# M/M/c-Warteschlangenrechner (mehrere Server) Berechnet die Kennzahlen des Multiserver-Warteschlangensystems M/M/c (Poisson-Ankünfte mit Rate λ, c identische exponentielle Server mit Rate μ, eine gemeinsame FCFS-Warteschlange): angebotene Last a = λ/μ, Auslastung pro Server ρ, Leerlaufwahrscheinlichkeit P0, Erlang-C-Wartewahrscheinlichkeit Pw, mittlere Anzahlen Lq und L, mittlere Zeiten W und Wq, kreuzgeprüft mit Littles Gesetz und der Beziehung Pw→Lq. Setzt λ < cμ voraus (sonst Ablehnung als instabil); mit c = 1 reduzieren sich die Formeln auf M/M/1. Klassiker: λ = 6/h, μ = 3/h, c = 3 → P0 = 0.1111, Pw = 0.4444, Lq = 0.8889, L = 2.8889. > Kanonische Seite: https://elysiatools.com/de/tools/queuing-theory-mmc - **Kategorie:** Math & Numbers - **Schlagwörter:** warteschlangentheorie, mmc, m/m/c, multiserver-warteschlange, erlang c, wartewahrscheinlichkeit, littles gesetz, callcenter-besetzung, poisson-ankünfte, operations research ## Überblick Der M/M/c-Warteschlangenrechner ermittelt die stationären Leistungskennzahlen für mehrkanalige Wartesysteme mit Poisson-Ankünften, exponentiellen Bedienzeiten und gemeinsamer FCFS-Warteschlange. Auf Basis der Erlang-C-Formel und Littles Gesetz berechnet das Tool Größen wie die Serverauslastung, die Leerlaufwahrscheinlichkeit, die Wartewahrscheinlichkeit sowie durchschnittliche Schlangenlängen und Wartezeiten. ## Eingaben - **Ankunftsrate λ (pro Zeiteinheit)** (number): Average arrivals per time unit (Poisson process). Must be below c·μ. - **Bedienungsrate μ (pro Server, pro Zeiteinheit)** (number): Average services per time unit for each of the c servers. - **Server (c)** (number): Number of parallel identical servers (1–20). c = 1 reproduces the M/M/1 formulas. - **Dezimalstellen** (number) ## Wann verwenden - Wenn die optimale Anzahl paralleler Schalter, Agenten oder Server für ein bekanntes Anruf- oder Kundenaufkommen ermittelt werden soll. - Wenn Engpässe und Wartezeiten in bestehenden Mehrkanalsystemen analytisch bewertet und optimiert werden müssen. - Wenn im Rahmen von Operations Research oder Service-Design Leistungsdaten wie Auslastung und Warteschlangenlänge schnell berechnet werden sollen. ## Funktionsweise - Geben Sie die durchschnittliche Ankunftsrate λ pro Zeiteinheit sowie die Bedienrate μ je einzelnem Server ein. - Legen Sie die Anzahl der parallelen Server c (zwischen 1 und 20) und die gewünschte Anzahl an Dezimalstellen fest. - Das Tool prüft die Stabilitätsbedingung λ < c·μ und ermittelt die Lastkenngrößen a und ρ. - Über die Erlang-C-Formel werden P0, Pw, die mittleren Anzahlen (Lq, L) und Verweilzeiten (Wq, W) exakt ausgegeben. ## Anwendungsfälle - Personal- und Schichtplanung in Callcentern zur Einhaltung von Zielwartezeiten. - Dimensionierung von Kassen- und Schaltersystemen in Banken, Behörden oder Supermärkten. - Kapazitätsplanung für Webserver-Cluster und Microservices mit parallelen Worker-Threads. ## Häufig gestellte Fragen ### Was passiert, wenn die Ankunftsrate λ größer oder gleich c·μ ist? Das System gilt als instabil, da mehr Anfragen eintreffen als bedient werden können. In diesem Fall wächst die Warteschlange theoretisch unendlich und es können keine stationären Kennzahlen berechnet werden. ### Was unterscheidet das M/M/c-Modell vom M/M/1-Modell? Beim M/M/c-Modell teilen sich Kunden eine gemeinsame Schlange, werden aber von c parallelen Servern bedient. Setzt man c = 1, entsprechen die Ergebnisse exakt dem M/M/1-Wartesystem. ### Was sagt der Erlang-C-Wert (Pw) aus? Pw gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein neu ankommender Kunde nicht sofort bedient werden kann und in der Warteschlange warten muss. ### Welche Zeiteinheiten müssen für λ und μ verwendet werden? Beide Raten müssen sich auf dieselbe Zeiteinheit beziehen, beispielsweise Kunden pro Stunde oder Anfragen pro Sekunde. ### Wie hängen Lq und Wq miteinander zusammen? Gemäß Littles Gesetz gilt der feste Zusammenhang Lq = λ · Wq zwischen der mittleren Schlangenlänge und der mittleren Wartezeit. ## Ähnliche Tools - [Tutor für Dimensionsanalyse und Einheitenkürzen](https://elysiatools.com/de/tools/dimensional-analysis-unit-cancellation-tutor): Zerlegt Umrechnungen in schrittweises Factor-Label-Kürzen: zeigt Zähler/Nenner-Einheiten, erkennt umgedrehte Faktoren und gibt didaktisches Feedback bei Dimensionsfehlern und falschen Zahlenantworten. - [Permutations-/Kombinations-/Teilmengen-Generator (mit Wiederholungen)](https://elysiatools.com/de/tools/combinatorial-generation): Erzeugt Permutationen, Kombinationen und Teilmengen einer Multimenge, automatisch dedupliziert und in lexikographischer Ordnung: Permutationen über next_permutation mit exakter Anzahl n!/Π(mᵢ!); Kombinationen als alle verschiedenen k-Teilmengen der Multimenge, gezählt als Koeffizient von x^k in Π(1+x+…+x^mᵢ) (C(n,k) bei lauter verschiedenen Elementen); Teilmengen mit Anzahl Π(mᵢ+1) (2ⁿ bei lauter verschiedenen), inklusive leerer Menge. Bis zu 12 Elemente, Anzeige auf 200 Einträge begrenzt, die Anzahl ist stets exakt; im Kombinationsmodus gilt 1 ≤ k ≤ n. Klassiker: Permutationen von \[A, A, B\] → 3!/2! = 3 (AAB, ABA, BAA); Teilmengen von \[A, A, B\] → (2+1)(1+1) = 6. - [Nullsummenspiel-Löser (Sattelpunkt / lineare Programmierung)](https://elysiatools.com/de/tools/game-theory-zero-sum): Löst Nullsummenspiele 2–6 × 2–6 (die Auszahlungsmatrix gehört zum Zeilenspieler, dem Maximierer; der Spaltenspieler zahlt): zuerst der Sattelpunkttest (gleicht das Maximin der Zeilenminima dem Minimax der Spaltenmaxima, existiert ein Gleichgewicht in reinen Strategien und alle Sattelzellen werden aufgelistet); andernfalls wird die Matrix verschoben, sodass alle Einträge ≥ 1 sind, und ein einphasiger Simplex (Schlupfbasis, Bland-Regel) löst max Σz u. d. N. Bz ≤ 1: das Primal liefert die gemischte Strategie q des Spaltenspielers, und die dualen Schattenpreise sind exakt die Lösung y des Zeilenspielers; der Wert wird zurückverschoben, x, q und v werden numerisch verifiziert (xᵀA ≥ v, Aq ≤ v) samt Minimax-Gleichheit. Klassiker: Münzwurf \[\[1,-1\],\[-1,1\]\] → Wert 0 mit 0.5/0.5-Mischungen. - [Inverse-Laplace-Transformationsrechner (Partialbrüche)](https://elysiatools.com/de/tools/inverse-laplace-calculator): Berechnet die inverse Laplace-Transformierte von F(s) = N(s)/D(s) (echt gebrochen, Nennergrad ≤ 6): Wurzeln des Nenners, nach Vielfachheit und konjugierten Paaren gruppiert, Partialbruchzerlegung per linearem Koeffizientensystem und gliedweise Rücktransformation mit den Standardpaaren (A/(s−r)→Ae^(rt), A/(s−r)^j→At^(j−1)e^(rt)/(j−1)!, (Bs+C)/((s−α)²+β²)→e^(αt)\[Bcos(βt)+…sin(βt)\]). Klassiker: 1/(s²+3s+2) → e^(−t)−e^(−2t); (3s+5)/(s²+4) → 3cos(2t)+2,5sin(2t). - [Laplace-Transformationsrechner (Paar-Tabelle)](https://elysiatools.com/de/tools/laplace-transform-calculator): Liefert per Tabelle die Laplace-Transformierte F(s) = ∫₀^∞ e^(−st)f(t)dt: 14 Standardpaare (1, t, tⁿ, e^(at), tⁿe^(at), sin/cos(kt) mit exponentieller Verschiebung, sinh/cosh, t·sin/t·cos, δ(t)), mit Parametereinsetzung, Konvergenzbereich (z. B. s > a), Herleitungshinweis und optionaler numerischer Auswertung an einer Stelle s (mit Konvergenzprüfung). Beispiel: L{e^t} = 1/(s−1), s>1, F(2) = 1. - [Partialbruchzerlegungs-Rechner (rationale Funktionen)](https://elysiatools.com/de/tools/partial-fraction-decomposer): Zerlegt die rationale Funktion F(x) = N(x)/D(x) in Partialbrüche (Nennergrad ≤ 6, Zähler ≤ 8; unechte Brüche werden zuerst durch Polynomdivision geteilt): Wurzeln des Nenners nach Durand–Kerner, gruppiert nach Vielfachheit und konjugierten Paaren, exaktes lineares Koeffizientensystem für Terme A/(x−r)^j und (Bx+C)/((x−α)²+β²) sowie numerische Restprüfung an algebraischen Testpunkten. Klassiker: (3x+5)/(x²+3x+2) = 2/(x+1) + 1/(x+2); (x³+2x)/(x²+1) = x + x/(x²+1); 1/(x(x+1)²) = 1/x − 1/(x+1) − 1/(x+1)². - [PERT-Netzwerk-Analysator (Erwartungsdauer/Varianz)](https://elysiatools.com/de/tools/pert-network-analyzer): PERT-Analyse mit Drei-Punkt-Schätzungen für 2–20 Vorgänge (einer pro Zeile: Name, optimistisch a, wahrscheinlichste m, pessimistisch b, Vorgänger): te = (a+4m+b)/6, σ² = ((b−a)/6)²; das CPM auf den te liefert den kritischen Pfad, die erwartete Projektdauer TE und die Projektvarianz (Summe der σ² auf dem kritischen Pfad); bei Zielzeit T werden Z = (T−TE)/σ und die Fertigstellungswahrscheinlichkeit Φ(Z) per Normalapproximation berechnet. Verletzungen von a≤m≤b und Zyklen werden abgelehnt; deterministische Netze (σ≈0) ohne Division durch null. Klassiker: A(2,4,6), B(3,5,7), C(2,3,10), D(4,6,8, B C) → TE = 15, σ² = 1.3333, P(T=16) ≈ 80.7 %. - [Primzahl-Prüfer](https://elysiatools.com/de/tools/prime-number-checker): Überprüft, ob eine Zahl eine Primzahl ist (eine natürliche Zahl größer als 1, die keine positiven Teiler außer 1 und sich selbst hat) ## Beispiele - [RocketMQ Message Queue Beispiele](https://elysiatools.com/de/samples/rocketmq-samples): Apache RocketMQ Beispiele einschließlich Producer, Consumer, geordnete Nachrichten, verzögerte Nachrichten, Broadcast-Consumption und transaktionale Nachrichten für High-Performance-Messaging - [Web Python Bildverarbeitung Beispiele](https://elysiatools.com/de/samples/web-image-processing-python): Web Python Bildverarbeitungsbeispiele mit PIL/Pillow einschließlich Lesen, Speichern, Skalieren und Formatkonvertierung - [Multi-Tenant Architektur Beispiele](https://elysiatools.com/de/samples/multi-tenant): Umfassende Multi-Tenant Architektur Muster mit Datenisolation, Tenant-Management, Ressourcenquoten und White-Label Lösungen - [Android Java Bildverarbeitungsbeispiele](https://elysiatools.com/de/samples/android-image-processing-java): Android Java Bildverarbeitungsbeispiele einschließlich Lesen/Schreiben, Skalierung und Formatkonvertierung ## Verwandte Inhalte - [Tools fur Audio-Encoding und Formatkonvertierung](https://elysiatools.com/de/hubs/audio-convert): Vergleiche Audioformat-Konvertierung, Bitratenanderungen, Abtastraten-Konvertierung, Codec-Wechsel und Export-Tools in einem Hub. - [Tools fur Bildformat-Konvertierung und animierten Export](https://elysiatools.com/de/hubs/image-convert): Vergleiche Bildkonverter fur JPG, PNG, GIF, AVIF, WebP, TIFF, ICO, base64 und animationsgeeignete Exporte in einem Hub. - [Tools fur JSON-Austausch und Format-Ubersetzung](https://elysiatools.com/de/hubs/json-convert): Vergleiche JSON-Konvertierungswerkzeuge fur CSV, YAML, TOML, GraphQL, XML, Markdown, Excel, BSON, EDN und ahnliche strukturierte Formate in einem Hub. - [Farbraum-Konvertierung fur Web und Druck](https://elysiatools.com/de/hubs/design-convert): Gebundelte Werkzeuge fur Farbraum-Konvertierung zwischen Web und Druck in einem Hub.