# Wilson-Theorem-Primzahltest Primzahltest nach dem Wilson-Theorem: (n−1)! ≡ −1 (mod n) genau dann, wenn n prim ist. Der Rest (n−1)! mod n wird Term für Term akkumuliert (n ≤ 10⁷), mit einem deterministischen Miller–Rabin gegengeprüft und für zusammengesetztes n am Faktoriengesetz gemessen (für n > 4 gilt (n−1)! ≡ 0 (mod n), einzige Ausnahme n = 4). Kann die Folge der Zwischenprodukte k! mod n anzeigen (n ≤ 200). > Kanonische Seite: https://elysiatools.com/de/tools/wilson-theorem-checker - **Kategorie:** Math & Numbers - **Schlagwörter:** wilson-theorem, primzahltest, faktorielle, modulare arithmetik, miller-rabin, zahlentheorie, primzahlprüfung ## Überblick Der Wilson-Theorem-Primzahltest prüft die Primzahleigenschaft einer Zahl n anhand des mathematischen Satzes von Wilson, wonach (n−1)! ≡ −1 (mod n) genau dann gilt, wenn n prim ist. Das Werkzeug berechnet den modularen Rest schrittweise für n ≤ 10⁷, gleicht das Ergebnis deterministisch mit dem Miller–Rabin-Test ab und zeigt bei Bedarf die modularen Zwischenprodukte an. ## Eingaben - **Zahl n** (text): 2 ≤ n ≤ 10⁷ (one factorial-modulo pass). - **Detailgrad** (select) ## Wann verwenden - Wenn Sie den Satz von Wilson an konkreten Zahlenbeispielen rechnerisch nachvollziehen möchten. - Wenn Sie das Faktoriengesetz (n−1)! ≡ 0 (mod n) für zusammengesetzte Zahlen n > 4 veranschaulichen wollen. - Wenn Sie die Primzahleigenschaft einer Zahl n ≤ 10⁷ inklusive Zwischenschritten und Gegenprüfung analysieren müssen. ## Funktionsweise - Geben Sie eine Ganzzahl n im Bereich von 2 bis 10⁷ ein. - Wählen Sie den Detailgrad: 'Urteil und Gegenprobe' für das Endergebnis oder 'Zusätzlich Zwischenprodukte anzeigen' für die schrittweise Folge bis n ≤ 200. - Das Tool berechnet (n−1)! mod n iterativ, vergleicht den Rest mit −1 mod n und führt eine Gegenprobe mit einem deterministischen Miller–Rabin-Test durch. ## Anwendungsfälle - Zahlentheoretische Lehre und Demonstration modularer Arithmetik an Universitäten und Schulen. - Überprüfung von Übungsaufgaben zur Fakultätsberechnung modulo n. - Analyse des Verhaltens invarianter Restklassen und Zwischenprodukte k! mod n. ## Häufig gestellte Fragen ### Was besagt der Satz von Wilson? Eine natürliche Zahl n > 1 ist genau dann eine Primzahl, wenn die Fakultät (n−1)! geteilt durch n den Rest n − 1 (also −1 mod n) ergibt. ### Welcher Rest ergibt sich bei zusammengesetzten Zahlen? Für jede zusammengesetzte Zahl n > 4 ergibt (n−1)! mod n den Wert 0; die einzige Ausnahme unter den zusammengesetzten Zahlen ist n = 4 mit einem Rest von 2. ### Bis zu welcher Zahlengröße funktioniert die Berechnung? Die Primzahlprüfung unterstützt Zahlen n bis 10⁷. Die Ausgabe der Zwischenprodukt-Sequenz (Trace) ist auf n ≤ 200 begrenzt. ### Warum wird zusätzlich der Miller–Rabin-Test herangezogen? Der deterministische Miller–Rabin-Test dient als unabhängige Gegenprobe zur Verifikation des Ergebnisses. ### Warum wird der Wilson-Test selten für sehr große Primzahlen genutzt? Die Berechnung der Fakultät erfordert O(n) Multiplikationen, weshalb sie für kryptografisch große Zahlen rechnerisch zu aufwendig ist. ## Ähnliche Tools - [Prüfung vollkommener Zahlen](https://elysiatools.com/de/tools/perfect-number-checker): Prüft, ob n eine vollkommene Zahl ist (gleich der Summe seiner echten Teiler, σ(n) = 2n). Faktorisiert n (≤ 10¹²) durch Probedivision, berechnet σ(n) und die echte Teilersumme über die Primzahlpotenzen-Formel, klassifiziert n als defizient/vollkommen/abundant und gibt den Abundanz-Index σ(n)/n an; für vollkommene Zahlen wird die Euklid–Euler-Form 2^(p−1)·(2^p − 1) rekonstruiert und alle sieben geraden vollkommenen Zahlen bis 10¹² aufgelistet. Kann die echten Teiler auflisten, wenn es ≤ 200 sind. - [Primzahl-Prüfer](https://elysiatools.com/de/tools/prime-number-checker): Überprüft, ob eine Zahl eine Primzahl ist (eine natürliche Zahl größer als 1, die keine positiven Teiler außer 1 und sich selbst hat) - [Tutor für Dimensionsanalyse und Einheitenkürzen](https://elysiatools.com/de/tools/dimensional-analysis-unit-cancellation-tutor): Zerlegt Umrechnungen in schrittweises Factor-Label-Kürzen: zeigt Zähler/Nenner-Einheiten, erkennt umgedrehte Faktoren und gibt didaktisches Feedback bei Dimensionsfehlern und falschen Zahlenantworten. - [PERT-Netzwerk-Analysator (Erwartungsdauer/Varianz)](https://elysiatools.com/de/tools/pert-network-analyzer): PERT-Analyse mit Drei-Punkt-Schätzungen für 2–20 Vorgänge (einer pro Zeile: Name, optimistisch a, wahrscheinlichste m, pessimistisch b, Vorgänger): te = (a+4m+b)/6, σ² = ((b−a)/6)²; das CPM auf den te liefert den kritischen Pfad, die erwartete Projektdauer TE und die Projektvarianz (Summe der σ² auf dem kritischen Pfad); bei Zielzeit T werden Z = (T−TE)/σ und die Fertigstellungswahrscheinlichkeit Φ(Z) per Normalapproximation berechnet. Verletzungen von a≤m≤b und Zyklen werden abgelehnt; deterministische Netze (σ≈0) ohne Division durch null. Klassiker: A(2,4,6), B(3,5,7), C(2,3,10), D(4,6,8, B C) → TE = 15, σ² = 1.3333, P(T=16) ≈ 80.7 %. - [M/M/1-Warteschlangenrechner](https://elysiatools.com/de/tools/queuing-theory-mm1): Berechnet die Kennzahlen des M/M/1-Warteschlangensystems im stationären Zustand: Poisson-Ankünfte (Rate λ), exponentielle Bedienung (Rate μ), FCFS. Setzt λ < μ voraus, sonst ist das System instabil und die Eingabe wird abgelehnt. Ausgegeben werden Auslastung ρ, Leerlaufwahrscheinlichkeit P0, die mittleren Anzahlen L (im System) und Lq (in der Warteschlange), die mittleren Zeiten W und Wq, die Wartewahrscheinlichkeit ρ sowie die Zustandswahrscheinlichkeiten P(n) = (1−ρ)ρⁿ (n = 0…5), kreuzgeprüft mit Littles Gesetz L = λW, Lq = λWq. Klassiker: λ = 4/h, μ = 6/h → ρ = 0.6667, L = 2, Lq = 1.3333, W = 0.5, Wq = 0.3333. - [M/M/c-Warteschlangenrechner (mehrere Server)](https://elysiatools.com/de/tools/queuing-theory-mmc): Berechnet die Kennzahlen des Multiserver-Warteschlangensystems M/M/c (Poisson-Ankünfte mit Rate λ, c identische exponentielle Server mit Rate μ, eine gemeinsame FCFS-Warteschlange): angebotene Last a = λ/μ, Auslastung pro Server ρ, Leerlaufwahrscheinlichkeit P0, Erlang-C-Wartewahrscheinlichkeit Pw, mittlere Anzahlen Lq und L, mittlere Zeiten W und Wq, kreuzgeprüft mit Littles Gesetz und der Beziehung Pw→Lq. Setzt λ < cμ voraus (sonst Ablehnung als instabil); mit c = 1 reduzieren sich die Formeln auf M/M/1. Klassiker: λ = 6/h, μ = 3/h, c = 3 → P0 = 0.1111, Pw = 0.4444, Lq = 0.8889, L = 2.8889. - [Kombinationsrechner](https://elysiatools.com/de/tools/combination-calculator): Berechne Kombinationen (C(n,r)) mit Unterstützung für verschiedene Typen: mit/ohne Wiederholung, Binomialkoeffizienten. - [Komplexe-Zahlen-Rechner](https://elysiatools.com/de/tools/complex-number-calculator): Fuehrt strukturierte Operationen und Analysen fuer komplexe Zahlen in algebraischer und polarer Form aus ## Beispiele - [Android Java Bildverarbeitungsbeispiele](https://elysiatools.com/de/samples/android-image-processing-java): Android Java Bildverarbeitungsbeispiele einschließlich Lesen/Schreiben, Skalierung und Formatkonvertierung - [Android Kotlin Bildverarbeitungsbeispiele](https://elysiatools.com/de/samples/android-image-processing-kotlin): Android Kotlin Bildverarbeitungsbeispiele einschließlich Lesen/Schreiben, Skalierung und Formatkonvertierung - [Web Python Bildverarbeitung Beispiele](https://elysiatools.com/de/samples/web-image-processing-python): Web Python Bildverarbeitungsbeispiele mit PIL/Pillow einschließlich Lesen, Speichern, Skalieren und Formatkonvertierung - [Web Rust Bildverarbeitungsbeispiele](https://elysiatools.com/de/samples/web-image-processing-rust): Web Rust Bildverarbeitungsbeispiele einschließlich Lesen/Schreiben, Skalierung und Formatkonvertierung