# Numerischer Löser Runge-Kutta 4. Ordnung (RK4) Löst dy/dx = f(x,y), y(x₀)=y₀ mit dem klassischen Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung: pro Schritt werden vier Steigungen k1–k4 berechnet und y_{n+1} = y_n + h/6·(k1+2k2+2k3+k4) aktualisiert; globaler Fehler O(h⁴) — halbiertes h teilt den Fehler ungefähr durch 16. Liefert die Schrittabelle, die k1–k4-Werte der ersten Schritte und die Endschätzung; die optionale exakte Lösung y(x) ergibt eine Fehlerspalte. Beispiel: dy/dx = y, y(0)=1, h=0,1 → y(1) ≈ 2,718282, fast exakt e. > Kanonische Seite: https://elysiatools.com/de/tools/runge-kutta-rk4-solver - **Kategorie:** Math & Numbers - **Schlagwörter:** runge kutta, rk4, runge-kutta 4. ordnung, numerische dgl, numerische integration, anfangswertproblem, schrittweite, analysis ## Überblick Der Runge-Kutta-RK4-Löser berechnet numerische Lösungen für gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung der Form dy/dx = f(x, y) mit gegebener Anfangsbedingung y(x₀) = y₀. Das klassische vierstufige Verfahren zeichnet sich durch einen globalen Fehler der Ordnung O(h⁴) aus und liefert eine detaillierte Schritttabelle inklusive der Zwischensteigungen k₁ bis k₄ sowie einen optionalen Vergleich mit einer analytischen Lösung. ## Eingaben - **f(x, y) in dy/dx = f(x, y)** (text): Right-hand side in terms of x and y (functions: sin, cos, exp, ln, sqrt, …). Write products with *, e.g. x*y. - **x₀ (Anfangs-x)** (number): e.g. 0 - **y₀ = y(x₀)** (number): e.g. 1 - **Ziel-x** (number): Must be greater than x₀. - **Schrittanzahl n** (number): h = (target x − x₀)/n. More steps → smaller error, O(h⁴) globally. - **Exakte Lösung y(x) (optional)** (text): Exact solution in x, used to add an error column. Leave empty to skip. - **Dezimalstellen** (number) ## Wann verwenden - Wenn eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung nicht analytisch lösbar ist und eine präzise numerische Näherung benötigt wird. - Wenn die Genauigkeit von einfacheren Methoden wie dem Euler-Verfahren nicht ausreicht und eine Konvergenzordnung von O(h⁴) erforderlich ist. - Wenn für Übungsaufgaben oder Validierungen die exakten Zwischensteigungen k₁, k₂, k₃ und k₄ pro Schritt nachvollzogen werden müssen. ## Funktionsweise - Geben Sie die rechte Seite der Differentialgleichung f(x, y), den Anfangspunkt (x₀, y₀) sowie den Zielwert für x ein. - Legen Sie die Schrittanzahl fest, woraus sich die Schrittweite h = (Ziel-x - x₀) / n ergibt, und tragen Sie optional die analytische Vergleichsfunktion y(x) ein. - Für jedes Intervall berechnet der Algorithmus vier Hilfssteigungen: k₁ = f(x, y), k₂ = f(x + h/2, y + h·k₁/2), k₃ = f(x + h/2, y + h·k₂/2) und k₄ = f(x + h, y + h·k₃). - Der neue Wert y_{n+1} wird über die gewichtete Mittelung y_{n+1} = y_n + (h/6) · (k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄) bestimmt und zusammen mit dem Fehler in der Ausgabetabelle angezeigt. ## Anwendungsfälle - Numerische Simulation von Abkühlungs- oder Erwärmungsprozessen nach dem newtonschen Abkühlungsgesetz. - Berechnung von Zerfallsprozessen oder Populationsdynamiken mit nichtlinearen Wachstumsraten. - Verifikation von manuellen Hausaufgaben-Berechnungen in Numerik- und Ingenieurvorlesungen. ## Häufig gestellte Fragen ### Welche mathematischen Funktionen können in f(x, y) genutzt werden? Es werden Standardfunktionen wie sin, cos, exp, ln, sqrt sowie grundlegende Rechenoperationen unterstützt; Multiplikationen müssen explizit mit * geschrieben werden. ### Was bedeutet der globale Fehler O(h⁴)? Wird die Schrittweite h halbiert (z. B. durch Verdopplung der Schrittanzahl), verringert sich der globale Diskretisierungsfehler näherungsweise um den Faktor 16 (2⁴). ### Muss die exakte Lösung angegeben werden? Nein, das Feld für die exakte Lösung ist optional. Wird es ausgefüllt, berechnet das Tool zusätzlich den absoluten Fehler zu jedem Schritt. ### Darf der Zielwert kleiner als x₀ sein? Nein, der Zielwert für x muss größer als der Anfangswert x₀ sein, damit vorwärts integriert werden kann. ### Wie wird die Schrittweite h bestimmt? Die Schrittweite berechnet sich automatisch aus der Differenz zwischen Ziel-x und Anfangs-x geteilt durch die gewählte Schrittanzahl n. ## Ähnliche Tools - [Löser für DGL 1. Ordnung (Variablentrennung)](https://elysiatools.com/de/tools/first-order-ode-solver): Löst dy/dx = g(x)·h(y) durch Variablentrennung: trennen, gliedweise integrieren zu H(y) = G(x) + C und, wenn möglich, nach y auflösen. Unterstützt eintermige h(y) (y, y^n, e^(ky), ky+m) und per Partialbruchzerlegung behandelbare quadratische Polynome (etwa die logistische Gleichung y(1−y)); mit Anfangsbedingung y(x₀)=y₀ wird C berechnet und Gleichgewichtslösungen erkannt. Beispiel: dy/dx = 2x·y → y = e^(x²+C). - [Newton-Raphson-Nullstellenrechner](https://elysiatools.com/de/tools/newton-raphson-root-finder): Löst f(x) = 0 mit der Newton-Raphson-Iteration x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f'(x_k): Die Ableitung kann analytisch angegeben werden (bleibt das Feld leer, wird eine numerische zentrale Differenz verwendet); ausgegeben werden die Iterationstabelle (x_k und f(x_k)), das Abbruchkriterium (|f| < Toleranz oder |Δx| < Toleranz·max(1,|x|)), die Iterationszahl und das endgültige |f(Wurzel)|. Klassiker: x²−2 konvergiert von x₀=1 in 4 Schritten gegen √2 ≈ 1.4142135624; cos(x)−x konvergiert gegen die Dottie-Zahl 0.7390851332. Nullableitung, divergierende Schritte oder das Überschreiten des Iterationslimits werden explizit gemeldet. - [Simpson-Regel-Integrator (∫f(x)dx)](https://elysiatools.com/de/tools/numerical-integration-simpson): Berechnet ∫ₐᵇ f(x)dx mit der zusammengesetzten Simpson-1/3-Regel (n gerade): S = h/3·(f(a) + 4Σungerade Knoten + 2Σgerade innere Knoten + f(b)), Fehler O(h⁴), exakt für Polynome vom Grad ≤ 3. Knotentabelle, Schätzung und optionaler Vergleich mit dem exakten Wert. Beispiele: ∫₀¹x²dx mit n=4 ergibt 0,333333 (exakt!); ∫₀¹e^(−x²)dx (ohne elementare Stammfunktion) mit n=10 ergibt 0,746825. - [Trapezregel-Integrator (∫f(x)dx)](https://elysiatools.com/de/tools/numerical-integration-trapezoid): Berechnet ∫ₐᵇ f(x)dx mit der zusammengesetzten Trapezregel: T = h/2·(f(a) + 2Σf(xᵢ) + f(b)), mit Knotentabelle, Integral-Schätzung und optionalem Vergleich mit exaktem Wert und absolutem Fehler; Fehler O(h²) (exakt für lineare Funktionen). Beispiel: ∫₀¹x²dx mit n=4 ergibt 0,34375 gegenüber exakt 1/3, Fehler 0,010417. - [Reihenkonvergenz-Tester (Quotienten-/Wurzel-/Integral-/Vergleichskriterium)](https://elysiatools.com/de/tools/series-convergence-tester): Untersucht die Konvergenz der Reihe Σ aₙ (aₙ als Ausdruck von n): nacheinander werden das Notwendigkeitskriterium (aₙ → 0?), das Quotientenkriterium L = |aₙ₊₁/aₙ|, das Wurzelkriterium ρ = |aₙ|^(1/n), der Vergleich mit p-Reihen (p = −ln|a(N)|/ln N) und das Integralkriterium (numerisches Simpson + Dekaden-Wachstumsvergleich) angewendet; alternierende Reihen werden automatisch erkannt und per Leibniz-Kriterium klassifiziert, und für konvergente Reihen wird die Summe geschätzt (Partialsumme + geometrischer oder potenzgesetzlicher Rest). Klassiker: Σ1/n² konvergiert (p≈2, Summe≈1.6449); Σ1/n divergiert (harmonisch); Σ0.5ⁿ konvergiert; Σcos(πn)/n konvergiert bedingt (Summe≈−ln2). - [Schiefe-Analysator](https://elysiatools.com/de/tools/skewness-analyzer): Datenschiefe analysieren, um die Asymmetrie der Wahrscheinlichkeitsverteilung zu messen und Datenmuster zu identifizieren - [Faltungsintegral-Rechner (numerisch)](https://elysiatools.com/de/tools/convolution-integral-calculator): Berechnet numerisch die Faltung zweier Signale (f*g)(t) = ∫ f(τ)g(t−τ)dτ: Kausalmodus (beide Signale null für t<0, Integral über \[max(τmin,0), min(τmax,t)\] — passend zu Laplace-Bereichsprodukten) und direkter Fenstermodus (Integral über das gesamte \[τmin, τmax\] — passend zu beidseitigen Signalen wie Gaußkurven), mittels zusammengesetzter Simpson-Regel (standardmäßig 2000 Intervalle). Klassiker: e^(−t)*e^(−2t) = e^(−t)−e^(−2t), bei t=1 gleich 0.2325; zwei Gaußkurven falten sich zu √(π/2)·e^(−t²/2). - [Numerischer Löser mit Euler-Verfahren (DGL 1. Ordnung)](https://elysiatools.com/de/tools/euler-method-solver): Löst das Anfangswertproblem dy/dx = f(x,y), y(x₀)=y₀ mit dem expliziten Euler-Verfahren: y_{n+1} = y_n + h·f(x_n, y_n), mit Schrittabelle und Endschätzung. Die optionale exakte Lösung y(x) ergibt eine Fehlerspalte, die den globalen Fehler O(h) der Methode 1. Ordnung zeigt. Beispiel: dy/dx = y, y(0)=1, h=0,1 → y(1) ≈ 1,1¹⁰ = 2,593742 gegenüber e = 2,718282 (Fehler 0,124539). ## Beispiele - [Web Python Bildverarbeitung Beispiele](https://elysiatools.com/de/samples/web-image-processing-python): Web Python Bildverarbeitungsbeispiele mit PIL/Pillow einschließlich Lesen, Speichern, Skalieren und Formatkonvertierung - [Android Java Bildverarbeitungsbeispiele](https://elysiatools.com/de/samples/android-image-processing-java): Android Java Bildverarbeitungsbeispiele einschließlich Lesen/Schreiben, Skalierung und Formatkonvertierung - [Android Kotlin Bildverarbeitungsbeispiele](https://elysiatools.com/de/samples/android-image-processing-kotlin): Android Kotlin Bildverarbeitungsbeispiele einschließlich Lesen/Schreiben, Skalierung und Formatkonvertierung - [Web Rust Bildverarbeitungsbeispiele](https://elysiatools.com/de/samples/web-image-processing-rust): Web Rust Bildverarbeitungsbeispiele einschließlich Lesen/Schreiben, Skalierung und Formatkonvertierung ## Verwandte Inhalte - [Tools fur Audio-Encoding und Formatkonvertierung](https://elysiatools.com/de/hubs/audio-convert): Vergleiche Audioformat-Konvertierung, Bitratenanderungen, Abtastraten-Konvertierung, Codec-Wechsel und Export-Tools in einem Hub. - [Tools fur Bildformat-Konvertierung und animierten Export](https://elysiatools.com/de/hubs/image-convert): Vergleiche Bildkonverter fur JPG, PNG, GIF, AVIF, WebP, TIFF, ICO, base64 und animationsgeeignete Exporte in einem Hub. - [Tools fur JSON-Austausch und Format-Ubersetzung](https://elysiatools.com/de/hubs/json-convert): Vergleiche JSON-Konvertierungswerkzeuge fur CSV, YAML, TOML, GraphQL, XML, Markdown, Excel, BSON, EDN und ahnliche strukturierte Formate in einem Hub. - [Farbraum-Konvertierung fur Web und Druck](https://elysiatools.com/de/hubs/design-convert): Gebundelte Werkzeuge fur Farbraum-Konvertierung zwischen Web und Druck in einem Hub.