# Quadratrest-Prüfer (Legendre-/Jacobi-Symbole)

Berechnet das Jacobi-Symbol (a/n) (ungerades n bis 10¹⁸; Legendre-Symbol bei primem n): Modulo einer Primzahl bedeutet a^((n−1)/2) ≡ 1 einen Quadratrest, und Tonelli–Shanks (oder die direkte Formel für p ≡ 3 (mod 4)) liefert die Wurzeln ±√a; das Symbol −1 bescheinigt, dass a KEIN Quadratrest ist. Bei zusammengesetztem Modul ist das Symbol nur notwendig: −1 beweist Nicht-Rest, +1 bleibt unbestimmt (bei n ≤ 10⁵ klärt Brute force die Frage). Klassiker: 10 ist Quadratrest mod 13 mit Wurzeln ±6.

> Kanonische Seite: https://elysiatools.com/de/tools/quadratic-residue-checker

- **Kategorie:** Math & Numbers

- **Schlagwörter:** quadratrest, legendre-symbol, jacobi-symbol, tonelli-shanks, modulare quadratwurzel, euler-kriterium, miller-rabin, zahlentheorie

## Überblick

Der Quadratrest-Prüfer bestimmt über Legendre- und Jacobi-Symbole, ob eine Zahl modulo eines ungeraden Moduls ein quadratischer Rest ist, und ermittelt bei Primzahlen direkt die modularen Quadratwurzeln.

## Eingaben

- **Wert a** (text): The value being tested for squareness; reduced mod n first (up to 10⁵¹²).
- **Modul n (ungerade)** (text): Odd modulus, 3 ≤ n ≤ 10¹⁸ (primality tested with deterministic Miller–Rabin).
- **Wenn n prim ist, x² ≡ a (mod n) lösen** (checkbox): Run Tonelli–Shanks and print the square roots when they exist.

## Wann verwenden

- Wenn Sie prüfen müssen, ob die modulare Kongruenz x² ≡ a (mod n) eine ganzzahlige Lösung besitzt.
- Wenn Sie modulare Quadratwurzeln modulo einer Primzahl mittels Tonelli–Shanks-Algorithmus berechnen möchten.
- Wenn Sie das Legendre- oder Jacobi-Symbol (a/n) für zahlentheoretische Aufgaben oder kryptografische Prüfungen bestimmen wollen.

## Funktionsweise

- Das Tool reduziert den Eingabewert a modulo des ungeraden Moduls n und prüft n mit einem deterministischen Miller-Rabin-Test auf Primalität.
- Es berechnet das Jacobi-Symbol (bzw. das Legendre-Symbol, falls n prim ist) zur Bestimmung des quadratischen Rest-Status.
- Ist n eine Primzahl und a ein Quadratrest, berechnet der Tonelli–Shanks-Algorithmus (oder die direkte Formel für n ≡ 3 mod 4) die Wurzeln ±√a mod n.
- Ist n zusammengesetzt und n ≤ 10⁵, klärt eine automatische Erschöpfungssuche (Brute Force), ob trotz eines positiven Jacobi-Symbols tatsächlich eine Wurzel existiert.

## Anwendungsfälle

- Lösen von quadratischen Kongruenzen in universitären Zahlentheorie- und Algebra-Übungen.
- Implementierung und Verifikation kryptografischer Protokolle wie Rabin-Kryptosystemen oder Null-Wissen-Beweisen.
- Schnelle Primzahl- und Residuumsanalyse bei modularen Arithmetik-Algorithmen.

## Häufig gestellte Fragen

### Was bedeutet ein Jacobi-Symbol von +1 bei zusammengesetzten Zahlen?

Ein Wert von +1 ist nur eine notwendige Bedingung: Die Zahl kann ein Quadratrest sein, muss es bei zusammengesetztem Modul aber nicht.

### Welche Einschränkungen gelten für den Modul n?

Der Modul n muss eine ungerade Ganzzahl im Bereich von 3 bis 10¹⁸ sein.

### Wie werden quadratische Reste bei Primzahlen gelöst?

Das Tool verwendet das Euler-Kriterium zur Prüfung und den Tonelli–Shanks-Algorithmus zur expliziten Wurzelberechnung.

### Bis zu welcher Größe kann die Zahl a eingegeben werden?

Der Wert a kann sehr groß sein (bis 10⁵¹²) und wird vor der Auswertung automatisch modulo n reduziert.

### Beweist ein Symbolwert von −1 immer, dass kein Rest vorliegt?

Ja, sowohl bei primem als auch bei zusammengesetztem Modul beweist das Symbol −1 definitiv, dass a kein Quadratrest modulo n ist.

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