# Löser für lineare DGL 2. Ordnung (charakteristische Gleichung) Löst a·y'' + b·y' + c·y = f(x): Wurzeln der charakteristischen Gleichung ar² + br + c = 0, homogene Lösung nach Diskriminante klassifiziert (zwei verschiedene reelle / doppelte / konjugiert komplexe Wurzeln) und partikuläre Lösung per Ansatz unbestimmter Koeffizienten mit Resonanz (ist k Wurzel, wird der Ansatz mit x^m multipliziert). Konstanten, Polynome, A·e^(kx) und A·sin(kx)+B·cos(kx) werden unterstützt; mit y(x₀) und y'(x₀) bestimmen C1, C2 ein 2×2-System. Klassiker: y''−3y'+2y=0, y(0)=1, y'(0)=0 → y = −e^(2x)+2e^x. > Kanonische Seite: https://elysiatools.com/de/tools/second-order-ode-solver - **Kategorie:** Math & Numbers - **Schlagwörter:** dgl zweiter ordnung, charakteristische gleichung, unbestimmte koeffizienten, homogene lösung, resonanz, gedämpfter oszillator, anfangswertproblem, differentialgleichungen, analysis ## Überblick Dieser Online-Rechner löst lineare gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten der Form a·y'' + b·y' + c·y = f(x). Das Tool ermittelt die Wurzeln der charakteristischen Gleichung, klassifiziert die homogene Lösung nach der Diskriminante und berechnet die partikuläre Lösung über den Ansatz unbestimmter Koeffizienten inklusive Resonanzfall. Bei Angabe von Anfangswerten y(x₀) und y'(x₀) wird die exakte partikuläre Lösung des Anfangswertproblems berechnet. ## Eingaben - **Koeffizient a (y'')** (number): Coefficient of y'' (must be nonzero). - **Koeffizient b (y')** (number): Coefficient of y'. - **Koeffizient c (y)** (number): Coefficient of y. - **Störglied f(x)** (select) - **F (Konstante)** (number): Used when forcing = Constant. - **Polynomkoeffizienten (Konstante zuerst)** (text): Comma-separated coefficients, constant term first (degree ≤ 5). Used when forcing = Polynomial. - **A (Amplitude)** (number): Used when forcing = Exponential. - **k (Rate)** (number): Used when forcing = Exponential. - **A (Sinusamplitude)** (number): Used when forcing = Sine/cosine. - **B (Kosinusamplitude)** (number): Used when forcing = Sine/cosine. - **k (Kreisfrequenz)** (number): Used when forcing = Sine/cosine. - **x₀ (Anfangs-x)** (number): Initial point (used with y₀ and y'₀). - **y₀ = y(x₀)** (number): Provide together with y'₀ to pin down C1, C2. - **y'₀ = y'(x₀)** (number): Initial derivative (both or neither of y₀, y'₀). ## Wann verwenden - Wenn Sie homogene oder inhomogene lineare DGLs 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten analytisch lösen müssen. - Wenn Sie den Dämpfungsfall (Schwingfall, Kriechfall, aperiodischer Grenzfall) eines physikalischen Oszillators analysieren möchten. - Wenn Sie ein Anfangswertproblem mit gegebenen Startwerten y(x₀) und y'(x₀) auflösen müssen, um die Integrationskonstanten C1 und C2 zu bestimmen. ## Funktionsweise - Geben Sie die Koeffizienten a (≠ 0), b und c für den Differentialoperator ein. - Wählen Sie die Störfunktion f(x) (homogen, Konstante, Polynom, Exponentialfunktion oder Sinus/Kosinus) und tragen Sie die zugehörigen Parameter ein. - Geben Sie optional die Anfangsbedingungen x₀, y(x₀) und y'(x₀) ein, um die Integrationskonstanten C1 und C2 direkt zu ermitteln. - Das Tool berechnet die Diskriminante, die Nullstellen des charakteristischen Polynoms, die homogene sowie partikuläre Lösung und gibt die Gesamtlösung schrittweise aus. ## Anwendungsfälle - Berechnung von Schwingungsdifferentialgleichungen für mechanische Feder-Masse-Dämpfer-Systeme oder RLC-Schwingkreise in der Elektrotechnik. - Überprüfung von Übungsaufgaben und analytischen Lösungsschritten in Höherer Mathematik und Ingenieurmathematik. - Exakte Bestimmung des Einschwingverhaltens und der Resonanzkatastrophe bei harmonischer Anregung. ## Häufig gestellte Fragen ### Welche Störglieder f(x) werden unterstützt? Unterstützt werden homogene Gleichungen f(x)=0, konstante Werte, Polynome bis zum Grad 5, Exponentialfunktionen A·e^(kx) sowie trigonometrische Terme A·sin(kx) + B·cos(kx). ### Wie wird Resonanz bei der partikulären Lösung berücksichtigt? Stimmt ein Koeffizient der Störfunktion mit einer Wurzel der charakteristischen Gleichung überein, multipliziert das Tool den Ansatz unbestimmter Koeffizienten automatisch mit x bzw. x². ### Welche Fälle der homogenen Lösung werden unterschieden? Je nach Vorzeichen der Diskriminante Δ = b² − 4ac: zwei verschiedene reelle Wurzeln (Δ > 0), eine doppelte reelle Wurzel (Δ = 0) oder konjugiert komplexe Wurzeln (Δ < 0). ### Müssen immer beide Anfangsbedingungen angegeben werden? Ja, zur Bestimmung der beiden Konstanten C1 und C2 müssen sowohl y(x₀) als auch y'(x₀) für denselben Punkt x₀ eingegeben werden. Ohne Anfangswerte verbleiben C1 und C2 in der allgemeinen Lösung. ### Darf der Koeffizient a gleich null sein? Nein, Koeffizient a gehört zur zweiten Ableitung y'' und muss ungleich null sein, damit eine DGL 2. Ordnung vorliegt. ## Ähnliche Tools - [Inverse-Laplace-Transformationsrechner (Partialbrüche)](https://elysiatools.com/de/tools/inverse-laplace-calculator): Berechnet die inverse Laplace-Transformierte von F(s) = N(s)/D(s) (echt gebrochen, Nennergrad ≤ 6): Wurzeln des Nenners, nach Vielfachheit und konjugierten Paaren gruppiert, Partialbruchzerlegung per linearem Koeffizientensystem und gliedweise Rücktransformation mit den Standardpaaren (A/(s−r)→Ae^(rt), A/(s−r)^j→At^(j−1)e^(rt)/(j−1)!, (Bs+C)/((s−α)²+β²)→e^(αt)\[Bcos(βt)+…sin(βt)\]). Klassiker: 1/(s²+3s+2) → e^(−t)−e^(−2t); (3s+5)/(s²+4) → 3cos(2t)+2,5sin(2t). - [Laplace-Transformationsrechner (Paar-Tabelle)](https://elysiatools.com/de/tools/laplace-transform-calculator): Liefert per Tabelle die Laplace-Transformierte F(s) = ∫₀^∞ e^(−st)f(t)dt: 14 Standardpaare (1, t, tⁿ, e^(at), tⁿe^(at), sin/cos(kt) mit exponentieller Verschiebung, sinh/cosh, t·sin/t·cos, δ(t)), mit Parametereinsetzung, Konvergenzbereich (z. B. s > a), Herleitungshinweis und optionaler numerischer Auswertung an einer Stelle s (mit Konvergenzprüfung). Beispiel: L{e^t} = 1/(s−1), s>1, F(2) = 1. - [Partialbruchzerlegungs-Rechner (rationale Funktionen)](https://elysiatools.com/de/tools/partial-fraction-decomposer): Zerlegt die rationale Funktion F(x) = N(x)/D(x) in Partialbrüche (Nennergrad ≤ 6, Zähler ≤ 8; unechte Brüche werden zuerst durch Polynomdivision geteilt): Wurzeln des Nenners nach Durand–Kerner, gruppiert nach Vielfachheit und konjugierten Paaren, exaktes lineares Koeffizientensystem für Terme A/(x−r)^j und (Bx+C)/((x−α)²+β²) sowie numerische Restprüfung an algebraischen Testpunkten. Klassiker: (3x+5)/(x²+3x+2) = 2/(x+1) + 1/(x+2); (x³+2x)/(x²+1) = x + x/(x²+1); 1/(x(x+1)²) = 1/x − 1/(x+1) − 1/(x+1)². - [Z-Transformationsrechner (diskrete Systeme)](https://elysiatools.com/de/tools/z-transform-calculator): Liefert per Tabelle die einseitige Z-Transformierte X(z) = Σₙ₌₀^∞ x\[n\]·z^(−n): 11 Standardpaare (δ\[n\], u\[n\], aⁿ, n, n², n·aⁿ, sin/cos(ω₀n), aⁿ·sin/aⁿ·cos, (−1)ⁿ), mit Parametereinsetzung, Konvergenzbereich |z| > R, Herleitungshinweis und optionaler numerischer Auswertung an einer Stelle z (mit Konvergenzprüfung). Beispiel: Z{0.5ⁿ} = z/(z−0.5), |z| > 0.5, X(2) = 4/3. - [Betragsrechner](https://elysiatools.com/de/tools/absolute-value-calculator): Berechnet den Betrag positiver, negativer oder dezimaler Zahlen und erklaert ihren Abstand zu null - [Luftwechselraten-Rechner ACH (n = Q/V)](https://elysiatools.com/de/tools/air-changes-per-hour): Berechnet die Luftwechselrate n=Q/V (1/h) aus Außenluft-Volumenstrom Q und Raumvolumen V. Drei Modi: n (Q,V), Volumenstrom (n,V) oder Volumen (n,Q). Volumenstrom in m³/s/m³/h/CFM, Volumen in m³/ft³/L. Liefert die Zeit zum Erreichen des Lüftungsziels (Restanteil, Standard 1%) nach dem ideal durchmischten Modell: t=−ln(ε)/n. - [Wälzlager-Lebensdauer-L10-Rechner](https://elysiatools.com/de/tools/bearing-life-l10): Berechnet die nominelle Lebensdauer L10 = (C/P)^p eines Wälzlagers. Kugel p=3, Rolle p=10/3. Mit Drehzahl als L10h in Stunden. - [Schraubenmoment-Vorspannkraft-Rechner](https://elysiatools.com/de/tools/bolt-torque-clamp-force): Rechnet zwischen Anzugsdrehmoment und axialer Vorspannkraft einer Schraube um. T = K·F·d, K ist der Muttenfaktor (≈0.20 trockener Stahl). Moment aus Kraft oder Kraft aus Moment. ## Beispiele - [Web Python Bildverarbeitung Beispiele](https://elysiatools.com/de/samples/web-image-processing-python): Web Python Bildverarbeitungsbeispiele mit PIL/Pillow einschließlich Lesen, Speichern, Skalieren und Formatkonvertierung - [Android Java Bildverarbeitungsbeispiele](https://elysiatools.com/de/samples/android-image-processing-java): Android Java Bildverarbeitungsbeispiele einschließlich Lesen/Schreiben, Skalierung und Formatkonvertierung - [Android Kotlin Bildverarbeitungsbeispiele](https://elysiatools.com/de/samples/android-image-processing-kotlin): Android Kotlin Bildverarbeitungsbeispiele einschließlich Lesen/Schreiben, Skalierung und Formatkonvertierung - [Web Rust Bildverarbeitungsbeispiele](https://elysiatools.com/de/samples/web-image-processing-rust): Web Rust Bildverarbeitungsbeispiele einschließlich Lesen/Schreiben, Skalierung und Formatkonvertierung ## Verwandte Inhalte - [Tools fur Audio-Encoding und Formatkonvertierung](https://elysiatools.com/de/hubs/audio-convert): Vergleiche Audioformat-Konvertierung, Bitratenanderungen, Abtastraten-Konvertierung, Codec-Wechsel und Export-Tools in einem Hub. - [Tools fur Bildformat-Konvertierung und animierten Export](https://elysiatools.com/de/hubs/image-convert): Vergleiche Bildkonverter fur JPG, PNG, GIF, AVIF, WebP, TIFF, ICO, base64 und animationsgeeignete Exporte in einem Hub. - [Tools fur JSON-Austausch und Format-Ubersetzung](https://elysiatools.com/de/hubs/json-convert): Vergleiche JSON-Konvertierungswerkzeuge fur CSV, YAML, TOML, GraphQL, XML, Markdown, Excel, BSON, EDN und ahnliche strukturierte Formate in einem Hub. - [Farbraum-Konvertierung fur Web und Druck](https://elysiatools.com/de/hubs/design-convert): Gebundelte Werkzeuge fur Farbraum-Konvertierung zwischen Web und Druck in einem Hub.