# Transportproblem-Löser (Min-Kosten-Fluss)

Löst das ausgeglichene Transportproblem als Min-Kosten-Fluss (2–8 Quellen × 2–8 Ziele; Gesamtangebot = Gesamtnachfrage ist erforderlich): jede Augmentierung läuft über den kürzesten Weg im Residualnetz (SPFA verträgt negative Kosten residualer Kanten), und die negierten kumulierten Kurzstrecken sind genau die MODI-Dualen (u_i, v_j). Ausgegeben werden jeder Augmentierungspfad, der vollständige Versandplan, Zeilen-/Spaltensummen und die Matrix der reduzierten Kosten mit Optimalitätszertifikat (alle ≥ 0, = 0 auf Basiszellen). Klassiker: Angebote [30,40,30], Bedarfe [20,30,30,20], Kosten [[2,3,1,4],[4,2,5,3],[3,1,4,2]] → minimale Gesamtkosten 200.

> Kanonische Seite: https://elysiatools.com/de/tools/transportation-problem

- **Kategorie:** Math & Numbers

- **Schlagwörter:** transportproblem, min-kosten-fluss, modi-verfahren, uv-methode, dualvariablen, operations research, logistik, versandplan, angebot nachfrage

## Überblick

Der Transportproblem-Löser berechnet den kostenminimalen Versandplan für ausgeglichene Transportprobleme mit 2 bis 8 Quellen und 2 bis 8 Zielen mittels Min-Kosten-Fluss. Das Tool ermittelt die schrittweisen Augmentierungspfade im Residualnetzwerk, liefert den vollständigen Belegungsplan sowie Zeilen- und Spaltensummen und validiert das Ergebnis mit MODI-Dualvariablen und einem Optimalitätszertifikat über reduzierte Kosten.

## Eingaben

- **Kostenmatrix (Zeilen = Quellen, eine pro Zeile)** (textarea): Unit shipping cost from each source (row) to each destination (column). 2–8 rows × 2–8 columns.
- **Angebot (pro Quelle)** (text): Amount available at each source, one per matrix row (non-negative).
- **Bedarf (pro Ziel)** (text): Amount required at each destination, one per matrix column (non-negative).
- **Dezimalstellen** (number)

## Wann verwenden

- Wenn Gütermengen von mehreren Produktions- oder Lagerstandorten kostenoptimal auf mehrere Zielorte verteilt werden müssen.
- Zur Verifikation und Schritt-für-Schritt-Nachvollziehbarkeit von Aufgaben aus dem Operations Research (MODI-/UV-Methode und Min-Kosten-Fluss).
- Wenn ein mathematischer Optimalitätsnachweis anhand reduzierter Kosten und Dualvariablen benötigt wird.

## Funktionsweise

- Sie geben die Einheitskostenmatrix, die Angebotsmengen je Quelle und die Bedarfsmengen je Zielort kommagetrennt ein.
- Der Algorithmus prüft das Gleichgewicht von Gesamtangebot und Gesamtnachfrage und sucht sukzessive kürzeste Wege im Residualnetzwerk (SPFA).
- Nach vollständiger Deckung aller Bedarfe werden die MODI-Dualen (u_i, v_j) berechnet und die reduzierten Kosten auf Optimalität geprüft.
- Das System gibt den finalen Versandplan, die minimalen Gesamtkosten, Zwischenschritte der Augmentierung und die Prüfmatrix aus.

## Anwendungsfälle

- Optimierung von Transportkosten zwischen Zentrallagern und regionalen Distributionszentren.
- Lösung von Zuweisungs- und Umlagerungsaufgaben im Supply Chain Management.
- Lehr- und Übungszwecke in Vorlesungen zu Operations Research, linearer Optimierung und Graphentheorie.

## Häufig gestellte Fragen

### Was bedeutet ein ausgeglichenes Transportproblem?

Die Summe aller verfügbaren Einheiten (Gesamtangebot) muss exakt der Summe aller angeforderten Einheiten (Gesamtnachfrage) entsprechen.

### Welche Matrixdimensionen werden unterstützt?

Das Werkzeug unterstützt Matrizen von 2 bis 8 Quellen (Zeilen) und 2 bis 8 Zielen (Spalten).

### Wie wird die Optimalität der Lösung nachgewiesen?

Durch die reduzierten Kosten: Alle Werte müssen größer oder gleich 0 sein und auf den genutzten Basiszellen exakt 0 betragen.

### Können die Kostenwerte Kommazahlen enthalten?

Ja, Kosten sowie Angebots- und Bedarfswerte können mit Dezimalstellen angegeben und in der Genauigkeit konfiguriert werden.

### Was passiert bei einem unausgeglichenen Problem?

Ist das Angebot ungleich der Nachfrage, muss vorab eine fiktive Quelle oder ein fiktives Ziel (Dummy) ergänzt werden, um Gleichstand herzustellen.

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