediante el teorema chino del resto generalizado con fusión por pares: con módulos coprimos el módulo combinado es el producto; si no son coprimos pero el sistema es compatible, es el mínimo común múltiple; si es incompatible, se informa claramente de que no hay solución. Cada congruencia se verifica contra la solución final. Clásico: x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), x ≡ 2 (mod 7) → x = 23 (mod 105).
- [Generador de permutaciones / combinaciones / subconjuntos (con repeticiones)](https://elysiatools.com/es/tools/combinatorial-generation): Genera permutaciones, combinaciones y subconjuntos de un multiconjunto, deduplicando y ordenando lexicográficamente: las permutaciones usan next_permutation con conteo exacto n!/Π(mᵢ!); las combinaciones generan las k-submultisecciones distintas, contadas como el coeficiente de x^k en Π(1+x+…+x^mᵢ) (C(n,k) si todos los elementos son distintos); los subconjuntos enumeran cada submultisección con conteo Π(mᵢ+1) (2ⁿ si todos distintos), incluido el vacío. Hasta 12 elementos, la muestra se limita a 200 entradas pero el conteo siempre es exacto; el modo combinaciones exige 1 ≤ k ≤ n. Clásicos: permutaciones de \[A, A, B\] → 3!/2! = 3 (AAB, ABA, BAA); subconjuntos de \[A, A, B\] → (2+1)(1+1) = 6.
- [Calculadora de la función φ de Euler](https://elysiatools.com/es/tools/euler-totient-function): Calcula la función φ de Euler — cuántos enteros en \[1, n\] son coprimos con n. Factoriza n por división de prueba y evalúa exactamente φ(n) = n · Π(1 − 1/p) (n ≤ 10¹²), con opción de listar los primeros 60 coprimos y el recordatorio del teorema de Euler a^φ(n) ≡ 1 (mod n). Clásicos: φ(36) = 12 (36 = 2² × 3²); si n es primo, φ(n) = n − 1, p. ej. φ(97) = 96.
- [Convertidor de Fracciones Decimales](https://elysiatools.com/es/tools/fraction-decimal-converter): Convierte entre fracciones y decimales con soporte para números mixtos, fracciones impropias y varios formatos decimales
- [Solucionador de juegos de suma cero (punto de silla / programación lineal)](https://elysiatools.com/es/tools/game-theory-zero-sum): Resuelve juegos de suma cero de 2–6 × 2–6 (la matriz de pagos es del jugador fila, el maximizador; el jugador columna paga): primero la prueba de punto de silla (si el máximín de los mínimos de fila iguala el mínimax de los máximos de columna hay equilibrio en estrategias puras y se listan las celdas de silla); si no, se desplaza la matriz para que todas las entradas sean ≥ 1 y se resuelve max Σz s.t. Bz ≤ 1 con un simplex de una fase (base de holguras, regla de Bland): el primal da la estrategia mixta q del columnista y los precios sombra duales son exactamente la solución y del jugador fila; el valor se desplaza de vuelta y se reportan x, q y v, verificando numéricamente ambas garantías (xᵀA ≥ v, Aq ≤ v) y la igualdad minimax. Clásico: piedra-papel… pares \[\[1,-1\],\[-1,1\]\] → valor 0 con mezclas 0.5/0.5.
- [Calculadora de transformada inversa de Laplace (fracciones parciales)](https://elysiatools.com/es/tools/inverse-laplace-calculator): Calcula la transformada inversa de Laplace de F(s) = N(s)/D(s) (fracción propia, denominador de grado ≤ 6): obtiene las raíces del denominador agrupadas por multiplicidad y pares conjugados, resuelve el sistema lineal de coeficientes para la descomposición en fracciones parciales y aplica las parejas estándar término a término (A/(s−r)→Ae^(rt), A/(s−r)^j→At^(j−1)e^(rt)/(j−1)!, (Bs+C)/((s−α)²+β²)→e^(αt)\[Bcos(βt)+…sin(βt)\]). Clásicos: 1/(s²+3s+2) → e^(−t)−e^(−2t); (3s+5)/(s²+4) → 3cos(2t)+2,5sin(2t).
- [Calculadora de transformada de Laplace (tabla de pares)](https://elysiatools.com/es/tools/laplace-transform-calculator): Obtiene por tabla la transformada de Laplace F(s) = ∫₀^∞ e^(−st)f(t)dt: 14 pares estándar (1, t, tⁿ, e^(at), tⁿe^(at), sin/cos(kt) y sus desplazamientos exponenciales, sinh/cosh, t·sin/t·cos, δ(t)), con sustitución de parámetros, región de convergencia (p. ej. s > a), nota de derivación y evaluación numérica opcional en un punto s (con verificación de convergencia). Ejemplo: L{e^t} = 1/(s−1), s>1, F(2) = 1.
- [Orden multiplicativo módulo n (orden del elemento)](https://elysiatools.com/es/tools/order-of-element-mod-n): Calcula el orden multiplicativo ord\_n(a) — el menor k ≥ 1 con a^k ≡ 1 (mod n) (exige gcd(a, n) = 1). El algoritmo parte de φ(n) y va retirando factores primos probando a^(ord/p); la salida incluye la tabla de potencias de a, la prueba de minimalidad (a^(k/p) ≢ 1 para cada primo p | k), el subgrupo cíclico generado , y señala si a es raíz primitiva (ord = φ(n)) o alcanza el orden máximo (ord = λ(n)). Clásicos: ord\_7(3) = 6 = φ(7), 3 es raíz primitiva mod 7; ord\_15(2) = 4 < φ(15) = 8.

## Ejemplos

- [Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Web Python](https://elysiatools.com/es/samples/web-image-processing-python): Ejemplos de procesamiento de imágenes Web Python usando PIL/Pillow incluyendo lectura, guardado, redimensionamiento y conversión de formato
- [Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Android Java](https://elysiatools.com/es/samples/android-image-processing-java): Ejemplos de procesamiento de imágenes Android Java incluyendo lectura/escritura, escalado y conversión de formato
- [Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Android Kotlin](https://elysiatools.com/es/samples/android-image-processing-kotlin): Ejemplos de procesamiento de imágenes Android Kotlin incluyendo lectura/escritura, escalado y conversión de formato
- [Ejemplos de Procesamiento de Imágenes Web Rust](https://elysiatools.com/es/samples/web-image-processing-rust): Ejemplos de procesamiento de imágenes Web Rust incluyendo lectura/escritura, escalado y conversión de formato