# M/M/1-Warteschlangenrechner Berechnet die Kennzahlen des M/M/1-Warteschlangensystems im stationären Zustand: Poisson-Ankünfte (Rate λ), exponentielle Bedienung (Rate μ), FCFS. Setzt λ < μ voraus, sonst ist das System instabil und die Eingabe wird abgelehnt. Ausgegeben werden Auslastung ρ, Leerlaufwahrscheinlichkeit P0, die mittleren Anzahlen L (im System) und Lq (in der Warteschlange), die mittleren Zeiten W und Wq, die Wartewahrscheinlichkeit ρ sowie die Zustandswahrscheinlichkeiten P(n) = (1−ρ)ρⁿ (n = 0…5), kreuzgeprüft mit Littles Gesetz L = λW, Lq = λWq. Klassiker: λ = 4/h, μ = 6/h → ρ = 0.6667, L = 2, Lq = 1.3333, W = 0.5, Wq = 0.3333. > Kanonische Seite: https://elysiatools.com/de/tools/queuing-theory-mm1 - **Kategorie:** Math & Numbers - **Schlagwörter:** warteschlangentheorie, mm1, m/m/1, warteschlange, littles gesetz, auslastung, poisson-ankünfte, exponentielle bedienung, operations research ## Überblick Der M/M/1-Warteschlangenrechner analysiert einstufige Warteschlangensysteme mit einem einzelnen Bediener im stationären Zustand. Basierend auf Poisson-Ankünften (λ) und exponentiell verteilten Bedienzeiten (μ) liefert das Tool präzise Kennzahlen wie Systemauslastung, mittlere Warteschlangenlängen, Verweilzeiten und Zustandswahrscheinlichkeiten unter Verwendung von Littles Gesetz. ## Eingaben - **Ankunftsrate λ (pro Zeiteinheit)** (number): Average arrivals per time unit (Poisson process). Must be below the service rate μ. - **Bedienungsrate μ (pro Zeiteinheit)** (number): Average services per time unit (exponential distribution). Must exceed the arrival rate λ. - **Dezimalstellen** (number) ## Wann verwenden - Dimensionierung und Kapazitätsplanung von Einzelschalter- oder Einzelservierersystemen. - Analyse von Engpässen und Wartezeiten in IT-Servern, Helpdesks oder logistischen Übergabestationen. - Validierung von Übungsaufgaben und Modellen im Bereich Operations Research und Warteschlangentheorie. ## Funktionsweise - Geben Sie die durchschnittliche Ankunftsrate λ (Poisson-Prozess) sowie die Bedienungsrate μ (Exponentialverteilung) pro Zeiteinheit ein. - Wählen Sie die gewünschte Anzahl an Nachkommastellen für die Rundung der Ergebnisse aus. - Das System prüft die Stabilitätsbedingung λ < μ und berechnet bei Erfüllung Kennzahlen wie Auslastung ρ, P0, L, Lq, W, Wq sowie Zustandswahrscheinlichkeiten P(n). - Alle Ergebnisse werden automatisch über Littles Gesetz (L = λW und Lq = λWq) plausibilisiert. ## Anwendungsfälle - Berechnung der durchschnittlichen Wartezeit von Kunden an einem einzelnen Beratungsschalter. - Abschätzung von Latenzzeiten und Paketanzahl in einem Netzwerk-Puffer mit Einzelleitung. - Bewertung der Auslastung von Werkstattstationen mit Einzelarbeitsplatz bei stochastischem Auftragseingang. ## Häufig gestellte Fragen ### Was passiert, wenn die Ankunftsrate λ größer oder gleich der Bedienungsrate μ ist? Das System ist in diesem Fall instabil (ρ ≥ 1), da die Warteschlange theoretisch unendlich anwächst; solche Eingaben werden zurückgewiesen. ### Was bedeuten die Symbole L, Lq, W und Wq? L ist die mittlere Anzahl der Kunden im Gesamtsystem, Lq die mittlere Anzahl in der Warteschlange, W die mittlere Verweilzeit im Gesamtsystem und Wq die mittlere reine Wartezeit. ### Was besagt Littles Gesetz in diesem Rechner? Es beschreibt die fundamentalen Beziehungen L = λ · W und Lq = λ · Wq, mit denen die berechneten Werte konsistent gegengeprüft werden. ### Welche Bedienungsdisziplin wird für das M/M/1-Modell angenommen? Das Modell setzt die Standardreihenfolge First-Come, First-Served (FCFS) bei unbegrenzter Systemkapazität voraus. ### Was sagt die Leerlaufwahrscheinlichkeit P0 aus? P0 entspricht 1 − ρ und gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass sich keine Einheiten im System befinden und die Bedienstation frei ist. ## Ähnliche Tools - [Prüfung vollkommener Zahlen](https://elysiatools.com/de/tools/perfect-number-checker): Prüft, ob n eine vollkommene Zahl ist (gleich der Summe seiner echten Teiler, σ(n) = 2n). Faktorisiert n (≤ 10¹²) durch Probedivision, berechnet σ(n) und die echte Teilersumme über die Primzahlpotenzen-Formel, klassifiziert n als defizient/vollkommen/abundant und gibt den Abundanz-Index σ(n)/n an; für vollkommene Zahlen wird die Euklid–Euler-Form 2^(p−1)·(2^p − 1) rekonstruiert und alle sieben geraden vollkommenen Zahlen bis 10¹² aufgelistet. Kann die echten Teiler auflisten, wenn es ≤ 200 sind. - [Primzahl-Prüfer](https://elysiatools.com/de/tools/prime-number-checker): Überprüft, ob eine Zahl eine Primzahl ist (eine natürliche Zahl größer als 1, die keine positiven Teiler außer 1 und sich selbst hat) - [M/M/c-Warteschlangenrechner (mehrere Server)](https://elysiatools.com/de/tools/queuing-theory-mmc): Berechnet die Kennzahlen des Multiserver-Warteschlangensystems M/M/c (Poisson-Ankünfte mit Rate λ, c identische exponentielle Server mit Rate μ, eine gemeinsame FCFS-Warteschlange): angebotene Last a = λ/μ, Auslastung pro Server ρ, Leerlaufwahrscheinlichkeit P0, Erlang-C-Wartewahrscheinlichkeit Pw, mittlere Anzahlen Lq und L, mittlere Zeiten W und Wq, kreuzgeprüft mit Littles Gesetz und der Beziehung Pw→Lq. Setzt λ < cμ voraus (sonst Ablehnung als instabil); mit c = 1 reduzieren sich die Formeln auf M/M/1. Klassiker: λ = 6/h, μ = 3/h, c = 3 → P0 = 0.1111, Pw = 0.4444, Lq = 0.8889, L = 2.8889. - [Wilson-Theorem-Primzahltest](https://elysiatools.com/de/tools/wilson-theorem-checker): Primzahltest nach dem Wilson-Theorem: (n−1)! ≡ −1 (mod n) genau dann, wenn n prim ist. Der Rest (n−1)! mod n wird Term für Term akkumuliert (n ≤ 10⁷), mit einem deterministischen Miller–Rabin gegengeprüft und für zusammengesetztes n am Faktoriengesetz gemessen (für n > 4 gilt (n−1)! ≡ 0 (mod n), einzige Ausnahme n = 4). Kann die Folge der Zwischenprodukte k! mod n anzeigen (n ≤ 200). - [Tutor für Dimensionsanalyse und Einheitenkürzen](https://elysiatools.com/de/tools/dimensional-analysis-unit-cancellation-tutor): Zerlegt Umrechnungen in schrittweises Factor-Label-Kürzen: zeigt Zähler/Nenner-Einheiten, erkennt umgedrehte Faktoren und gibt didaktisches Feedback bei Dimensionsfehlern und falschen Zahlenantworten. - [Matrixmultiplikationsrechner](https://elysiatools.com/de/tools/matrix-multiplication-calculator): Multipliziert zwei Matrizen, prueft die Dimensionen und zeigt optional Rechenschritte - [Rohrreibungszahl-Rechner (Colebrook-White / Haaland / Laminar)](https://elysiatools.com/de/tools/pipe-friction-factor): Berechnet den Darcy-Reibungsfaktor: für Re<2000 die laminare Formel f=64/Re; im turbulenten Bereich wird die Colebrook-White-Gleichung iterativ gelöst, zusätzlich wird die explizite Haaland-Näherung als Kreuzprüfung ausgegeben. ε in m/mm/µm, D in m/cm/mm; das Ergebnis enthält die relative Rauigkeit ε/D, die Iterationszahl und die Strömungsart. - [Teilbarkeitsrechner](https://elysiatools.com/de/tools/divisibility-calculator): Prueft, ob eine ganze Zahl durch eine andere teilbar ist, und zeigt Quotient, Rest und optional einen Teilbarkeitshinweis ## Beispiele - [RocketMQ Message Queue Beispiele](https://elysiatools.com/de/samples/rocketmq-samples): Apache RocketMQ Beispiele einschließlich Producer, Consumer, geordnete Nachrichten, verzögerte Nachrichten, Broadcast-Consumption und transaktionale Nachrichten für High-Performance-Messaging - [Android Java Bildverarbeitungsbeispiele](https://elysiatools.com/de/samples/android-image-processing-java): Android Java Bildverarbeitungsbeispiele einschließlich Lesen/Schreiben, Skalierung und Formatkonvertierung - [Android Kotlin Bildverarbeitungsbeispiele](https://elysiatools.com/de/samples/android-image-processing-kotlin): Android Kotlin Bildverarbeitungsbeispiele einschließlich Lesen/Schreiben, Skalierung und Formatkonvertierung - [Web Python Bildverarbeitung Beispiele](https://elysiatools.com/de/samples/web-image-processing-python): Web Python Bildverarbeitungsbeispiele mit PIL/Pillow einschließlich Lesen, Speichern, Skalieren und Formatkonvertierung